Tài liệu giải pt lượng giác

Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted.. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may h

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 1 Giải phương trình : 3sin2x4 sin cosx x5 cos2x2

3sin x 4 sin cosx x 5 cos x 2 sin x cos x

sin2 x4 sin cosx x3cos2x0

sinx cosxsinx 3cosx 0 sinx cosx 0 sinx 3cosx 0

Câu 2 Giải phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

sin 3 cos 2 1 2sin cos 2 sin 3 cos 2 1 sin sin 3

2

526

Câu 5 Giải phương trình lượng giác: cos x cos x 2  6  cos x 4

PT  2cos x cos x4 2  cos x4 cos x( cos x4 2 2 1)0

4 0122

, với k, l là số nguyên Kết luận

Câu 7 Giải phương trình lượng giác: (2 sinx1)( 3 sinx2 cosx 2)sin 2xcosx

Câu 8 Giải phương trình: 4sinx + cosx = 2 + sin2x. 

Phương trình tương đương:

 4sinx + cosx = 2 + 2 sinx.cosx  2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0

 (2 – cosx) ( 2sinx -1) = 0

(2 sinx1)( 3 sinx2 cosx 2)sin 2xcosx(1)

(1)(2 sinx1)( 3 sinx2 cosx 2 )cos (2 sinx x1)

(2 sin 1)( 3 sin cos 2 ) 0



12

26

z k k

x

k x

3 sin 2 cos 2 4sin 1 2 3 sin cos 1 cos 2 4sin 0

2 3 sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3 cos sin 2 0

Câu 11 Giải phương trình: cos xsin 4xcos3x 0

cos x sin 4x cos3x  02sin 2x.sin x2sin 2x.cos 2x 0

22sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2sin x sin x 1) 0

Phương trình  1 2sin2xsinx1

sin 0

1sin

26

kπx2πsin 2x 0 x k2π

Ta có phương trình 2

cos 2x3sinx202 sin x3sinx 1 0

22

1

6sin

26

Câu 15 Giải phương trình: 2 cos2xsinx 1 0

Ta có: 2 cos2 xsinx 1 02 sin2 xsinx 3 0(sinx1)(2 sin +3)=0x

Câu 16 Giải phương trình: 4sinx + cosx = 2 + sin2x. 

Phương trình tương đương:

 4sinx + cosx = 2 + 2 sinx.cosx  2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0

26

z k k

x

k x

Câu 17 Giải phương trình: sin x2  1 4cos x cos x. 2

PTsin x2  1 cos x2 4cos x 0

2

sin x cos x cos x cos x

cos x(sin x cos x )

cossin

(1)

k x

k x

k x

x

x x

265

266

2

1sin

0cossin

sin 0cos 2 sin

Câu 20 Giải phương trình cos2x 5s inx 3  0

2os2 5s inx 3 0 2 sin 5s inx 2 0

526

Câu 21 Giải phương trình cos2x5sinx 3 0

Phương trình tương đương với 2sin2x5sinx 2 0sinx2 1 2sin  x0 (1)

Do sinx 2 0 vô nghiệm nên (1)

26

2sinx1 3cos 4x2sinx4 4 cos x 3

Câu 25 Giải phương trình: 2 3 sin xcos xsin 2x 3

2 3 sin xcos xsin 2x 32 3 sin xcos x2sin x cos x 3 0

2sin x 1 cos x  3 0

* cos x 30: Vô nghiệm

*2sin x 1 0 

65

 

2

) 2 3 sin cos 2sin 4sin 0

2sin 3 cos sin 2 0

Câu 28 Giải phương trình cosxsinx 1 sin 2x c os2 x

Pt đã cho cosxsinx2 sin cosx x2 osc 2x0

 sin (1 2 cos ) cos (1 2 cos )x  x  x  x 0

 (sinxcos )(1 2 cos )x  x 0

Câu 30 Giải phương trình sin 2x 1 6sinxcos 2x

sin 2x 1 6sinxcos 2x  (sin 2x6sin ) (1 cos 2 )x   x  0

 xk Vậy nghiệm của PT là xk,kZ

sin4sincos25

x x

x x x

sin4sincos25

x x

x x x

pt sinx cos xcos xcosx

2

Câu 32 Giải phương trình: 4sinx + cosx = 2 + sin2x

Phương trình tương đương:

4sinx + cosx = 2 + 2 sinx.cosx 2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0

(2 – cosx) ( 2sinx -1) = 0

The image cannot be

displayed Your

computer may not

hav e enough memory

to open the image, or

the image may hav e

been corrupted Rest…

The image cannot be displayed Your computer may not hav e enough memory

to open the image, or the image may hav e been corrupted Rest…

The image cannot be

displayed Your

computer may not

hav e enough memory

to open the image, or

the image may hav e

been corrupted Rest…

Câu 33 Giải phương trình 2sin3xcos 2xcosx0

Pt 2sin3x(1 2 sin 2x) cos x02sin2x(1 s in ) (1 cos ) x   x  0

(1 cos ) 2(1 cos )(1 sin ) 1x x x 0

       (1 cos ) 2(sinx  xcos ) 2sin cosx  x x    1 0

1 cos x0cosx 1 x2k (k )

22(sinxcos ) 2sin cosx  x x 1 02(sinxcos ) (sinx  xcos )x  0

sinxcosx 2 bị loại

sin cos 0 tan 1

Câu 34 Giải phương trình sinx 1 3 cosx

Phương trình (1) 1sin 3cos 1 sin( ) 1

computer may not

hav e enough memory

to open the image, or

the image may hav e

been corrupted Rest…

The image cannot be displayed Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted Restart your computer, and then open the file again If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.

The image cannot be displayed Your computer may not hav e enough memory

to open the image, or the image may hav e been corrupted Rest…

The image cannot be displayed Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted Restart your computer, and then open the file again If the red x still appears, you may hav e to delete the image and then insert it again.

Câu 35 Giải phương trình sin 2x 1 6sinxcos 2x

sin 2x 1 6sinxcos 2x (sin 2x6sin ) (1 cos 2 )x   x  0

 xk Vậy nghiệm của PT là xk,kZ

Câu 36 Giải phương trình: 2 cos 5 cos3x xsinxcos8x

2

2 cos 5 os3 sin os8 os8 os2 s inx os8

os2 s inx 0 2 sin s inx 1 0

sin cos 4 2 sin 2

Câu 38 Giải phương trình: 3 sin 2xcos 2x4sinx1

3 sin 2xcos 2x4sinx 1 2 3 sin cosx x 1 cos 2x4sinx0

Câu 39 Giải phương trình cos 2x3sinx 2 0

Ta có phương trình cos 2x3sinx202 sin2 x3sinx 1 0

sin

22

Câu 41 Giải phương trình: (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx

Pt 2 cosx1 2sin xcosxsinx2cosx1

2 cosx 1 2sin x cosx sinx 0

Câu 43 Giải phương trình 2sin2x  3 sin xc x c os  os2x  1

1 sin 2 x cosxsinx  1 2sin x

PT   sin x  cos x   cos2x  sin2x   cos2 x

1 sin

sin 4 sin 4 3 cos cos 2 sin 2 2 cos

6

Phương trình đã cho tương đương với:

sin 4 sin 2 3 sin 2 cos 2 cos 2 2 cos( )

1 32sin 4 ( sin cos ) 2 2 cos( )

cos21

sin( ) 0

42sin( )

Câu 47 Giải phương trình sin 4x2 cos 2x4 sin xcosx 1 cos 4x

      sin4x2cos2x4sinxcosx1cos4x

sin cos  04

2cos22cos22cos

cos

Với cos2xsinx1012sin2xsinx10sinx1 2sin2x10      

Z m m x

21

Câu 49 Giải các phương trình 1 3 cos xcos 2x2 cos 3x4 sin sin 2x x

Giải phương trình 1 3 cos xcos 2x2 cos 3x 4 sin sin 2x x(1)

(1) 1 3 cosxcos 2x2 cos 2 xx4 sin sin 2x x

1 3 cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x4 sin sin 2x x

1 3 cos xcos 2x2 cos cos 2 x xsin sin 2x x0

1 3 cos xcos 2x2 cosx 0 1 cos xcos 2x0

 2 cos2 xcosx 0



1cos

2

x x

Câu 51 Giải phương trình sau:  6 6 

8 sin xcos x 3 3 cos 2x11 3 3 sin 4 x9sin 2x

Phương trình đã cho tương đương với

3 6sin 2 3 3 sin 4 3 3 cos 2 9sin 2

2sin 2 2 3 sin 2 cos 2 1 3 cos 2 3sin 2 0

2sin 2 3sin 2 1 3 cos 2 (2sin 2 1) 0

(2sin 2 1) sin 2 3 cos 2 1 0

sin 2

712

1 2sin 2sin 2 2 cos

cos 2 3(1 cos )2sin 1

(1 2sin ).(1 2 cos )

2 cos 1 3(1 cos )2sin 1

2

26

3cot x2 2 sin x 2 3 2 cos x

Điều kiện sinx  0

Chia cả hai vế pt cho sin2 x 0, ta được 42   2

Vậy pt có các họ nghiệm như trên

2 2 sin cos cos 2 sin cos

2sin cos

2

;4

1

4cos

sin sin cos

Câu 57 Giải phương trình

(1) sin 2 cos 2 5sin cos 3 0

cos (2sin 1) (2sin 5sin 2) 0

(2sin 1)(cos sin 2) 0 sin

52

26



Câu 59 Giải phương trình: cos 4x2sin 6x2 3 sin 3 cosx xcos 2x

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

cos 4 cos 2 2 sin 6 2 3 sin 3 cos 0

2sin 3 sin 4 sin 3 cos 3 2 3 sin 3 cos 0

2sin 3 sin 3 cos 2 cos 3 0

4 sin 4 cos 3 4 cos cos

4 1 sin 3 2 cos 2 sin

2sin

3 2 cos xcosx2 sinx 3 2 cos x 0

3 sinx 32 sinx cosx 32sinx  0

 3 2 sin  3 sin cos  0 3 2 sinx 0

sin

2

31

Đk cos 2 0 ,

Ta có: sin tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3

(sin tan 2 3 sin ) (3tan 2 3 3) 0

Câu 63 Giải phương trình

sin 2 cos 2 1 2sin 0

2sin cos 2sin 2sin 0

sin (cos sin 1) 0

x



 Điều kiện cosx 0

Phương trình đã cho tương đương với : 2sinx4 cosx 3 cos 2x

3(sin cos ) (cos sin ) 3 (sin cos )(cos sin )

(sin cos 1)(sin cos 3) 0

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x k2 ( k  )

Câu 65 Giải phương trình: 1 2 cos sin 

2 cos 3cos 2 cos 2 4 sin sin 2

2 cos 3cos 2 cos cos 2 sin sin 2 4 sin sin 2

cos 2 2 cos 1 1 sin 2 cos

sin 2x 1 sinx cosx ;sin 3 x 4 sin x3sinx và 3

cos 3 x4 cos x3cosx nên phương trình được viết về dạng

sinx cosx ( 3 sin 3 x cos 3 x)   0

+ Giải phương trình sinx + cosx = 0 ta được họ nghiệmx 4 k ,k

a) phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện: cosx 1, sinx0 xk, k 

Phương trình đã cho tương đương với

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là ; 2 ,

Câu 73 Giải phương trình sin 3x2 cos 2x 3 4 sinxcos (1 sin )x  x

a) phương trình đã cho tương đương với

sin 3xsinx2 cos 2x3(sinx1) cos (sin x x1)

2 cos 2 sinx x 2 cos 2x (sinx 1)(cosx 3)

(sinx 1)(2 cos 2 x cosx 3) 0

2(sinx 1)(4 cos x cosx 5) 0

*) 4cosx – 5 = 0 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 2 k2 ,





   x k2 , k 

2 3 sin 2 1 cos 2 4 cos 2 sin 3

02sin 2 1

2 3 sin 2 1 cos 2 4 cos 2 sin 3 0

2 3 sin 2 2 3 sin 2 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 3 0

2 3 sin 2 cos 2 3sin 2 2 3 sin 2 cos 2 cos 2 0

3 sin 2 cos 2 3 sin 2 cos 2 2 0

Vậy nghiệm của phương trình là : ,

Câu 77 Giải phương trình:1 2 2 6 2 3

26

5

26

(thỏa mãn điều kiện)

Câu 78 Giải phương trình 2 sin sin 2 1

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm: 2 1 2  

2

Câu 80 Giải phương trình:cos x3 2sin   x cos x sin x2     1 0 

Phương trình tương đương: 2 sin x.sin x 2 2sin  x sin x2   1 0 

Câu 82 Giải phương trình:sin 2xcos 2x3cosxsinx  2 0

Pt: sin 2xcos 2x3cosxsinx 2 0

22

2sin

Câu 84 Giải phương trình sin sin 5 2 cos2 2 cos2 2

Phương trình đã cho tương đường với: sinx + sin5x = sin2x + sin4x

2sin3xcos2x = 2sin3xcosx  cos2x = cosx hoặc sin 3x = 0

Câu 85 Giải phương trình:

sinx 3 cos  sin cos  2 2 sin 7

Câu 86 Giải phương trình cos 3xcosx2 3 cos 2 xsinx

Giải phương trình cos 3xcosx2 3 cos 2 xsinx (1)

Ta có: (1)2 cos 2 cosx x 3 cos 2 x sinx0 cos 2 (cosx x 3 sinx)0

Câu 87 Giải phương trình sin 2x2 sin2xsinxcosx

Phương trình đã cho tương đương với

Câu 88 Giải phương trình 3 sinxcosx2 cos 3x 0

3 sinxcosx2 cos 3x0

3cos (2 sinx x 1) (2 sinx 1)(sinx 2) 0

(2 sinx 1)(3 cosx sinx 2) 0

1sin

2sin 3cos 2

2

52

26

,2

102

Câu 90 Giải phương trình 5

(1) 2 sin 2 cos 2x x4 cos 2x4(sinxcos )x

2(sinx cos )[sin 2 x(cosx x sin ) 2(cosx x sin ) 2]x 0

cosx sin 0 ,

4sin 2 (cos sin ) 2(cosx sin ) 2 0(1)

2 cos 2x 3cos 2x cos 2x 6 0

Câu 92 Giải phương trình:sin (cos 2x x2 cos )x cos 2 cosx x1

Phương trình đã cho trương đương với:

cos 2 (sinx xcos ) sin 2x  x 1 0(cos xsin x)(sinxcos ) ( in2x  s x1)0

2(cosx sin )(sinx x cos )x ( in2s x 1) 0

(cosx sin )(1 sin 2 ) ( in2x x s x 1) 0

       (sin 2x1)(cosx sinx 1)  0

cos 2 sin 12 4 cos 2013 2 0

Câu 94 Giải phương trình sinxcos 2x2 cosxcos 2 cosx x 1

Phương trình đã cho tương đương với

cos 2x sinxcosx sin 2x 1 0 cos xsin x sinxcosx  sin 2x1 0

cosx sinxsinx cosx2 sin 2x 1 0

Câu 96 Giải phương trình cosxtanx 1 tan sinx x

Điều kiện: cosx  0

Phương trình đã cho tương đương với cos2 xsinxcosxsin2 x

cosx sinxcosx sinx 1 0

Câu 97 Giải phương trình:

2

1 sin3

Đối chiếu điều kiện nghiệm thỏa mãn

Câu 98 Giải phương trình 2sinxcos 3xsin 2x 1 sin 4x

Phương trình đã cho tương đương với 2sinxcos 3x 1 2 cos 3 sinx x

26

Câu 91 Giải phương trình sin 4x2sin3xsinx 3 cos cos 2x x

Phương trình đã cho tương đương với

Câu 92 Giải phương trình: sinx 3 cosxsin 3x2

Phương trình đã cho tương đương:

Câu 93 Giải phương trình:  2   

3 2 cos xcosx2 sinx 32cosx 0Phương trình đã cho tương đương:

2

2 3 sin 3 cos 3sin 2sin cos 0

3 cos 3 sin 2sin cos 3 sin 0

23

Câu 94 Giải phương trình: sin 2x4 cosx 0

Ta có: sin 2x4 cos( x)02 sin cosx x4 cosx02 cos (sinx x2)0(sinx  không xảy ra) 2

tan 1 tan 3 arctan 3 ,

cos 2 1

3cos 2

Câu 98 Giải phương trình: cosxsin 4xcos3x 0

Giải phương trình: cosxsin 4xcos3x 0

cosxsin 4xcos 3x 0 2sin 2 sinx x2sin 2 x cos 2 x  0

2 sin 2x sinx cos 2 x 0 sin 2x 2 sin x sinx 1 0

2sin 1

21

2

726

k x

Câu 99 Giải phương trình 2 sinx1  3 sinx2 cosx1sin 2xcosx

2 sin 1  3 sin 2 cos 1 cos 2sin 1

26

Câu 101 Giải phương trình: 4sinxcosx 2 sin 2x

Phương trình tương đương:

5sin

22

6

k x

Câu 102 Giải phương trình: 2 cos 5 cos 3 x sinxx  cos8 x

cos 2 cos8 sin cos8

Câu 104 Giải các phương trình 1 3cos xcos 2x2 cos 3x4sin sin 2x x

Giải phương trình 1 3cos xcos 2x2 cos 3x4sin sin 2x x (1)

 1  1 3cosxcos 2x2 cos 2 xx4sin sin 2 xx

23

2sin 2xcos 2x3 2 sinx  2 1 sin 2x2sin x3 2 sinx20

sin 2 ( )

2sin

2

2 ( )4

524

Câu 106 Giải phương trình cosx + cos3x = 2cos2x

2 cosx cosx2 cos x2 cosx cos 2 x cosx  0

21

2cos

23

Vậy phương trình có nghiệm 2  

23

Câu 109 Giải phương trình sin 3 x  cos 2 x  sin x

sin 3 x  cos 2 x  sin x

 3sin x  4sin3x   1 2sin2x  sin x

 4sin3x  2sin2 x  2sin x   1 0

2sin x  1 2sin x  1  0

  2sin x  1 os2  c x  0



os2 0

4 2 2

sin

5 2

2 6

k x

Câu 110 Giải phương trình: 2 cos 5 cos 3 x sinxx  cos8 x

2 cos 5 cos 3 x sinxx  cos8 x

2 1

6sin

26

Câu 111 Giải phương trình: cosxsin 4xcos3x 0

cosxsin 4xcos3x 0

cosx 2sin 2 cos 2x x cos 3x  0

2 k2

Câu 112 Giải phương trình 4 cos2x(1 sin ) x 2 3 cos cos 2x x 1 2 sinx

Phương trình đã cho tương đương với :

2 sin (2 cosx x1)2 3 cos cos 2x x4 cos x 1 0

2 sin cos 2 2 3 cos cos 2 3cos sin 0

2 cos 2 ( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )( 3 cos sin ) 0

( 3 cos sin )(2 cos 2 3 cos sin ) 0

5 2 6 3

k x

là nghiệm của phương trình

Câu 114 Tìm các giá trị của ; 0

2 cot 2 cot 1

Điều kiệnsin 2x 0 Ta có sin 5 cos5 2sin 6

sinx cos sin 2

     (thỏa điều kiện)

Câu 117 Giải phương trình 4 4 1

2 2 2

2 2

cos cos 2 1 4 sin 2 cos 2 x

       (thỏa mãn điều kiện)

Câu 119 Giải phương trình sin2xsin 3xcosxcosx1

sin 3xsin 5x2 cos 2xsin 3x

Phương trình tương đương với sin 3 sin 5 2 cos 4 1 1 cos 6

  cos 0cos cos 5 sin 4 x 0

cos 5 sin 4

x x

2

k x

3 2sin 2 cos sin 3 10sin

2 cos 3 cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2

 

22cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2

4

2cos3 cos 3 3 sin 2 3 1 cos 4

22cos3 cos 3 3 sin 2 3 3 sin 4

2cos3 cos 3 sin 4 sin 2 0

2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2cos cos3 3 sin 3 0

Câu 123 Giải phương trình (1 sin 2x) cosx(1 cos 2x)sinx 1 sin 2x

Phương trình đã cho (sinxcos )x (sin2xcosxcos2xsin )x (1 sin 2 ) x  0

2(sin cos ) sin cos (sin cos ) (sin cos ) 0

(sin cos )(1 sin cos sin cos ) 0

Câu 124 Giải phương trình 2 2

1 sin sinx cos sin 2 cos

Câu 126 Giải phương trình  

1cos

x x

Phương trình 3 4 cos 2 (3 4 cos 2 cos 4 ) 1

sin 2 cos 2 sin 2

sin 2cos 2 0 sin 2 cos 2 0( ) 2

Giải phương trình 1 1 cos 2 2sinx 3 1 1 