Luận văn về các nguyên lý biến phân

Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng,nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trêntập đó.. Với không gian metric đủ X, hàm f bị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-HOÀNG THỊ MẤN

VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian vectơ 6

1.2 Không gian vectơ tôpô 7

1.3 Không gian mêtric 10

1.4 Ánh xạ đa trị 12

1.5 Một số kí hiệu 12

1.6 Hàm nửa liên tục dưới 12

2 Nguyên lí biến phân Ekeland 15 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 15

2.2 Mở rộng 23

2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 23 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ 29

3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 36 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland 36

3.1.1 Định lí Bishop-Phelps 36

3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 38

3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) 41

3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric 43

3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động 44

3.3.1 Định lí điểm bất động Banach 44

3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Re-finement) 46

3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk 48

3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 51

3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 51

3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler 54

KẾT LUẬN 58

Tài liệu tham khảo 59

Mở đầu

Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle,viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất củagiải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua

Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng,nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trêntập đó Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cựctrị Với không gian metric đủ X, hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, taluôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là

Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnhtrong giải tích hiện đại Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùmnhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển,

lí thuyết điểm bất động, kinh tế,

Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS Phạm Hữu Sách [1] sử dụng đểnghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toánqui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị

Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động Kirk đã được phát hiện từ lâu Năm 1984 Penot mới chứng minh đượcrằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà

Caristi-sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland.Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh

xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trongcác bài toán cân bằng

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đếnnguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng củanguyên lí biến phân này

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tíchhàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí

Chương 2 Nguyên lí biến phân Ekeland

Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộngcủa nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bàitoán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ

Chương 3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân vàmột số nguyên lí biến phân khác

Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekelandgồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước

Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach,một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk.Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler

Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụthể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phânEkeland

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS

Tạ Duy Phượng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô

đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhấtđối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đãquan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốtnhiệm vụ của mình

Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Mấn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử F là một trường R hoặc C Các phần tử của F

được gọi là số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩatrên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộngvéctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tínhchất cơ bản sau đây được thỏa mãn:

1 Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:

Với mọi u, v, w ∈ V: u + (v + w) = (u + v) + w;

2 Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:

Với mọi v, w ∈ V: v + w = w + v;

3 Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:

Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;

4 Phép cộng véctơ có phần tử đối:

Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V: v + w = 0;

5 Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:

Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;

6 Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:

Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V: (α + β)v = αv + βv;

7 Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số

vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V: α.(β.v) = (α.β)v;

8 Phần tử đơn vị của trườngF có tính chất của phần tử đơn vị với phépnhân vô hướng: Với mọi v ∈ V: 1.v = v.1

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là không gian véctơ Tập C ⊆ X được gọi là

tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C

(hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).Định nghĩa 1.1.3 (Nón) Cho X là một không gian vectơ Tập K ⊂ X

được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K

K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0

Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng

nếu K là tập đóng

Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn) Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó

không chứa đường thẳng nào

Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu

K là tập lồi, có nghĩa là

∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K

Mệnh đề 1.1.1 K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K

Chứng minh Giả sử K là nón Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì

Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K

Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi

1.2 Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô) Cho một tập X 6= ∅ Họ τ các tậpcon nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu

Định nghĩa 1.2.2 Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ

• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ

Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X.TậpU được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa

A Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x

Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ {Gα : α ∈ I}

các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈IGα.Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn

Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở

Định nghĩa 1.2.5 Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ

mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn

Nhận xét 1.2.1 Trong trường hợpA ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi

A đóng và bi chặn

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là tập compact và {xk} là một dãyphần tử của A sao cho xk → a Ta chứng minh a ∈ A

Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk}k chứa một dãy con {xk}l

hội tụ đến một giới hạn thuộc A Ta có

a = limk→+∞xk = lim

l→+∞xkl ∈ A

Vậy A là tập đóng

Giả sử ngược lại tập A không bị chặn Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại

xk ∈ A sao cho ||xk|| > k Vì A là tập compact, dãy {xk} ⊂ A có chứamột dãy con {xkl}l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞) Do tính liên tụccủa chuẩn ta có ||xkl|| → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức

||xkl|| > kl với mọi l ∈ N∗ Vậy tập A phải bị chặn

Điều kiện đủ Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk}k làdãy phần tử bất kì của A Khi đó {xk}k là dãy bị chặn

Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặnđều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk}k có chứa một dãy con {xkl}l

sao cho xkl → a (l → ∞).

Vì A là tập đóng nên a ∈ A Vậy A là tập compact

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kìcủa X Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:

(i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của

x nằm trong A

(ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của

x nằm trọn trong X\A

(iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong

và không là điểm ngoài của A Hay nói cách khác, x là điểm biên của

A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A

Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp

A, kí hiệu ∂A

Định nghĩa 1.2.7 Cho X, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ

X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0)

đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f được gọi

là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Định nghĩa 1.2.8 Ta nói một tôpôτ trên không gian véctơ X tương hợp

với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô

đó, tức là nếu:

1 x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y, tức là với mọi lân cận V

của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y

sao cho nếu x0 ∈ Ux, y0 ∈ Uy thì x0 + y0 ∈ V

2 αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cậnV của

αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α0| < ε,

x0 ∈ U thì α0x0 ∈ V

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại

số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).

Định nghĩa 1.2.9 Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian

véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉgồm các tập lồi

Định nghĩa 1.2.10 (Ánh xạ liên tục) Cho X, Y là hai không gian tôpô.Ánh xạf : X → Y là liên tục tại điểm x trongX nếu mọi tập mởV trong

Y chứa f (x) thì có tập mở U của X chứa x sao cho f (U ) ⊂ V

Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X

1.3 Không gian mêtric

Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên X và cặp (X, d)

được gọi là một không gian mêtric.

Định nghĩa 1.3.2 Trong không gian mêtric X Một dãy {xn} được gọi

là dãy cơ bản nếu

được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r

Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian mêtric X Tập hợp

B[x0, r] = {x ∈ X|d(x0, x) ≤ r}

được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r

Nhận xét 1.3.1 Mọi không gian mêtric là không gian tôpô với τ là họtất cả các hình cầu mở trong X cùng với giao hữu hạn và hợp vô hạn củachúng

Định nghĩa 1.3.6 Cho không gian mêtric (X, d) Dãy hình cầu (Sn), Sn

có tâm an và bán kính rn trong không gian (X, d) được gọi là thắt dầnnếu Sn ⊃ Sn+1 (n = 1, 2, ) và limn→∞rn = 0

Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor) Không gian mêtric (X, d)là không gian

đủ thì mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.

Chứng minh Với mọi m, n mà m > n thì am ∈ S[an, rn]

Suy ra d(an, am) < rn Do đó lim

m,n→∞d(an, am) = 0

Vì vậy {an} là dãy Cauchy trong X

Vì X đủ nên dãy {an} hội tụ đến a ∈ X Khi đó a là điểm chung của mọihình cầu

Thật vậy, với số tự nhiên n bất kì, {an+k}∞k=1 là một dãy trong S[an, rn]

và lim

k→∞an+k = 1, cho nên a ∈ S[an, rn] (∀n)

Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của các hình cầu

Thật vậy, giả sử b cũng là điểm chung của các hình cầu thì

d(a, b) ≤ d(a, an) + d(an, b) ≤ rn+ rn = 2rn (∀n)

Mà rn → 0 suy ra d(a, b) = 0 Vì vậy a = b

Định lí hoàn toàn được chứng minh

Định nghĩa 1.3.7 (Không gian định chuẩn) Không gian định chuẩn (haykhông gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trêntrường P (P là trường số thực R hay trường số phức C) cùng với một ánh

xạ đi từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu là ||.|| (đọc là chuẩn), thỏa mãncác tiên đề sau:

(i) Với mọi x ∈ X thì ||x|| ≥ 0,

||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không của X);

(ii) Với mọi x ∈ X, mọi α ∈ P thì ||αx|| = |α|||x||;

(iii) Với mọi x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (bất đẳng thức tam giác)

Kí hiệu (X, ||.||)

Định nghĩa 1.3.8 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn(X, ||.||)

được gọi là không gian Banach nếu với mêtric sinh bởi ||.|| là không gianđầy đủ

1.4 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.4.1 Cho X, Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập concủa Y (được kí hiệu là 2Y) Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu vớimỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y

1.6 Hàm nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.6.1 Cho X là không gian mêtric và hàm f : X →

R∪ {+∞} Ta định nghĩa

lim

x→xinf f (x) = inf{y : ∃xn → x(n → ∞), lim

n→∞f (xn) = y}

Định nghĩa 1.6.2 Cho X là không gian tôpô Hàm f : X → R∪ {+∞}

được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf

x→x 0

f (x) ≥ f (x0)

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tạimọi điểm của X

Nhận xét 1.6.1 Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0

tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f (x) ≥ f (x0) − ε

(ii) epif = {(x, a) ∈ X ×R|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X ×R;

(iii) Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X(∀a ∈R).

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X Ta lấydãy {(xn, an)} ⊂ epif sao cho lim

n→∞(xn, an) = (x0, a0) Ta chỉ cần chỉ ra

(x0, a0) ∈ epif

Thật vậy, vì lim

n→∞xn = x0, lim

n→∞an = a0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại

x0 nên lim inf

n→∞ f (xn) ≥ f (x0)

Mặt khác, {(xn, an)} ⊂epif nên f (xn) ≤ an(∀n ∈ N) nênlim inf

n→∞ f (xn) ≤lim

n→∞an Do đó f (x0) ≤ lim inf

n→∞ f (xn) ≤ lim

n→∞an = a0

Chứng tỏ rằng (x0, a0) ∈ epif

(ii) ⇒ (iii) Giả sử epi f là tập đóng trong X × R Ta sẽ chứng minh

mọi tập mức của f đều đóng trong X

Thật vậy, giả sử Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức bất kì của f Lấydãy {xn} ⊂ Laf sao cho lim

Mà epif là tập đóng trong X ×R nên (x0, a) ∈ epif, do đó x0 ∈ Laf

(iii) ⇒ (i) Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X, ta cần chứngminh f là hàm nửa liên tục dưới trên f

Phản chứng, giả sử f không là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X Khi đó,tồn tại dãy {xn} ⊂ X sao cho lim

n→∞xn = x0, lim inf

n→∞ f (xn) < f (x0) Chọn

ε > 0 đủ nhỏ sao cho tồn tại k ∈ N để f (xn) ≤ f (x0) − ε, ∀n > k.Xét tập mức L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0) − ε} Ta thấy xn ∈ L, ∀n > k.Mặt khác, do L đóng và lim

n→∞xn = x0 nênx0 ∈ L, do đó f (x0) < f (x0) − ε

(vô lí)

Vậy f là nửa liên tục dưới trên X

Định nghĩa 1.6.3 Cho tập S trong không gian mêtric (X, d) Hàm chỉcủa tập S là hàm

lS(x) =



0 nếu x ∈ S,+∞ nếu x /∈ S

Mệnh đề 1.6.2 Nếu S là tập đóng thì lS là hàm nửa liên tục dưới Chứng minh Khi x0 ∈ S, từ định nghĩa hàm lS ta có, với mọi ε > 0 tồntại lân cận U của x0 mà lS(x) ≥ lS(x0) − ε, ∀x ∈ U.

Khi x0 ∈ S/ , do S là tập đóng nên d(x0, S) > 0

Ta chọn r = d(x0, S)

2 , ∀x ∈ B(x0, r) thì x /∈ S

Do đó, lS(x) ≥ lS(x0) − ε, ∀x ∈ B(x0, r)

Vậy lS là hàm nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.6.4 Cho một không gian vectơ X Một hàm số f (x) xácđịnh trên X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian

thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X

Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu

(i) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) với mọi x1, x2 ∈ X;

(ii) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α

Định nghĩa 1.6.5 (Không gian liên hợp) Cho X là một không gian vectơ

tôpô Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X, kíhiệu là X∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Chương 2

Nguyên lí biến phân Ekeland

Trong chương này, ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, xemxét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều, mở rộng của nguyên líbiến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí Ekeland vectơ

2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển

Trong bài toán tối ưu, ta quan tâm đến câu hỏi là khi nào hàm f :

X → R ∪ {+∞} đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ Xˆ sao cho

f (x) ≥ f (ˆx) ∀x ∈ X

Trước hết ta nhắc lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu củahàm f nửa liên tục dưới trên tập compact

Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass) Cho hàm f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact Khi đó f đạt cực tiểu trên X Chứng minh Đặt a = inf{f (x)|x ∈ X} Khi đó có một dãy {xn} ⊂ X

sao cho lim

n→∞f (xn) = ata suy raf (x) ≤ a(điều đó chứng tỏa 6= −∞).Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f (x) ≥ a Vậy f (x) = a và x làđiểm cực tiểu của hàm f trên X

Như vậy, điều kiện để f đạt cực tiểu trên X là X là tập compact và f

phải là hàm nửa liên tục dưới trên X Nếu ta bỏ đi tính chất compact của

tập X thì kết luận của định lí không còn đúng.

có thể là hàm liên tục (như các ví dụ trên) thì vẫn chưa chắc đã tồn tại

min{f (x), x ∈ X} Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hay không hàm ϕ(x)

"đủ gần" hàm f (x) mà tồn tại xˆ sao cho ϕ(ˆx) = min ϕ(x) Câu hỏi này

đã được trả lời bằng nguyên lí biến phân Ekeland.

Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể khôngđạt cực trị Khi đó ta xét khái niệm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu như sau.Định nghĩa 2.1.1 Với ε > 0 cho trước, một điểm x ∈ X gọi là ε− xấp

xỉ cực tiểu của f (x) nếu

và một số phát biểu khác của nguyên lí này

Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn

Định nghĩa 2.1.2 Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≤α ”

trên X ×R như sau

(x1, a1) ≤α (x2, a2) ⇔ (a2 − a1) + αd(x1, x2) ≤ 0 (2.2)Nếu (x1, a1) ≤α (x2, a2) thì ta cũng viết (x2, a2) ≥α (x1, a1)

Dễ dàng chứng minh quan hệ” ≤α ”có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu

• Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có(x, a) ≤α (x, a)với mọi(x, a) ∈ X ×R.

• Tính phản xứng: Giả sử rằng (x1, a1) ≤α (x2, a2) và (x2, a2) ≤α(x1, a1) Ta cần chứng tỏ rằng(x1, a1) = (x2, a2).

Chứng minh Thật vậy, giả sử {(xn, an) ⊂ X ×R thỏa mãn

Khẳng định 2: Cho S là tập đóng trong X × R sao cho tồn tại m > 0

để a > m với mọi (x, a) ∈ S Khi đó với mỗi phần tử (x1, a1) ∈ S tồntại (x, a) ∈ S sao cho (x, a) ≥ (x1, a1) và (x, a) là phần tử cực đại trong

diamSn+1 := sup{d((x, a), (x0, a0)) : (x, a) ∈ Sn+1, (x0, a0) ∈ Sn+1} → 0.

Vậy {Sn} là dãy các tập đóng lồng nhau có đường kính giảm tới 0

Vì X ×R là không gian mêtric đủ nên tồn tại duy nhất phần tử (x, a) ∈

Khẳng định 2 được chứng minh

Đặt

S =epif = {(x, a) ∈ X ×R : f (x) ≤ a}

Do hàmf là nửa liên tục dưới,S là tập đóng trongX ×R Ta có(x, f (x)) ∈

S Đặt (x1, a1) = (x, f (x)), do Khẳng định 2 nên tồn tại (ˆx, ˆa) sao cho

ˆ

a − f (x) + αd(x, ˆx) ≤ 0 (2.8)Mặt khác, ta có ˆa = f (ˆx) Thật vậy, giả sử ˆa > f (ˆx) Khi đó d(ˆx, ˆx) <ˆ

a − f (ˆx)

2 Suy ra(ˆx, ˆa) ≤α (ˆx, f (ˆx)) và (ˆx, ˆa) 6= (ˆx, f (ˆx)) Điều này chứng

tỏ (ˆx, ˆa) không thể là phần tử cực đại, mâu thuẫn Vậy

ˆ

Thế (2.9) vào (2.8) ta có

f (ˆx) − f (x) + αd(x, ˆx) ≤ α (2.10)Suy ra f (ˆx) − f (x) ≤ 0, tức tính chất (i) trong kết luận của định lí nghiệmđúng Do đó

Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng

Để kiểm tra tính chất (iii), ta lấy tùy ý x ∈ X\{ˆx}

Nếu f (x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt trong (iii) là đúng

Giả sử f (x) ∈ R Vì (x, f (x)) ∈ S, (x, f (x)) 6= (ˆx, f (ˆx)) và (ˆx, f ˆx) làphần tử cực đại trong S nên bất đẳng thức (ˆx, f (ˆx)) ≤α (x, f (x)) là sai

Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng Định lí đã được chứng minh

Nhận xét 2.1.1 Nếu X là không gian Banach thì tính chất (iii) trongkết luận của Định lí suy ra

f (ˆx) + ε

λ||ˆx − ˆx|| ≤ f (x) + ε

λ||x − ˆx|| ∀x ∈ X

cực tiểu đã cho.

Các dạng khác của nguyên lí biến phân Ekeland

Định lí 2.1.3 Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →

R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và x ∈ X

Định lí 2.1.4 Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →

R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và x ∈ X

εd(ˆx, x) ≤ f (x); (iii) f (x) +√

εd(ˆx, x) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}

Khi điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chấtcủa điểm xˆ với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân sau

Định lí 2.1.5 Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →

R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Khi đó với mọi ε > 0

tồn tại xˆ sao cho

f (x) +√

εd(ˆx, x) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}

2.2 Mở rộng

2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng

Nguyên lí biến phân Ekeland đã được sử dụng rộng rãi trong giải tíchphi tuyến vì nó kế thừa sự tồn tại của các nghiệm xấp xỉ của bài toán cựctiểu hóa cho hàm nửa liên tục dưới trên một không gian metric đầy đủ Vìbài toán tối ưu hóa là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng, trong

đó f (x, y) = g(y) − g(x), nên chúng ta quan tâm tới việc mở rộng nguyên

lí Ekeland cho bài toán cân bằng Chúng ta bắt đầu bằng trình bày kếtquả tổng quát này cho song hàm f (trong [3]) với những chứng minh chitiết và những chỉnh sửa cần thiết

Cho D ⊆ X là một tập đóng, trong đó X là một không gian tuyến tínhđịnh chuẩn, và f : D × D → R.

Định lí 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.

(i) f (x, ) là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ D;

0 ≥ f (x, y) + ||y − x|| + f (z, y) + ||y − z|| ≥ f (x, z) + ||z − x||.

Suy ra z ∈ F (x) Do đó từ giả thiết y ∈ F (x) suy ra F (y) ⊆ F (x)

Đặt v(x) := inf

z∈F (x)f (x, z).Với mọi z ∈ F (x) ta có

Vì xn+1 ∈ F (xn) nên theo khẳng định ở trên, ta có F (xn+1) ⊂ F (xn).

= infy∈F (x n )

hiển nhiên thỏa mãn (ii) và (iii).

Thật vậy, ta có f (t, t) = g(t) − g(t) = 0

Vàf (z, x) = g(x)−g(z) = [g(x)−g(y)]+[g(y)−g(z)] = f (y, x)+f (z, y)

Nếu f (x, y) không có dạng tách biến thì có thể nó không thỏa mãn (iii).

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp.

Dưới đây chúng ta chứng minh nguyên lí Ekeland cho một họ hàm

Cho m là số nguyên dương, và I = {1, 2, , m} Xét hàm fi : D × Di →

R, i ∈ I, trong đó D = Πi∈IDi và Di ⊂ Xi là tập con đóng của khônggian Euclid Xi Kí hiệu các phần tử của tập Di = Πj6=iDi là xi Vì vậy,

x ∈ D có thể viết là x = (xi, xi) ∈ Di × Di

Nếux ∈ Πmi=1Xi, ta kí hiệu |||x||| là chuẩn Chebyshev củax được xác địnhbởi |||x||| := maxi||xi||i và ta sẽ xét không gian Euclid Πmi=1Xi cùng vớichuẩn này

Dưới đây là một mở rộng của Định lí 2.2.1

Định lí 2.2.2 Giả thiết rằng

(i) fi(x, ) : Di → R là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi i ∈ I;

(ii) fi(x, xi) = 0 với mọi i ∈ I và với mọi x = (x1, x2, , xn) ∈ D;

(iii)fi(z, xi) ≤ fi(z, yi)+fi(y, xi)với mọi x, y, z ∈ D, trong đó y = (yi, yi)

với mọi i ∈ I

Khi đó với mọi ε > 0 và với mọi x0 = (x01, , x0m) ∈ D, tồn tại x =ˆ( ˆx1, ˆx2, , ˆxm) ∈ D sao cho với mỗi i ∈ I ta có

Tập F (x) là tập đóng và sử dụng (iii) trực tiếp suy ra y ∈ F (x) nên

Vậy Fi(ˆx) = { ˆxi} với mọi i ∈ I

Vì vậy, với mọi xi ∈ Di, mà xi 6= ˆxi, ta có xi ∈ F/ i(ˆ và

fi(ˆx, xi) + || ˆxi − xi||i > 0

Do vậy (2.18) cũng đúng Định lí hoàn toàn được chứng minh

2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ

Để nghiên cứu bài toán cân bằng vectơ cần mở rộng nguyên lí biến phânEkeland cho hàm vectơ Mục này trình bày nguyên lí biến phân Ekelandvectơ theo [4]

Giả sử f : X → Y trong đó (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và (Y, K)

được kí hiệu là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương được sắp thứ

tự bởi nón lồi đóng không tầm thường K ⊆ Y như sau

y1 ≤K y2 ⇔ y2 − y1 ∈ K