skkn rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian

1.2 Mục đích của việc thực hiện sáng kiến: Xây dựng hệ thống bài toán và đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 12khi dạy học nội dung phương trình đườ

I THÔNG TIN CHUNG

1 Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường

thẳng trong không gian.

Chức vụ công tác Tổ trưởng tổ Toán - Lí Thư ký hội đồng

Nơi làm việc Trường THPT Thành Phố Trường THPT Thành Phố

Tỷ lệ đóng góp tạo ra

sáng kiến

3 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học Môn Toán.

4 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 17 tháng 02 năm 2014 đến

ngày 28 tháng 03 năm 2015

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Thành Phố

Địa chỉ: Tổ 26 – Phường Đông Phong – TP Lai Châu

Điện thoại: 02313.791.496

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:

1.1 Sự cần thiết của việc thực hiện sáng kiến: Xã hội không ngừng phát

triển, đất nước ta không chỉ cần những người giỏi về tri thức mà còn phải có kĩnăng sống tốt, kĩ năng giải quyết công việc nhanh nhẹn và hiệu quả…Luật Giáo

dục số 38/2005/QH11, Điều 28 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn

luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện

giáo dục và đào tạo cũng đã khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo

và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích

tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực…”

Những quan điểm, định hướng nêu trên đã phản ánh nhu cầu đổi mới giáodục, đồng thời tạo tiền đề, cơ sở và môi trường pháp lí thuận lợi cho việc đổimới giáo dục phổ thông nói chung, đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học nóiriêng Do vậy môn Toán nói chung và môn Toán ở trường THPT nói riêng cũngđứng trước một yêu cầu cấp bách, đó là đổi mới về nội dung, mục tiêu vàphương pháp dạy học

Trong môn Toán bài tập toán học có một vai trò quan trọng Thông quagiải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt độngtoán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạtđộng trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giảitoán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, là một trong nhữngmục tiêu dạy học môn Toán, cần phải được tiến hành có kế hoạch, thườngxuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục Thông qua rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vậndụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu,nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩnăng cần thiết cho cuộc sống

Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ trong không giannói chung, phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng là một trongnhững nội dung quan trọng Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắmvững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng

và mặt cầu Là dạng toán có tỷ lệ xuất hiện phổ biến trong các đề thi tốt nghiệptrung học phổ thông và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làmtốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.

Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy kĩ năng giải toán vềphương trình đường thẳng trong không gian của học sinh còn đang yếu Họcsinh còn gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán Các em dễ nhầmlẫn khi giải bài toán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm

lẫn với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Hơn nữa bài học Phương trình đường thẳng trong không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ

đưa ra một cách chung chung chưa phân dạng cụ thể tường minh Vì vậy việc hệthống hóa và phân dạng các dạng bài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thểtiếp thu tốt phương trình đường thẳng là việc làm cần thiết

Xuất phát từ những lí do trên mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian”.

1.2 Mục đích của việc thực hiện sáng kiến: Xây dựng hệ thống bài toán

và đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 12khi dạy học nội dung phương trình đường thẳng trong không gian đạt kết quảcao

2 Phạm vi triển khai thực hiện: Học sinh lớp 12 trường THPT Thành

Phố

3 Mô tả sáng kiến:

a Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Trường THPT thành phố được thành lập năm 2007 Từ khi thành lập đếnnay đội ngũ cán bộ, giáo viên nhà trường, quy mô trường lớp và chất lượng haimặt giáo dục không ngừng lớn mạnh và phát triển Tỷ lệ đỗ tốt nghiệp lớp 12hàng năm của nhà trường được duy trì ổn định, số lượng học sinh thi đỗ đại học,cao đẳng tăng Tuy nhiên chất lượng thi đỗ vào các trường đại học khối A, Bcòn thấp Điểm thi môn Toán chưa cao Năm học 2014- 2015 nhà trường cónhóm giáo viên dạy bộ môn toán là 6 đồng chí sinh hoạt tại tổ chuyên môn Toán– Lí với 5 lớp 12 với tổng số 168 học sinh, trong đó có 4 giáo viên trực tiếp

giảng dạy 12 Tuy nhiên năng lực đội ngũ giáo viên chưa đồng đều, kinh nghiệmgiảng dạy và xử lý tình huống sư phạm còn có mặt hạn chế Việc đổi mớiphương pháp dạy học chưa thật đồng bộ và hiệu quả.

Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của HS và sự trao đổi trựctiếp với các thầy cô đã và đang giảng dạy môn toán lớp 12, chúng tôi nhận thấytrong việc giảng dạy nội dung phương trình đường thẳng trong không gian –Hình học 12 có một số vấn đề cần quan tâm sau:

- Các đối tượng hình học trong phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng vẫn

có chỗ dựa trực quan, khi phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháptọa độ thì các đối tượng hình học đã được tọa độ hóa nên mức độ trừu tượng caohơn, vì vậy HS khó thấy được ý nghĩa, bản chất của các đối tượng hình học

- Sự mở rộng từ phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (lớp 10) sangphương trình đường thẳng trong không gian (lớp 12) gây ra một khó khăn nhất

định cho HS Ví dụ cho phương trình 2x + y – 4 = 0 nếu xét trong hệ trục Oxy là phương trình đường thẳng nhưng nếu xét trong hệ trục Oxyz là phương trình mặt

phẳng, đường thẳng trong không gian không có vectơ pháp tuyến như trong mặtphẳng…

- Việc nhận thức khái niệm và tính chất cũng gây khó khăn cho HS trong giảitoán Nếu HS hiểu trong PTTS của đường thẳng tất cả các tham số đều ký hiệu

là t thì sẽ gây nhầm lẫn khi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó

- Học sinh thường có biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:

+ Hai đường thẳng vuông góc thì HS cũng thừa nhận luôn là vuông góc tức làcắt nhau

+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thìsong song với nhau

+ Hai đường thẳng thuộc hai mp vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau.+ Nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng luôn bằng góc giữa hai VTCP

- Quan hệ giữa các đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trítương đối) được mô tả bằng các công thức, trong đó có những công thức phứctạp như công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Chương trình nângcao), ban cơ bản lại đưa về tính độ dài đoạn vuông góc chung Điều này gây cho

học sinh khó nhớ và dễ nhầm khi tính toán.

- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài toán khônggian: Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu (Để tháo gỡ vấn

đề này, giáo viên có thể tiến hành bằng cách xây dựng các quy trình và phươngpháp thực hiện giải toán)

- Vấn đề các dạng khác nhau của đáp số: Học sinh thường lúng túng khi viếtphương trình của đường thẳng, mặt phẳng bằng những cách khác nhau và có cáckết quả có vẻ như khác nhau Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm về sựtương đương của hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình) Bằng cách dùngphép biến đổi tương đương ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ có vẻrất khác, nhưng vẫn là tương đương, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ là như nhau.(Cần lưu ý thêm cho HS là ta có thể chọn nhiều điểm khác nhau trên đườngthẳng ∆ làm điểm M0 cho trước và nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên cùng mộtđường thẳng ∆ có nhiều PTTS khác nhau)

- Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết các bài toán trong chương này đều liênquan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số, nhưng HS còn lúng túng trongcách giải và sau khi giải hệ xong đã vội kết luận về quan hệ hình học mà quênmất rằng phải xét thêm cả các yếu tố khác nữa Ví dụ để tìm vị trí tương đối của

hai đường thẳng d và d’ được cho bởi phương trình tham số, ta có thể giải hệ sáu

phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó Nếu hệ vô nghiệm thì ta chỉ có thể kếtluận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi Cần phải xét

thêm các vectơ chỉ phương của d và d ’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng

- Nói chung nội dung cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian,được cho là phù hợp với khả năng nhận thức của đa số HS, hầu hết HS có thểlàm được các bài tập ở dạng vận dụng trực tiếp Tuy nhiên đối với các bài tập ởdạng mở rộng, cần sử dụng kết hợp các kiến thức và kĩ năng đã học từ trước thìchỉ những HS có lực học khá, giỏi mới làm được theo sự hướng dẫn của GV

- Do đặc thù vùng miền nên khả năng nhận thức đối với bộ môn hình học của

đa số HS còn chậm và yếu, nên HS lười học và dành ít thời gian tự học cho việc

ôn tập nắm vững các nội dung cơ bản và rèn luyện các kĩ năng của bộ môn, dẫn

tới HS không nắm vững các kiến thức cơ bản, yếu về kĩ năng thực hành, vậndụng.

* Về phía GV:

- GV đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững chuẩn, kiến thức, kĩnăng về phương trình đường thẳng trong không gian Tuy nhiên trong quá trìnhgiảng dạy, do phải đảm bảo về thời lượng chương trình nên nhiều kĩ năng GVchưa thể rèn luyện và khắc sâu được cho HS, đặc biệt là đối với các kĩ năng cóliên quan đã được học từ trước

- Sau khi dạy xong lý thuyết bài phương trình đường thẳng trong không giangiáo viên thường hướng dẫn, giao bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, nhưng chưa phân dạng toán tường minh một cách có hệ thống, bài bản, chưa sắpxếp hệ thống bài tập từ dễ đến khó với những điểm nhấn về kiến thức và phươngpháp cần chú ý Mặt khác, một số dạng toán viết phương trình đường thẳngtrong không gian không được đề cập tường minh trong sách giáo khoa nên GVthường dạy lướt qua chưa chú ý cung cấp đầy đủ kiến thức, chưa hướng dẫn vàđưa ra những bài tập phong phú nhằm rèn luyện cho HS các kĩ năng giải cácphương trình dạng này

Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa có phương pháp học tíchcực, hạn chế trong phương pháp tự học, kĩ năng giải bài tập còn yếu, thường chỉlàm được một số dạng bài tập tức thời theo sự hướng dẫn của giáo viên, mà chưa

có cái nhìn tổng quan về một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳngtrong không gian, chưa nắm chắc được bản chất, dấu hiệu, cách làm một cách kĩcàng dạng toán nên khi gặp một dạng toán mới thường hay lúng túng, khó định

hướng được cách giải Do đó kết quả các bài kiểm tra còn thấp.

b Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Nhằm khắc phục những thiếu sót đã nêu trên, chúng tôi đã thực hiện 2 giải phápchính sau đây:

Giải pháp 1:

+ Hệ thống hóa các dạng toán theo chủ đề (7 dạng toán chính – Phụ lục 1) Sắp

xếp một cách có hệ thống, cơ bản theo hướng từ dễ đến khó, trong đó lồng ghép

những điểm nhấn về kiến thức và phương pháp cần chú ý Ngoài ra các tác giảcũng quan tâm đến việc đưa ra một số giải pháp để học sinh có thể nắm đượcbản chất, tính chất hình học bằng cách kết hợp giữa đại số và hình học trong giảitoán.

+ Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức cơ bản,những lưu ý khi giảng dạy, ví dụ minh họa, phương pháp giải, bài tập tương tựrèn luyện cho từng dạng bài cụ thể

Giải pháp 2: Xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho HS những kĩ năng cơ

bản để giải quyết lớp bài toán về PTĐT trong không gian

Về phương pháp dạy học: Phân tích các bài toán mẫu để hình thành thuậtgiải, luyện tập giải các bài tập cùng dạng, lồng ghép củng cố các kiến thức cơbản là cách thức rèn kỹ năng giải toán cho học sinh được đề xuất và minh họa,xây dựng trong sáng kiến nhằm giúp HS nhận dạng bài tập và xác định phươngpháp giải dễ dàng Đồng thời sáng kiến cũng đề xuất một số hình thức tổ chức

hoạt động học tập cho HS và cách ghi nhớ một số nội dung kiến thức theo“sơ

đồ tư duy” để HS chủ động lĩnh hội kiến thức.

Ưu điểm: Giúp GV có được một tài liệu giảng dạy phù hợp với nhiều đối

tượng HS, phù hợp với mục đích ôn thi tốt nghiệp hay ôn thi cao đẳng - đại học.Rút ngắn thời gian ôn luyện Dễ dàng trong thực hiện việc giảng dạy theo đốitượng vùng miền và rèn kĩ năng giải toán cho HS

+ HS thuộc nhóm đối tượng nào thì có hệ thống bài tập phù hợp với đốitượng đó Giúp HS không thấy sợ bộ môn Toán, đặc biệt là toán hình Từ đóchất lượng học tập được nâng cao

+ Giúp HS bổ sung được những kiến thức, kĩ năng còn yếu và thiếu Cách

ghi nhớ một số nội dung kiến thức theo“sơ đồ tư duy” giúp HS ghi nhớ một

cách khoa học, logic, dễ hiểu Đồng thời khắc phục được những sai lầm của HStrong quá trình giải toán

+ HS tiếp thu kiến thức một cách chủ động, không mất công ghi nhớ quá máy móc các bài toán mà GV đã giảng dạy Do đó sẽ không lúng túng trước những dạng toán mới đã có sự thay đổi về dự kiện, giúp HS có khả năng tự học

Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho HS ta cần xác định từng kĩnăng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng Một kĩ năng

có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ Việc hình thành từng kĩ năng riêng lẻ có thểchia thành các bước như sau:

+ Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể GVtrình bày hoặc gợi ý để HS làm)

+ Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, nhằmgiúp HS thành thạo các thao tác cơ bản Việc luyện tập này có thể tiến hànhngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà

+ Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụngphối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán Các bài tập dạng này thường được sắpxếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triểncác kĩ năng ngày một tốt hơn

Ví dụ: Để hình thành kĩ năng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong

không gian, ta có thể cho HS lần lượt giải các bài toán sau, dựa theo 3 bước ởtrên:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình

sau đây d:

1 3 3

Bài 2:Xét vị trí tương đối của đường thẳng : 1 7 3

Bài 3:Cho hai đường thẳng:

(Bài này đòi hỏi HS phải biết vận dụng linh hoạt về kiến thức và phương phápgiải)

Thực hiện quy trình rèn luyện các kĩ năng giải toán theo bốn bước như sau: Bước 1: Trước mỗi dạng toán cần tóm tắt các kiến thức cơ bản cần nhớ

(khái niệm, tính chất, định lý…)

Bước 2: Hình thành và rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (tri thức

phương pháp) bằng cách: GV minh họa qua các ví dụ, chỉ rõ từng bước thựchiện, từ đó rút ra phương pháp làm với dạng toán đó, cùng với những điểm nhấn

về kiến thức và những lưu ý cần thiết để tránh những sai lầm

Bước 3: Cho HS luyện tập qua một hệ thống các bài toán tương tự, nâng

dần về kiến thức, từ dễ đến khó, đủ các dạng, chú ý sửa các sai lầm HS có thểmắc phải

Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận

dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán

Quy trình rèn luyện, hình thành các kĩ năng giải toán vận dụng vào từng nội dung, đơn vị kiến thức được thể hiện qua hệ thống các ví dụ như sau:

- Nhóm ví dụ thứ nhất: GV vừa giảng dạy, vừa phân tích giúp HS tái hiệnkiến thức, kĩ năng cũ, đồng thời tiếp cận kiến thức, kĩ năng mới

- Nhóm ví dụ thứ hai: Là những ví dụ tương tự, học viên trình bày bài giảicủa mình, GV cùng HS phát hiện, bổ sung và sửa chữa những thiếu sót (nếu có)trong bài làm của HS

- Nhóm ví dụ thứ 3: HS làm việc độc lập hoặc theo nhóm, GV theo dõi nắmbắt tình hình nhận thức của HS từ đó có những điều chỉnh kịp thời

- Nhóm ví dụ thứ 4: Là những bài tập tương đối khó, đòi hỏi mức độ tư duycao được dành cho các đối tượng HS khá, giỏi

Lưu ý: Tùy theo đối tượng HS mà GV lựa chọn các nhóm ví dụ cho phù hợp.

Trong đề tài này để rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình đường thẳngtrong không gian chúng tôi quan tâm đến việc phân chia một số dạng toán vềphương trình đường thẳng trong không gian ở một số dạng sau đây:

(Phụ lục 1)

1 Rèn luyện kĩ năng giải toán về xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

1.1 Kiến thức cơ bản:

Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:

Các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian (Phụ lục 2)

1.2 Những lưu ý khi giảng dạy:

Giáo viên cần xác định một số kĩ năng học sinh cần rèn luyện:

- Kĩ năng xác định VTCP của đường thẳng, kĩ năng lấy 1 điểm thuộc đườngthẳng

- Kĩ năng tính toán (tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ)

- Kĩ năng xét sự cùng phương của hai vectơ Kĩ năng xét sự đồng phẳng của bavectơ

- Kĩ năng giải hệ PT.

Giáo viên thiết kế bài soạn nội dung cách xét vị trí tương đối của hai

đường thẳng d và d ’ có thể lựa chọn, thông qua các câu hỏi sau:

Câu 1: Nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian?(GV nên kết hợp sử dụng hình vẽ và cho HS lấy VD trong thực tế minh họa các vị trí tương đối - Phụ lục 2)

Câu 2: Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M x y z( 0 ; ; 0 0) ,

d // d’

0 '

' ' ' ' ' ' ' ' '

PT của hai đường thẳng nói trên

Hãy hoàn thiện thông tin trong bảng sau:

Không cùng phương d, d ’ chéo nhau

Từ đó rút ra thêm phương pháp khác xét vị trí tương đối của hai đường thẳngtrong không gian?

Đáp án:

Câu 1: Trùng nhau, chéo nhau, cắt nhau, song song

Câu 2:

d // d’

0 '

d và d’ chéo nhau n MMr.uuuuur' ≠ 0

Từ phương trình đường thẳng d xác định một VTCP ar và một điểm M∈d

Từ phương trình đường thẳng d’ xác định một VTCP aur' và một điểm M' ∈d'

Bước 2: Kiểm tra:

Cách 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian



 + = +



(*)

- Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì d cắt d ’

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì d trùng với d ’

- Nếu hệ vô nghiệm và ar, ur '

a cùng phương thì d song song với d ’

- Nếu hệ vô nghiệm và ar, aur' không cùng phương thì d, d ’ chéo nhau

Chú ý:

- Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm PT (1) và (2) (Hoặc (1) và (3), hoặc (2) và (3)),

rồi thế t và t’ vào PT còn lại.

- Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (hoặc trùng nhau) thì ta chỉ cầngiải hệ PT (*) với 1 nghiệm duy nhất tìm được (Hoặc hệ có vô số nghiệm) màkhông nhất thiết phải xét mối quan hệ giữa hai VTCP

- Nếu bài toán yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau, đồng thời tìm giaođiểm của hai đường thẳng đó thì ta lựa chọn cách 2 để lời giải được ngắn gọn:vừa xét được vị trí tương đối, vừa tìm được giao điểm của hai đường thẳng trongtrường hợp cắt nhau

- GV chú ý cho HS cách lấy một điểm thuộc đường thẳng d:

* Ý nghĩa của tham số t:

+ Ứng với mỗi một giá trị cụ thể của tham số t cho ta tọa độ một điểm thuộc

+ Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P A x B y C z D: 1 + 1 + 1 + 1 = 0 và ( )Q A x B y C z D: 2 + 2 + 2 + 2 = 0 thì cho x= 0, giải hệ

phương trình gồm phương trình hai mp (P), (Q) với x= 0 tìm được y, z ⇒tọa độ

M∈d (Cũng có thể cho y = 0 hoặc z = 0 hay một giá trị tùy ý khác).

* GV hướng dẫn HS lập sơ đồ tư duy “Cách xét vị trí tương đối của hai đường

thẳng trong không gian” để học sinh dễ dàng ghi nhớ cách làm (Phụ lục 3)

Sau đó GV cho HS thực hiện các hoạt động sau:

1.3 Ví dụ

* Bài toán về hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

Tổ chức cho học sinh luyện tập

PHIÊU HỌC TẬP

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:

1 3 3

Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương

Ta thấy ar, aur' không cùng phương nên d và ∆ 1 cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 3: Lấy M(− 1;3;0)∈d, N(2;8;1)∈ ∆ 1

Ta có: MNuuuur= (3; 5; 1),  , ' 

 

ur r

a a = (2; -1; -1); MNuuuur , ' 

 

ur r

a a = 0 nên d và ∆ 1 cắt nhau

Cách 2: Xét hệ phương trình:

( ) ( ) ( )

11 3

được: 3.11 1 4.8 = + (luôn đúng) Chứng tỏ hệ PT ( )I có một nghiệm duy nhất

a u cùng phương Do vậy d và ∆ 2 song song hoặc trùng nhau

Bước 3: Lấy M(− 1;3;0)∈d , thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng

2

∆ ta được:

' '

a u cùng phương Do đó d và ∆ 2 song song với nhau.

c) Cách 1: Bước 1: Xác định VTCP của hai đường thẳng d và ∆ 3

Bước 3: Đờng thẳng d đi qua điểm M( 1;3;0) −

Đờng thẳng ∆3 đi qua điểm M'( 1;4; 1) − −

Ta có uuuuurMM ' (0;1; 1)= − , r uura u, 3 = − − − ( 6; 9; 1), do đó a u MMr uur uuuuur, 3 '= − ≠8 0

Vậy d và ∆3 chéo nhau

Giải (1) và (2) được t = -2, s = 1, thay vào (3) được -9 = -1 (Vụ lớ)

Chứng tỏ hệ vụ nghiệm Vậy hai đường thẳng d và ∆ 3 song song hoặc chộonhau

d cú VTCP ar(1; 1;3) − , ∆ 3 cú VTCP ur3= − ( 2;1;3)

Ta thấy a ur uur , 3

khụng cựng phương nờn d và ∆ 3 chộo nhau

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:

Tỡm giao điểm của hai đường thẳng đú

Bài 3: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng

2 -2 2 -5 2

song song với nhau

Bài 4: (Bài toỏn về phương trỡnh đường thẳng chứa tham số):

Cho hai đường thẳng:

b) Phương trình đường thẳng d viết dưới dạng tham số:

Nhận xét: Cũng giống như các bài toán có tham số khác trong đại số, giải tích,

lượng giác,…các bài toán có tham số trong hình học nói chung và phương trình đường thẳng nói riêng đều tuân thủ theo quy tắc giải một bài toán hình học thuần túy, rồi sau đó tìm các giá trị thích hợp của tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

' : 2 4 ' : 1 4 '

Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

2 1

Xác định m để d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

Xác định m để d song song với d’

Bài 5: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

Đáp số: Bài 1: a) cắt nhau, b) song song, c) chéo nhau

Bài 2: Tính u u MMr ur uuuuur, '  '= −238 0≠ ; Bài 3: 6

* Bài toán về hai đường thẳng vuông góc

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ⇔ a auur uurd. d' = 0

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: 2 - 3

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: ar = −(1; 3;2)

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: aur' =(2;2;2)

Ta có: a ar ur ' 1.2 3.2 2.2 0= − + =

Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d:

' ' '

2 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: ar =(1;1;1)

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: aur' =(a;2; 3 − )

d và d’ vuông góc với nhau ⇔ a ar ur ' 0= ⇔1.a+2.1 3.1 0− = ⇔ =a 1

Từ hai bài tập trên GV yêu cầu HS tự rút ra phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta đi

chứng minh tích vô hướng của hai VTCP của hai đường thẳng đó bằng 0.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

2 1

Trong phần này chúng tôi chủ yếu đề cập đến bài toán “Viết phương trình của

một đường thẳng trong không gian” mà phương pháp chung nhất là đi xác định

đủ hai yếu tố: một vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa (trang 83 sách giáo khoa Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng Hoặc nếu lập được phương

trình hai mp chứa đường thẳng đó thì bằng cách tham số hóa một thành phần tọa

độ để tìm hai thành phần tọa độ còn lại theo tham số ta sẽ có được phương trìnhđường thẳng cần tìm Dưới đây là một số vấn đề thường gặp của bài toán trên:

2.1 Viết phương trình đường thẳng biết yếu tố song song

Trong phần này sáng kiến đề cập đến việc rèn luyện kĩ năng viết PTĐT mà việc

xác định một VTCP của đường thẳng được tiến hành bằng một số cách làm sau:

Cách 1: Tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần viết

phương trình

Cách 2: Sử dụng tích vô hướng để tìm VTCP của đường thẳng.

Cách 3: Tìm VTCP, tìm điểm thuộc đường thẳng liên quan đến xét sự cùng

phương của hai vectơ (Tức là từ việc phân tích giả thiết ta sẽ thấy xuất hiện haivectơ cùng là VTCP của đường thẳng cần viết phương trình)

2.1.1 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến việc tìm VTCP theo định

nghĩa (Tức là tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng cần

viết PT)

a) Kiến thức cơ bản:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

* ur r≠0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì ur là vectơ chỉ

phương của đường thẳng d.

* ur là VTCP của d thì k ur cũng là VTCP của d ( k ≠ 0)

Phương trình của đường thẳng :

Nếu điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 )∈d và VTCP của d là ur(a; b; c) thì :

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :

0 0 0

b) Những lưu ý khi giảng dạy:

- Đây là lớp bài toán cơ bản, đầu tiên về viết PT đường thẳng mà bất cứ HS nàocũng đều phải làm được để có thể đạt điểm trong kì thi tốt nghiệp, trong đó điềuquan trọng nhất là HS phải xác định được đủ 2 yếu tố để viết được PTĐT, đó làmột điểm thuộc đường thẳng và một VTCP Vì vậy, GV cần hướng dẫn kỹ cho

HS một số trường hợp cơ bản sau đây để xác định toạ độ VTCP của một đườngthẳng:

TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số d :

0 0 0

TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có một VTCP là uuurAB

TH4: Nếu d / / ∆ thì d có một VTCP là u ur uur uur= ∆ (u∆là VTCP của đường thẳng ∆ )

TH5: Nếu d ⊥ ( )P thì d có một VTCP là u nr uur uur= P (n P là VTPT của mặt phẳng (P))

c) Ví dụ:

PHIẾU HỌC TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS và phương trình chính

tắc của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là ur

=(-3;2;-1)

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d

biết d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0)

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của

đường thẳng d biết d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d

biết d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với (α): 2x - 3y – 6z + 19 = 0

Giải bốn bài tập trên Từ đó rút ra phương pháp giải dạng toán này?

+ GV hướng dẫn HS (khi cần thiết) phân tích các yếu tố đã cho của đườngthẳng và cách tìm các yếu tố còn lại rồi cho HS kết luận vấn đề:

Dạng 1 : Viết phương trình đường

thẳng d biết d đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 )

Dạng 2: Viết PTTS của đường thẳng

d biết d đi qua hai điểm A, B cho

Dạng 3: Viết PTĐT d đi qua điểm M

và song song với đường thẳng d’

Phân tích: + Yếu tố điểm: M

+ VTCP: Do d/ /d' ⇒urd =uuurd'

(Ta chọn VTCP của đường thẳng cần

tìm là VTCP của đường thẳng d ’ )

Nhận xét: Qua ba bài tập 2, 3, 4 cho ta thấy bài toán viết PTĐT ở dạng trên

không cho sẵn tọa độ VTCP ur ngay mà phải dựa vào các giả thiết khác nhau để suy ra tọa độ VTCP Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh tầm quan trọng của việc nắm một số trường hợp cơ bản để xác định VTCP của đường thẳng đã nêu trên.Gv nên kết hợp cả hình vẽ để làm rõ các trường hợp trên (Phụ lục 4)

d) Bài tập tương tự:

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai điểm A(0;2;1) và B(1;-1; 3)

Viết PTTS của đường thẳng AB (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 1 năm 2007)

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng ( )α có

phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng (

∆) đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng ( )α (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường

thẳng ∆ biết ∆ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với đường

2.1.2 Viết PT đường thẳng liên quan đến việc tính tích vô hướng (Sử dụng tích

vô hướng để tìm VTCP của đường thẳng).

a) Kiến thức cơ bản:

*Mối quan hệ giữa VTCP uuurd của đường thẳng d với:

- VTCP uur1 của d 1 khi d ⊥d1 : uuur urd ⊥u1

- VTPT nr của mặt phẳng ( )P khi d/ /( )P hoặc d ⊂( )P : uuur rd ⊥n

- ar ⊥ ⇔br a br r. =0

* Cách tìm một điểm trên một đường thẳng thỏa mãn một điều kiện cho trước

- PTTS của đường thẳng cho ta dạng tọa độ của mọi điểm thuộc đường thẳng đó.

Do vậy, tìm một điểm thuộc đường thẳng quy về tìm một giá trị của tham số

Như vậy để tìm một điểm thuộc đường thẳng d thỏa mãn một điều kiện cho

trước ta cần:

+ Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

0 0 0

+ Điểm M thuộc đường thẳng d thì M có tọa độ dạng (x0 +at y; 0 +at z; 0 +at)

b) Những lưu ý khi giảng dạy :

- Với dạng toán này, GV có thể thiết kế phiếu học tập dưới dạng như sau để học

sinh phát hiện vấn đề, từ đó rút ra phương pháp giải cho dạng toán mà trong đó

để tìm được tọa độ VTCP của đường thẳng ta sử dụng tích vô hướng Tức là từ

giả thiết đã cho lập được một PT ẩn t, giải PT này ta tìm được một giá trị của t

ứng với một điểm thuộc đường thẳng cần viết PT

PHIẾU HỌC TẬP

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng dđi

qua A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 cho bởi:

Câu hỏi 1: Phân tích các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm để viết PTĐT d?

Câu hỏi 2: Giả sử d cắt d2 tại B Hãy xác định dạng tọa độ của điểm B phụ

thuộc một giá trị tham số? Có nhận xét gì về giá của vectơ uuurAB so với đườngthẳng d1?

Câu hỏi 3: Nêu mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng d với VTCP củađường thẳng d1?

Câu hỏi 4: Rút ra phương pháp giải?

Câu hỏi 5: Tìm cách giải khác?

- Phần này đề tài đề cập đến 2 dạng toán cơ bản và một bài toán khác mà GVcần chú ý, nhấn mạnh cho HS thấy được mỗi dạng sau là sự thay đổi một giảthiết của dạng toán trước Trước mỗi dạng toán, GV cần hướng dẫn HS phântích, sau đó tìm phương pháp giải

c) Ví dụ:

Dạng 1 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 (Bài tập 1 trong phiếu học tập)

Phân tích: + Yếu tố điểm: A

+ VTCP: urd =uuurAB với B là giao điểm của d với d 2 Để tìm tọa độ điểm

B ta giải phương trình một ẩn được thiết lập từ giả thiết d ⊥ ⇔d1 u uuururd. 1 = 0

Phương pháp :

Cách 1: Chuyển phương trình của d 2 về dạng tham số

Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số

Gọi B d= ∩d2, khi đó B d∈ 2 nên suy ra tọa độ của điểm B theo tham số t ⇒toạ độ uuurAB theo tham số t.

Bước 2: Tìm giá trị tham số

Vì d ⊥d 1 nên uuur urAB u. 1= 0 Giải PT nếu tìm ra giá trị tham số t⇒ toạ độ VTCP

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn đi qua A và nhận uuurAB làVTCP

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d 1

Bước 2: Tìm giao điểm B (nếu có) của mp (P) và d 2

- Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm

- Nếu có vô số giao điểm (d2 ⊂( )P ) thì kết luận có vô số đường thẳng

trong mp (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d 1

- Nếu có duy nhất một giao điểm thì thực hiện bước 3

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d chính là đường thẳng AB

Cách 3: (Đề cập sâu ở dạng 1 mục 2.2.3 của luận văn)

Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d 1

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và chứa d 2

Bước 3: Kết luận:

Nếu (Q) ≡ (P) thì bài toán có vô số nghiệm

Nếu (Q) cắt (P) thì xét d = (Q) ∩(P) Nếu d cắt d 2 thì đường thẳng d là đường thẳng cần tìm Nếu d // d 2 thì bài toán vô nghiệm

Lời giải bài tập 1 (GV hướng dẫn HS làm theo các bước):

Cách 1: Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số

Giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d 2 tại B, khi đó B u(2 ; 1 +u u; ) ⇒

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng

( t là tham số).

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d 1

Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với d1 nên d nằm trong mp( )P đi qua

A và vuông góc với d1

Mặt phẳng ( )P đi qua A(0;1;1) và có VTPT n ur ur= 1= (-1;1;0)

Phương trình mặt phẳng ( )P : − + − =x y 1 0

Bước 2: Tìm giao điểm B (nếu có) của mp (P) và d 2

Gọi B là giao điểm của d với d 2 ⇒ =B d2 ∩( )P

Khi đó tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình:

2 1

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d chính là đường thẳng AB

Đường thẳng d đi qua A, có một VTCP là uuurAB=(0;0; 1 − ) PTĐT d là :

0 1 1

x y

+ Trong bài tập 1 nếu cho d1 ≡d2 ta có bài toán sau: Viết PTĐT d đi qua điểm

A, vuông góc và cắt đường thẳng d 1 , khi đó bài toán luôn có nghiệm hình.

+ Ở dạng 1, nếu ta thay giả thiết d vuông góc với đường thẳng d 1 bằng giả thiết

d song song với mặt phẳng (P) thì ta có bài toán ở dạng 2 như sau (trong đó vẫn

sử dụng tích vô hướng để tìm tọa độ một VTCP của đường thẳng)

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, cắt đường thẳng ∆

và song song với mặt phẳng (P)

Từ các hoạt động đã thực hiện ở dạng toán 1, học sinh tự rút ra phương pháp giải cho dạng 2 như sau: Chuyển phương trình của ∆về dạng tham số

Bước 1: Xác định tọa độ VTCP của d theo tham số

Gọi N = ∩ ∆d , khi đó N∈ ∆ nên suy ra tọa độ của điểm N theo tham số t ⇒toạ

độ uuuurMN theo tham số t.

Bước 2: Tìm giá trị tham số : Xác định một VTPT nr của mp ( )P

Vì d/ /( )P nên uuuur rMN ⊥ ⇔n uuuur rMN n = 0 Giải PT nếu tìm ra giá trị tham số t⇒ toạ

∆ = = Viết phương trình đường

thẳng d đi qua M , cắt đường thẳng ∆ và song song với mp (P).

Gọi N = ∆ ∩d Ta có: N∈ ∆ ⇒ =N ( ;1 2 ;2 )t + t t

Suy ra: uuuurMN = − + ( 1 t;3 2 ; 3 2 ) + t − + t là VTCP của d

Bước 2: Tìm giá trị tham số : mp(P) có một VTPT là: nr = (2;1; 1) −

Vì d/ /( )P nên uuuur rMN ⊥n ⇔ uuuur rMN n. = ⇔ − + + + + − = ⇔ = −0 2 2t 3 2t 3 2t 0 t 2.

Khi đó, đường thẳng d được cho bởi: Qua

VTCP :

(1; 2;3) :

(3;1;7)

M d

(P) bằng giải thiết d chứa trong mặt phẳng (P) thì ta có bài toán sau: “Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, cắt đường thẳng ∆ và nằm trong mặt phẳng (P)” Khi đó giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng ∆ cũng

chính là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng ∆(tất nhiên nếu HSkhông phát hiện ra điều này thì vẫn sử dụng tích vô hướng để tìm tọa độ VTCPtheo phương pháp đã trình bày ở trên)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A( 8; 2; 4) − − − , mặt phẳng

(P): x− 2y− − = 3z 8 0 và đường thẳng

1 :

Viết phương trình đường

thẳng d đi qua A, cắt đường thẳng ∆ và d nằm trong mặt phẳng (P).

(8;1;2)

A d

Tiếp tục, cũng trong bài toán trên, thay vì cho biết một điểm thuộc đường thẳng

d ta cho biết đường thẳng d cắt thêm một đường thẳng khác nữa, ta có bài toán sau mà không cần sử đến tích vô hướng để tìm tọa độ VTCP

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTĐT d nằm trong mp(P) :

y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d 1:

1 4

GV hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán trên theo 4 bước của Pôlya

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

GV: Bài toán yêu cầu gì?

HS: Bài toán yêu cầu viết PTĐT d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả 2 đường

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d 1 và d 2 với (P) ⇒A(1;0;0) và B(5;-2;1)

Khi đó đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận uuurAB(4;-2;1) là

một VTCP ⇒ Phương trình của d là:

1 4 2

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải: HS tự rút ra phương pháp giải dạng toán:

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

Phương pháp: - Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d 1 và d 2 với (P)

- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3;2; 4) − ,

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, vuông góc với ∆ 1 và cắt ∆ 2.

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011): Trong không gian với hệ

trục Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d có phương trình:

Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox

HD bài 2: ∆cắt trục Ox tại B ⇒ B x( ; 0; 0) và do ∆ ⊥ ⇒d tọa độ điểm B⇒

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi

qua A(1;2;-2), vuông góc với d’ và cắt d’ trong đó d’ có phương trình 1

trình đường thẳng d đi qua A, cắt đường thẳng ∆ và song song với mp(P).

2.1.3 Viết PT đường thẳng liên quan đến việc xét sự cùng phương của hai vecto

a) Kiến thức cơ bản: Cho ar =(x y z b1 ; ; 1 1),r =(x y z2 ; ; 2 2)

b) Những lưu ý khi giảng dạy :

- Với dạng toán này, GV có thể thiết kế phiếu học tập dưới dạng như sau để họcsinh phát hiện vấn đề, từ đó rút ra phương pháp giải cho dạng toán mà trong đó

để tìm được tọa độ VTCP của đường thẳng và tọa độ một điểm thuộc đườngthẳng ta sử dụng cách xét sự cùng phương của hai véc tơ.

*) Phát hiện sai lầm trong lời giải

PHIÊU HỌC TẬP

Phát hiện những sai lầm trong lời giải sau:

Bài 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có

Viết PTĐT d đi qua A(2; -6; 1) đồng

thời cắt hai đường thẳng đã cho

Tương tự PT mặt phẳng (Q) qua A và chứa d 2 có dạng: 9x+ 4y− 5z+ = 11 0

Do đó, đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)

GV: Dự kiến các tình huống, kết quả trong thảo luận nhóm:

+ Ý kiến 1: Nếu HS cho rằng lời giải trên là đúng Khi đó GV yêu cầu HS kiểm tra lại xem đường thẳng d có cắt d 2 không

+ Ý kiến 2: HS đưa ra lời giải khác và thấy kết quả không tồn tại đường thẳng d.

Cụ thể: Giả sử đường thẳng d cắt d 1 và d 2 tại B, C Khi đó tìm điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng Tuy nhiên không tìm được hai điểm B, C như vậy (Tức không tồn tại đường thẳng d).

+ Ý kiến 3: Đường thẳng d tìm được là giao tuyến của 2mp (P), (Q) nói trên chỉ mới là điều kiện cần chứ chưa đủ để khẳng định d có tồn tại hay không (Tức d

Như vậy lời giải đúng phải tuân thủ theo quy trình sau:

Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A ,chứa d 2.

Bước 3: Xét d =(P) ∩ (Q)

Nếu d cắt (d 1 ) và (d 2 ) thì đường thẳng d là đường thẳng cần tìm

Nếu d // d 1 hoặc d 2 thì bài toán vô nghiệm

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1

Bước 2: Tìm giao điểm N = d 2 ∩(P)

(Nếu (P) // d2 thì bài toán vô nghiệm)

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng AN

Bước 4: Kiểm tra: Nếu AN // d 1 thì bài toán vô nghiệm, nếu AN cắt d 1 suy ra đường thẳng cần tìm là AN

Cách 3:

Bước 1: Giả sử đường thẳng d cắt d 1 và d 2 tại B, C

Bước 2: Tìm điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng

vô nghiệm Do đó không tồn tại đường thẳng thỏa mãn

yêu cầu bài toán

Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1

Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d1 nên dthuộc mặt phẳng ( )P điqua A và chứa d1

Lấy M (1; 1; 0) ∈d1 ⇒M ∈ ( )P , MAuuur (1; -7; 1), d 1 có VTCP uur1 =(1;1;1)

(P) có VTPT nr =u MAur uuur1 ,  =(8;0; 8− )

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x z− − = 1 0

Bước 2: Tìm giao điểm N = d 2 ∩(P)

d 2 đi qua H(0;1;3) và có VTCP uuur2 = −(1; 1;1)

Ta thấy uuur r2 ⊥n và H∉( )P ⇒d 2 // (P)

Do đó không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 3: Bước 1: Giả sử đường thẳng d cắt d 1 và d 2 tại B, C

Giả sử tồn tại d thoả mãn yêu cầu bài toán Khi đó giao điểm của d với d 1 và d 2

Hệ này vô nghiệm Do đó không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ngoài ra ta cần lưu ý thêm các trường hợp sau:

+ TH1: d 1 và d 2 trùng nhau Trường hợp này dù điểm A nằm ở vị trí nào đi nữa thì bài toán cũng có vô số nghiệm hình Nghĩa là có vô số đường thẳng d thoả

mãn

+ TH2: d 1 và d 2 cắt nhau ta lại xét đến hai trường hợp:

* A thuộc mặt phẳng chứa d 1 và d 2 Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình

* A không thuộc mặt phẳng chứa d 1 và d 2 Khi đó bài toán có 1 nghiệm hình Là đường thẳng qua A và giao điểm của hai đường thẳng d 1 và d 2

+ TH3: Trường hợp d 1 và d 2 song song ta cũng xét hai trường hợp:

* A thuộc mp chứa d 1 và d 2 Khi đó bài toán có vô số nghiệm hình

* A không thuộc mp chứa d 1 và d 2 Khi đó bài toán không có nghiệm hình.

c) Ví dụ:

Trong phần này đề tài đề cập đến 3 dạng toán sau:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 cho trước (Đã có VD ở phần phân tích trên) Chú ý:

- Giả thiết “đường thẳng d đi qua A” trong dạng 1 nếu thay bởi giả thiết

“đường thẳng d song song với một đường thẳng cho trước” hoặc “đường thẳng

d vuông góc với một mặt phẳng cho trước” ta có các dạng toán 2, 3 với phương

pháp giải như sau:

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

Phân tích: + VTCP: uuur uurd =u d'

+ Yếu tố điểm: A hoặc B (với A là giao điểm của d với d 1 , B là giao điểm của d với d 2 ) Để tìm tọa độ điểm A, B ta tìm điều kiện để uur uuur ,

Bước 3: Sử dụng giả thiết d//d’ nên ur

và uuurAB cùng phương ⇒ giá trị của tham

d P

d







Bước 3: Xác định giao điểm A của d2 và mp ( )P (nếu có)

Bước 4: Lập phương trình đường thẳng d qua A '

song song víi d

Cách 3:

Bước 1: Gọi M là giao điểm của d với d1 ⇒ Tọa độ điểm M theo tham số củađường thẳng d1

Lập phương trình đường thẳng d ®i qua '

song song víi

d P

d Q

d







Bước 3: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) ( )P , Q

Bước 4: Kiểm tra d có cắt d1, d2 không rồi kết luận

Bài tập vận dụng: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng d biết d song song với d’: x - 4 = 7 3

t t

Vậy d là đường thẳng đi qua A và nhận ur là VTCP ⇒ d có PT là:

DẠNG 3: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), cắt

cả hai đường thẳng d1 và d2 Phân tích: Ở dạng toán này, giả thiết d vuông góc với mp (P) tương đương với giả thiết d song song với d’ (cùng chỉ ra cho ta ngay được tọa độ một VTCP của d)

Bước 2: Tính uuurAB , VTPT của (P): nr = ( ; ; )A B C

Bước 3: Sử dụng giả thiết d ⊥ ( )P nên nr và uuurAB cùng phương ⇒ giá trị của

tham số t và t’ ⇒toạ độ 2 điểm A và B

Bước 4: Kết luận: Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và B (hay đường thẳng đi qua A và có VTCP u nr uur= P)

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( ) chøa 1 ( )

vu«ng gãc víi

d Q

P







Bước 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp ( )Q (nếu có)

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng d ( )

qua A vu«ng gãc víi P

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ( ) chøa 1 ( )

vu«ng gãc víi

d Q

P







Bước 3: Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) ( )R , Q

Bước 4: Kiểm tra d có cắt d1, d2 không rồi kết luận

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( ) :P x+ 2y z+ − = 1 0 và hai đường thẳng có phương trình 1: 1 1 ;

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

7 8

1 2 9

Viết phương trình đường thẳng d cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTĐT d biết d song song với

d’: x+ = + = − 1 y 3 2 z , đồng thời cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 với d 1:

(t∈¡ ) Viết phương trình đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2

( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007)

2.2 Viết PT đường thẳng biết yếu tố vuông góc

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M x y z( ; 0 0 0 ), có vectơ chỉ phương ur thỏamãn ur⊥a ur r, ⊥br (ar

b) Những lưu ý khi giảng dạy:

Phương pháp: Với dạng này để tìm VTCP của đường thẳng d cần viết PT thì ta

tìm lấy hai vectơ không cùng phương có giá vuông góc với đường thẳng d Khi

đó tích có hướng của hai vecto đó chính là một VTCP của đường thẳng d

GV hướng dẫn HS một số trường hợp cơ bản để xác định hai vecto có giá vuông góc với đường thẳng d:

Ta có: +) d ⊂( )P hoặc d/ /( )P thì uuur uurd ⊥n P