Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TĨM TẮT GIÁO KHOA A.. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I... Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Định nghĩa: Trên đường tròn lượn
Trang 1Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TĨM TẮT GIÁO KHOA
A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I Đơn vị đo góc và cung:
1 Độ:
Góc 1 0 180 1 góc bẹt
2 Radian: (rad)
180 0 rad
3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
6
4
3
2
3
2
4
3
6
II Góc lượng giác & cung lượng giác:
1 Định nghĩa:
2 Đường tròn lượng giác:
31
x
y
(tia gốc)
Z) (k 2 )
, (Ox Oy k
t
(tia ngọn)
O
.
o
180
O
x
y
B
(điểm gốc)
t
(điểm ngọn)
Trang 2Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: ¼AM = a + pk2
M
k
C A
k C
k A
2
D B,
k
,
2 2
D
2k
2 2
B
2k
III Định nghĩa hàm số lượng giác:
1 Đường tròn lượng giác:
x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang
u'Bu : trục cotang
2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos sin tan cot
OP OQ AT BU
b Các tính chất :
x
y
O
B
D
x
y
O
B
D
1
1 1
R
1
1
'
x
'
t
't
'
y
'
u
'
t
t
x u
'
y
'
t
1
Q
B
T
M
A P U
Trục cosin
Trục tang
Trang 3Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Với mọi ta có :
cot xác đinh k
c Tính tuần hoàn
k k k k
(k Z)
IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x x'
u u'
1
1 -1
-1
-/2
5/6 3/4 2/3
-/6 -/4 -/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2
- 2 /2
- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2
3 /2
2 /2 1/2
A
/3
/4
/6
3 /3
3
B /2 3 /3 1 3
O
33
Trang 4Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Góc Hslg
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
2
1
2
2 2
3 1
2
3
2
2
2
2
3 2
2
2
2
1
2
2
2
3
-1 1
3
3 1 3 kxđ 3 -1
3
3
3
3 0
3
3
V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1 Cung đối nhau : và - (tổng bằng 0) (Vd: & 6
6
2 Cung bù nhau : và - ( tổng bằng ) (Vd: &56
6
,…)
3 Cung phụ nhau : và 2 ( tổng bằng 2 ) (Vd: 6 & 3
,…)
4 Cung hơn kém 2 : và 2
(Vd: &23
6
,…)
5 Cung hơn kém : và (Vd: &76
6
,…)
1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :
sin( ) tan( ) sin
cos( ) c
tan cot
o
( )
s
cot
t
sin( ) s
i
ot
n
c
3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém 2
Trang 5Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2
2
2
2
tan
cos( ) sin 2
sin( )
2 cot(
s
2
co 2
n
5 Cung hơn kém :
tan(
) tan
co
in
t( ) cot
VI Công thức lượng giác:
1 Các hệ thức cơ bản:
sin
cos cos
sin
2
2 2
2
1
cos 1
sin tan cot = 1
2 Công thức cộng :
tan +tan tan( + ) =
1 tan tan
1 tan tan
3 Công thức nhân đôi:
35
sin bằng cos cos bằng trừ sin
Hơn kém tang , cotang
2
c os a = + a
sin
2
- a
a =
2
1 cos
Trang 6Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2 2
2
1 2sin
2 tan
1 tan
4 Công thức nhân ba:
cos3 4cos3 3cos3
5 Công thức hạ bậc:
+
-a
6.Công thức tính sin ,cos ,tg theo tan
2
t
sin 2t 2; cos 1 t22; tan 2t 2
7 Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
2 1
2 1
2
8 Công thức biến đổi tổng thành tích :
4
cos 3 3 cos
4
3 sin sin
3
Trang 7Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
cos cos
cos cos
9 Các công thức thường dùng khác:
cos4
cos4 c
3
4
5 3 8
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2 sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
u = -v+k2
2 cotu=cogv u = v+k (u;v k )
k
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k Z )
II Các phương trình lượng giác cơ bản:
1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( m R)
37
Trang 8Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
* Gpt : sinx = m (1)
Nếu m thì pt(1) vô nghiệm1
Nếu m thì ta đặt m = sin và ta có1
(1) sinx=sin x = +k2x = ( - )+k2
* Gpt : cosx = m (2)
Nếu m thì pt(2) vô nghiệm1
Nếu m thì ta đặt m = cos và ta có1
(2) cosx=cos x = +k2x = +k2
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm m R)
Đặt m = tan thì
(3) tanx = tan x = +k
* Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm m R)
Đặt m = cot thì
(4) cotx = cot x = +k
Các trường hợp đặc biệt:
2 sinx = 0 x = k
2
2
Bài tập rèn luyện
1) cos10x2cos 42 x6cos3 cosx xcosx8cos cos 3x 3 x (x k 2)
x
y
O
B
D
Trang 9Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4
8
x k )
x
(
6
x k )
( 2 2
3
x k ) 4)
3
2
cos 2
3 sin4 cos
4
x
x
x
(
12
x k )
1 2sin 2
x
4
x k)
2 Dạng 2:
2 2 2 2
( a 0)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta được phương trình : at2 bt c (1)0 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Bài tập rèn luyện
1 2sin 2
x
3
x k )
2 4cos5xsinx 4sin5xcosxsin 42 x ( ,
x x )
x k x k)
1
1 sin 2
x
( 2
4
x k )
3 Dạng 3:
cosa x b sinx c (1) ( a;b 0)
39
Trang 10Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
(Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx)
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho a2 b2 thì pt
a
a
c
a c
a
b b
Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x
Chú ý :
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a2 b2 c2
Bài tập rèn luyện
x x ) 2) 3 cos x 3 sinx sin4x4cos2x cos4x4sin2x ( 2 2 ; 2
3
x k x k )
2
x x )
sinxcosx x ( 6 ; 12 2
k
x k x )
x k x k )
d Dạng 4:
asin2x b sin cosx x c cos2 x0 (a;c 0) (1)
Trang 11Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos)
Cách giải 1:
Aùp dụng công thức hạ bậc : sin2x1 cos2 2 x và cos2x1 cos2 2 x
và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2
2
x x x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt:2
atan2 x b tanx c 0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
x
Nĩi thêm:
Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: asin3x b sin2xcosx c sin cosx 2x d cos3x hoặc các đẳng cấp cao 0 hơn sẽ thực hiện theo cách giải 2
d Dạng 5:
(cosa xsin )x b sin cosx x c 0 (1)
Cách giải :
4
2
Thay vào (1) ta được phương trình :
2 1 0
2
t
Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x t tìm x
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x sin )x b sin cosx x c 0
41
Trang 12Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng
giác cơ bản đã biết
Ví dụ 1: (B-2012)
Ví du 2ï: Giải phương trình:
2
3 2 sin cos
2) sin3x- 3cos3x=2sin2x 3) tanx 3 1
cosx
b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
A B. 0 A=0B=0
hoặc
A=0
C=0
A B C
Ví du 1ï : (A-2012)
Ví du 2 : (D-2012)
Ví du 3 : Giải các phương trình :
a sin2xsin 22 xsin 32 x 2
b 2sin3 xcos2x cosx 0
c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a cos 3x cos 2x cosx 1 0
x
Phương trình có chứa (cosxsin ) và sinx.cosxx
Ví dụ : Giải phương trình : 1 sin 3 cos3 3sin 2x
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
Trang 13Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
1)
3
2
ç
÷
2) 2sinx 1 cos2x( + ) +sin2x= +1 2cosx
3) sin x3 - 3cos x3 =sinxcos x2 - 3sin xcosx2
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau
1) (1 sin x cosx+ 2 ) + +(1 cos x sinx2 ) = +1 sin2x
2) 2sin 2x2 +sin7x 1 sinx- =
3)
2
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 2 cos x( 6 sin x6 ) sinxcosx
0
2 2sinx
-=
2
ç
3) cos3x+cos2x cosx 1 0- - =
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau
1) cos 3x cos2x cos x2 - 2 =0
2) 1 sinx+ +cosx+sin2x+cos2x=0
Bài 5 : Giải các phương trình lượng giác sau
-+ 2) 5sinx 2- =3 1 sinx tan x( - ) 2
3) (2cosx 1 2sinx- ) ( +cosx) =sin2x sinx
-
-Hết -43
