Bài tập tổng hợp Oxy
Trang 1TỔNG HỢP VỀ OXY VÀ HỆ PT (Lớp off) – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ
3
( , )
x y x y x xy y
x y
x x y x y
∈
3
1 2 1 (1)
( , )
x x y x y
x y
x y x y x y
∈
ℝ
Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
x
x x y x y
x y xy y
+
Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
x y x y xy x y x
2 2
3
( , )
x y y x y x y
x y
x y x y x x
∈
ℝ
Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
y
x y y x x
Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn
C x +y + x− y+ = và M( )0;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương
Đ/s: A( ) (1; 2 ,B −1; 0 ,) (C −1; 4 )
Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: − − =y 3 0 và điểm A( )2; 6 Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác
ABC vuông tại A và có diện tích bằng 35
2 Đ/s: ( ) ( ) (2 )2
T x− + y− = hoặc ( ) ( ) (2 )2
T x− + y− =
Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và A(−1; 2 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
BME biết BN nằm trên đường thẳng 2 x+ − =y 8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2
Đ/s: ( ) ( ) (2 )2
T x− + y− =
Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x+ + =y 3 0, d2:x− + =y 1 0 và điểm M( )1; 2 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d tại hai điểm A và B sao cho 1 AB=8 2 và đồng thời tiếp xúc với d 2
Đ/s: ( ) ( ) (2 )2
T x− + y+ = hoặc ( ) ( ) (2 )2
T x+ + y− =
Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
( )4; 0
I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
www.sachonthiquocgia.com
Trang 2của tam giác là d1:x+ − =y 2 0 và d2:x+2y− =3 0 Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam
giác ABC biết B có tung độ dương
Đ/s: Phương trình BC x: − − =y 6 0, phương trình AB y: =1, phương trình AC: 2x+ −y 3
LỜI GIẢI BÀI TẬP
3
( , )
x y x y x xy y
x y
x x y x y
∈
ℝ
Lời giải:
ĐK:
2 3 4 0
2
3
x
≥
+ ≥
(*)
(1)⇔ x+2y x− +y 2x +3xy+4y − +x 2y =0
x xy y x y xy
x y x y
x xy y x y
x x y
x y x y
x xy y x y
−
x
5
⇒ + + − ≥ ⇒ + + ≥ > ⇒ + + >
Kết hợp với 2x+ ≥y 2⇒(x+5y+ +2) (2x+y)>2⇒3(x+2y)>0⇒x+2y>0
Mặt khác
2
x
x xy y x y
Do đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x
3 3x− +2 4 3x− =2 5 6x+ − ⇔2 3 5 6x+ −2 7 3x− − =2 3 0
Đặt 3
2
3 2
3
7
a b
a b
x a x b
a
a b
a
−
=
− − =
−
7
a
a − a a a
49a 50a 60a 312 0 a 2 49a 48a 156 0
3
x≥ ⇒a= x+ > ⇒ a + a+ > Khi đó (4)⇔ − = ⇔ =a 2 0 a 2
www.sachonthiquocgia.com
Trang 3⇒ + = ⇔ = ⇒ = Thử lại x= =y 1 đã thỏa mãn hệ đã cho
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 1;1
3
1 2 1 (1)
( , )
x x y x y
x y
x y x y x y
∈
ℝ
Lời giải:
ĐK:
0
x x y
x y
x y
+ − ≥
− ≥
(*)
(1)⇔ x+1 −y +x − = − +x x y 1
x x y x x y x y
Do x− ≥y 0⇒x− + ≥ >y 1 1 0 nên ( )2 2 2
(3)⇔ x+1 + −x y + = + +x x y 1
x y x y
x x y y
x x y y
+ ≥
(4)
Từ (1) và (2) ta có
3
3 3 0
3 3 0
(2x y 1) (x 2y 2) (x 3y 3) 0 4(x y) 4 x y 1 2 0
0
x y y x
Thế y=x vào (2) ta được 3
1 2 3+ x− =2 3 4x−3
2
2 3
3
2
b a
a b
a x b x
b
a b
b
−
=
−
Ta có
2
0
3 1
2
2
b b
b
=
−
2
b= ⇒a= − ⇒ Loại vì a≥0
b= ⇒ x− = ⇔ =x ⇒ y= www.sachonthiquocgia.com
Trang 4Thử lại ( ) ( ) 11 11
4 4
x y
đều thỏa mãn hệ đã cho
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( ) 11 11
4 4
x y
Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
x
x x y x y
x y xy y
+
Lời giải:
x y
xy x
− + ≥
0
x x y y x y
x x y x y x x y x
Do x≥1;y≥2 : 1( )⇔ =x 2y thế vào PT (2) ta có: 2
2y− +1 y− = +2 1 2y −5y+1
3; 6
2 1
y
Vậy x=6;y=3 là nghiệm của PT đã cho
Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình
Lời giải:
2
4
3
x y
y
+ thế vào PT(1) ta có:
2
2
3
y
y y
+
0
5 3 4 8 3 5 19 12 3
25 190 361 144 432
y
≥
y x
⇔ = ⇒ = là nghiệm của HPT đã cho
2
x y x y xy x y x
Lời giải:
: ; 0
DK x y≥
PT ⇔ x y+ x y+ −xy − x y+ + x− y =
xy x y x y xy
Thế vào PT(1) ta có: 2 3x+ +4 3 5x+ =9 x2 +6x+13
www.sachonthiquocgia.com
Trang 5( )
0
1
x y
x x
x y
= =
= = −
2 2
3
( , )
x y y x y x y
x y
x y x y x x
∈
Lời giải:
ĐK:
5
x y
x y
x y
x y
x y
+ + ≥
+ ≤
− − ≥
(*)
(1)⇔2 x +3y −4y= − − −x y x y
2
2 2
2 2
x y x y
x y x y
2
2 2
3
x y
x y xy
−
2
2 2
3
1 0
4 x +3y − +x 3y =3x +3y −6xy=3 x−y ≥0
2 2
3
x y x y
x y x y
Do đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x
Thế y=x vào (2) ta được ( )3
3x+ −3 5 2− x = −x 1 −13x+27
3 2
3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24
3x 3 5 2x x 3x 10x 26
3 2
3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24
3 3 3 1 5 2
2
x
12 3 4 0
2
12 0
3x 3 3 1 5 2x x x
Do đó (4)⇔ − = ⇔ =x 2 0 x 2⇒ y=2 Thử lại x= =y 2 thỏa mãn hệ đã cho
Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 2; 2
www.sachonthiquocgia.com
Trang 6Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
y
x y y x x
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
1 1
≥ −
≥ −
x y
y x
y
x
(1)⇔ x +2y − + + + −x 1 y 1 y +2x+ =2 0
0
x y x y y x
(do ,x y≥ −1)
Thay vào (2) ta được
2 3
10x+15+ +x x+ =3 x +7x+13 ( ) ( ) (2 )
⇔ x+ − x+ + x+ − x+ x+ =
0
2
2
x x x
x x
x
x
3 1
2
⇔ = ⇔ =x y (thỏa mãn)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 3
2
=
x y
Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn
C x +y + x− y+ = và M( )0;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương
Lời giải:
Gọi I là tâm đường tròn ( )C ta có: I(−1; 2 ;) IA=IB=IC= =R 2
Do tam giác ABI cân tại I nên ta có IM ⊥ AB Mặt khác IM(1; 1− )
Phương trình đường thẳng AB qua M và vuông góc với IM là:
AB x− + =y Khi đó toạ độ các điểm Avà B là nghiệm của HPT:
( )
0 1; 0
A
x y
x y x y
do x
x y
= − =
Phương trình đường thẳng BC qua B và vuông góc với AI là:
1
y C B loai x
y C
= − ⇒
Đ/s: A( ) (1; 2 ,B −1; 0 ,) (C −1; 4 )
Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: − − =y 3 0 và điểm A( )2; 6 Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác
ABC vuông tại A và có diện tích bằng 35
2 www.sachonthiquocgia.com
Trang 7Lời giải:
Gọi H là chân đường cao hạ từ A Ta có: ( ) 7
;
2
AH =d A BC =
2AH BC = 2 ⇒BC= = R⇔ =R
Do ABC∆ vuông tại A nên tâm I thuộc đường thẳng BC
5
t
IA t t
t
=
=
t = ⇒I ⇒ T x− + y− =
t = ⇒I ⇒ T x− + y− =
Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và A(−1; 2 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
BME biết BN nằm trên đường thẳng 2 x+ − =y 8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2
Lời giải:
Dễ thấy cos 2
5
NBC= Mặt khác NBC+ABN =900 do vậy
5
d A BN = AB ABN
⇔ = ⇔ = Gọi B t( ;8 2− t) (t>2) ta có: AB2 =16
3
5
t
t loai
=
=
Ta có tanNBC=tanMCD⇒NBC=MCD⇒NBC+ECB=900hay BN⊥CM
Giả sử AI cắt BC tại F thì AMCF là hình bình hành⇒NB⊥ AI Ta có : AI x: −2y+ =5 0
Do vậy ( ) ( ) (2 )2
T x− + −y =
Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x+ + =y 3 0, d2:x− + =y 1 0 và điểm M( )1; 2 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d tại hai điểm A và B sao cho 1 AB=8 2 và đồng thời tiếp xúc với d 2
Lời giải Gọi I a b( ); là tâm của đường tròn, H là trung điểm của AB
Ta có M( )1; 2 ∈d2 , mà M∈( )C
M
⇒ là giao điểm của d2 và ( )C
2
MH = AB=
( )
a H
⇒
= − ⇒ − −
www.sachonthiquocgia.com
Trang 8Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
( )4; 0
I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A
của tam giác là d1:x+ − =y 2 0 và d2:x+2y− =3 0 Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam
giác ABC biết B có tung độ dương
Lời giải
Gọi M là trung điễm của BC , H là chân đường cao kẻ
từ A
Ta có A= AH∩AM ⇒A( )1;1
Đường thẳng IM qua I và song song với AH
IM x y
Ta có M =IM ∩AM ⇒M(5; 1− )
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH
BC x y
Đường tròn ngoại tiếp ABC∆ có tâm I( )4; 0 bán kinh
10
IA= là ( ) ( )2 2
C x− + y = ,
B C là giao điểm của ( )C với BC nên tọa độ , B C thỏa
mãn hệ phương trình
x y
x y
− − =
⇒
= = −
Giả sử B( )7;1 , C(3; 3− )
Đường thẳng AB qua A( )1;1 và B( )7;1 ⇒ AB y: =1
Đường thẳng AC qua A( )1;1 và C(3; 3− )⇒ AC: 2x+ − =y 3 0
Thầy Đặng Việt Hùng
www.sachonthiquocgia.com