Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự

Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự trình bày về định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự; bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan Browder; lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian có thứ tự.

Một số định lý biến phân trong không

gian có thứ tự

Trần Văn Toàn Chuyên ngành toán giải tích

Trường ĐHSP Tp HCM, 2006

Lời nói đầu

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được phát triểnmạnh mẽ từ giữa thế kỷ XX và được hoàn thiện, bổ sung cho đến hômnay Việc áp dụng quan hệ thứ tự vào nghiên cứu các phương trình toán

tử tổng quát một mặt cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất địnhtính của nghiệm như tính dương, tính lồi, tính đơn điệu, , Mặt khác,

nó cho phép giảm nhẹ điều kiện liên tục của các ánh xạ hoặc kiện lồicủa các tập được xét Do đó, lý thuyết của phương trình trong khônggian có thứ tự được ứng dụng rộng rãi để nghiên cứu các phương trìnhxuất phát từ Vật lý, Hoá học, Sinh học, Thế nhưng, việc ứng dụng

lý thuyết này vào các bài toán biến phân lại rất hạn chế và mới chỉ mớibắt đầu trong những năm gần đây Do đó, việc nghiên cứu ứng dụngquan hệ thứ tự vào bài toán biến phân là cần thiết và hứa hẹn nhiềukết quả mới thú vị

Mục đích của luận văn này là giới thiệu các dạng trong không gian

có thứ tự của một số định lý cơ bản được dùng trong phương pháp biếnphân Đó là các định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, bất đẳngthức Ky Fan, định lý điểm cân bằng Nash Đây là các kết quả được công

bố trên các bài báo chuyên khảo gần đây Qua các kết quả này, ta cũngthấy rằng, việc sử dụng quan hệ thứ tự đã cho phép làm giảm nhẹ điềukiện liên tục của ánh xạ và điều kiện lồi của các tập hợp

Luận văn được chia thành bốn chương:

Chương 1 Định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicztrong không gian có thứ tự Định lý KKM là một định lý rất cơbản Đã có nhiều kết quả quan trọng được chứng minh dựa trên định

lý này, chẳng hạn bổ đề Sperner, định lý điểm bất động Brouwer, bấtđẳng thức Ky Fan, Kể từ khi Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz

chứng minh định lý, đã có nhiều sự tổng quát cho định lý KKM Trongchương này, từ Định lý 2 trong [3], chúng ta chứng minh được định lýKKM trong không gian có thứ tự dựa trên khái niệm ánh xạ transferclosed valued.

Chương 2 Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất độngFan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ

tự Từ Định lý KKM ở Chương 1, chúng ta chứng minh được bất đẳngthức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder và định lý về sự tồntại điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

Chương 3 Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tốiđại trong không gian có thứ tự Ở phần đầu của chương này, chúngtôi giới thiệu định lý về sự tồn tại lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị.Tiếp theo là các định lý về sự tồn tại phần tử lớn nhất trong một quan

hệ ưu tiên yếu và sự tồn tại phần tử tối đại trong một quan hệ ưu tiênngặt

Chương 4 Ánh xạ đơn điệu tăng và bài toán cực trị Trongchương này, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của các điểm bất động bộibằng cách sử dụng các tập bất biến theo quỹ đạo giảm

Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Bích Huy

về sự hướng dẫn tận tâm của thầy

Cám ơn anh Nguyễn Thanh Vinh (Phòng Sau đại học, trường ĐHSPthành phố Hồ Chí Minh) đã giúp đỡ để tôi có được phần mềm soạn thảocho luận văn Cám ơn anh Phan Đào Việt Long (http://www.viettug.org) đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc định dạng luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2006,

Trần Văn Toàn

Chương 2 Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất độngFan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian

2.1 Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự 172.2 Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian

có thứ tự 192.3 Điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự 20

Chương 3 Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tốiđại trong không gian Banach có thứ tự 233.1 Các định nghĩa 233.2 Lát cắt liên tục và phần tử tối đại 243.3 Ứng dụng 25

Chương 4 Ánh xạ tựa đơn điệu tăng và bài toán cực trị 32

4.1 Các khái niệm 324.2 Tập bất biến theo quỹ đạo giảm (Decreasing flow invari-

ant set) 334.3 Điểm bất động của các toán tử tựa đơn điệu tăng 40

Chương 1

Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự

1.1 Nửa dàn

Định nghĩa 1.1.1 Một nửa dàn là một tập có thứ tự một phần X, vớithứ tự ký hiệu bởi ≤, mà trong đó mọi cặp (x, x0) của các phần tử cómột cận trên nhỏ nhất, ký hiệu x ∨ x0

Ta thấy rằng mọi tập con A hữu hạn, khác rỗng của X đều có một cậntrên nhỏ nhất, ký hiệu là sup A Trong một tập hợp có thứ tự (X, ≤),hai phần tử bất kỳ x và x0 không phải lúc nào cũng có thể so sánh vớinhau được, nhưng trong trường hợp mà x ≤ x0, thì tập

[x, x0] = {y ∈ X : x ≤ y ≤ x0}được gọi là khoảng có thứ tự

Bây giờ ta giả sử rằng (X, ≤) là một nửa dàn và A ⊆ X là một tậpcon hữu hạn, khác rỗng của X Khi đó ∆(A) = S

a∈A[a, sup A] đượcđịnh nghĩa tốt (vì A hữu hạn, khác rỗng, nên tồn tại sup A và hiểnnhiên a ≤ sup A) Hơn nữa, ∆(A) có các tính chất sau:

(a) A ⊆ ∆(A),

(b) Nếu A ⊆ A0, thì ∆(A) ⊆ ∆(A0)

Tính chất (a) hiển nhiên đúng Tính chất (b) có được với chú ý

-Định nghĩa 1.1.3 Ta nói rằng tập con E ⊆ X là tập ∆−lồi, nếu vớimọi tập con hữu hạn, khác rỗng A ⊆ E, ta có ∆(A) ⊆ E

Với mọi tập D ⊂ X, ta ký hiệu F (D) để chỉ họ các tập con hữu hạncủa D, ta có ∆(D) =SA∈F (D)∆(A)

Ví dụ 1.1.1 Cho

X = {(x, 1) : 0 ≤ x < 1} ∪ {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, x ≥ 1, y ≥ x − 1} ⊂ R2.Thứ tự trong R2 được định nghĩa như sau: với (a, b), (c, d) ∈ R2,

Bổ đề 1.1.1 Cho X là nửa dàn tôpô liên thông đường với phần tử x ∈ Xsao cho x ≤ x với mỗi x ∈ X Khi đó, với mọi n ∈ N và mọi hàm liêntục g : ∂∆n −→ X, tồn tại một hàm liên tục f : ∆n −→ X mà thu hẹpcủa f trên ∂∆n là g

Ở đây ∆n = (t0, t1, , tn) ∈ Rn+1+ : Pn

i=0ti = 1 là đơn hình n chiều

và ∂∆n = {(t0, , tn) ∈ ∆n : Qni=0ti = 0} là biên của nó

Chứng minh Ta chứng minh rằng, nếu Sn là mặt cầu trong khônggian Euclide n−chiều và g : Sn −→ X là một hàm liên tục, thì g có một

sự mở rộng liên tục f : Dn+1 −→ X, với Dn+1 là quả cầu đơn vị đóngtrong Rn+1

Tất cả các đồng luân nhóm của X là tầm thường (xem Định lý 1.1.1).Điều này có nghĩa là nếu µ0 ∈ Sn và x0 ∈ X, và nếu g : Sn −→ X liêntục thoả g(µ0) = x0, thì tồn tại một hàm liên tục H : Sn× [0, 1] −→ Xthoả:

, nếu q 6= 0



= kqk g

qkqk

+ (1 − kqk)x0

= kqk x0 + x0 − kqk x0



vì qkqk = 1



= x0

= g(q), ∀q ∈ Sn

Ta có

∆{i0} ∪ ∆{i1} = ∂∆{i0,i1}.Thật vậy, theo định nghĩa của ∆J, ta có

Đặt |J | là lực lượng của tập J Hàm f1 : S

|J |=2

∆J → X thu được bằngcách đặt f|J1 = fJ là liên tục và thoả

có thể được thác triển thành một hàm liên tục

fk(∆J) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J }) , với 1 ≤ |J | ≤ k + 1

Sau một số hữu hạn bước, ta được hàm liên tục f : ∆n −→ X thoả

f (∆J) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J }) , ∀J ⊆ {0, , n} Đặt Fi = f−1(Ri), i = 0, , n Đây là những tập con đóng của ∆n (do

(i) Với mỗi x ∈ X0, tập R(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} khác rỗng và làtập đóng trong R(X0);

(ii) Tồn tại x0 ∈ X0 sao cho tập R(x0) là compắc;

(iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X0 thì ta có

x∈A[x; sup A], và do đó trong R(X0), ∀x ∈ A, tập f−1(R(x))

là một tập con đóng của đơn hình)

Họ {R(x) : x ∈ X0} có tính giao hữu hạn, mỗi tập của họ là một tậpđóng và R(x0) là compắc, vì vậy T

x∈X 0R(x) 6= ∅

1.2 Transfer closed valued

Cho X là một tập hợp khác rỗng và Y là một không gian tôpô Đặt 2Y

Mệnh đề 1.2.1 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ G : X −→ 2Y

là transfer closed valued khi và chỉ khi T

N (y) ∩ G(x0) = ∅ hay ∀y0 ∈ N (y) thì y0 ∈ G(x/ 0) Vậy G là t.c.v trên X.

Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ T : X −→

2Y được gọi là có tính giao địa phương, nếu với mỗi x ∈ X, T (x) 6= ∅,tồn tại một lân cận mở N (x) của x trong X sao cho T

T−1y
, khi đó x ∈ T−1y (với một y nào đó của

Y ) Do vậy y ∈ T (x) hay T (x) 6= ∅ Do T có tính giao địa phương, nêntồn tại một lân cận N (x) của x trong X sao cho T

Điều kiện cần của Định lý được chứng minh

Điều kiện đủ Lấy tuỳ ý x ∈ X, T (x) 6= ∅, ta có

Vậy T có tính giao địa phương

Định lý 1.2.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thôngđường, X0 ⊂ X là một tập con khác rỗng của X, và R ⊂ X0× X là mộtquan hệ hai ngôi sao cho

(i) G : X0 −→ 2X là t.c.v., ở đây G(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} vớimọi x ∈ X0;

(ii) Tồn tại x0 ∈ X0 sao cho G(x0) là compắc;

(iii) Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng A ⊆ X0,

∀y ∈ ∆ (A), thì f (y) ≥ min {f (x1) , f (x2) , , f (xn)}

Từ định nghĩa trên ta suy ra f : X −→ (−∞, +∞) là ∆−tựa lõm nếu

và chỉ nếu tập {y ∈ X : f (y) > λ} hoặc {y ∈ X : f (y) ≥ λ} là tập

Chứng minh Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi M (1, 0), N (1, 1), P (0, 1).Khi đó, tập X chính là chính là đường gấp khúc M N P

∀(a, b) ∈ X thì (a, b) ≤ (1, 1) Do đó sup X = (1, 1)

Giả sử A = {z1, z2, , zn} là tập con hữu hạn, khác rỗng của X(mỗi phần tử zi, (i = 1, n) của A là một điểm nằm trên đường gấp khúc

Trường hợp 2) Tồn tại i1 sao cho zi1 = (xi1, 1)

Nếu z = (x, y) ∈ ∆(A), thì tồn tại i sao cho z ≥ zi Ta có

 z ≥ zi = (xi, 1)

z ≥ zi = (1, yi) ⇒  f (z) = x2 − 1 ≥ f (zi)

f (z) = 1 − y2 ≥ x2

i1 − 1 = f (zi)Vậy f là ∆−tựa lõm

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ϕ (x, y) : X ×Y →(−∞, +∞) được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous (viếttắt SPT l.s.c.) đối với x, nếu với mỗi (x, y) ∈ X × Y và với mọi  > 0,thì tồn tại một lân cận mở N (x) của x trong X và tồn tại y0 ∈ Y saocho với mọi x0 ∈ N (x), ta có ϕ (x, y) ≤ ϕ x0, y0
+ 

Định nghĩa trên tương đương định nghĩa sau:

Cho X, Y là hai không gian tôpô, ϕ (x, y) : X × Y → (−∞, +∞)được gọi là strongly path transfer lower semicontinuous đối với x, nếu

∀(x, y) ∈ X × Y , tồn tại lân cận N (x) của x trong X và tồn tại y0 ∈ Ysao cho với mọi x0 ∈ N (x), thì ϕ (x, y) ≤ lim

x 0 →xinf ϕ x, y0

Như vậy, nếu ϕ là nửa liên tục dưới, thì ϕ là strongly path transferlower semicontinuous Điều ngược lại không đúng

Ví dụ 1.2.2 Cho X = [0, 1], Y = [0, 1] và ϕ (x, y) xác định trên X × Y

Chương 2

Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

2.1 Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự

Từ Định lý 1.2.1, ta thu được bất đẳng thức Ky Fan tổng quát sau:Định lý 2.1.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thôngđường, f : X × X −→ (−∞, +∞) thoả:

(i) Với mọi x ∈ X, f (x, x) ≤ 0;

(ii) f (x, y) là SPT l.s.c đối với y;

(iii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho {y ∈ X : f (x0, y) ≤ 0} là tập compắc;(iv) Với mọi y ∈ X, x 7→ f (x, y) là ∆−tựa lõm

Khi đó, ∃ y∗ ∈ X sao cho f (x, y∗) ≤ 0, ∀x ∈ X

Chứng minh Đặt

W (x) = {y ∈ X : f (x, y) ≤ 0}, W = {(x, y) ∈ X × X : f (x, y) ≤ 0}.Xét tuỳ ý x ∈ X, y0 ∈ W (x), tức là f (x, y/ 0) > 0, 0 <  < f (x, y0)

Do f (x, y) là SPT l.s.c đối với y, nên với mọi  (được chọn ở trên),tồn tại một lân cận N (y0) của y0 trong X, tồn tại x0 ∈ X sao cho

2.2 Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian có thứ tự

Từ Định lý 2.1.1 ta có được định lý điểm bất động Fan - Browder tổngquát sau

Định lý 2.2.1 Cho X là một nửa dàn tôpô với các khoảng liên thôngđường và F : X −→ X là ánh xạ với tập giá trị là tập ∆−lồi đóng, khácrỗng; F có tính giao địa phương Nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho X\F−1(x0)

Theo Định lý 2.1.1, tồn tại y∗ ∈ X sao cho f (x, y∗) ≤ 0, ∀x ∈ X.Điều này mâu thuẫn (vì theo định nghĩa của f (x, y) thì f (x, y) ≤ 0chỉ với những x thoả x /∈ F (y) chứ không phải ∀x ∈ X).

2.3 Điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

Cho (Xi, ≤i), i ∈ I là một họ các nửa dàn tôpô, gọi X và bXi là cáckhông gian tích với tôpô tích,

hàm số cho trước fi : X −→ (−∞, +∞), nếu với mọi i ∈ I, ta có

i∈N

Xi, fi : X −→ (−∞, +∞)thoả các điều kiện

(i) Với mỗi i ∈ N , với mọi bxi ∈ bXi, ui → fi(ui,xbi) là ∆−tựa lõm;(ii) Với mỗi i ∈ N , fi là u.s.c.;

(iii) Với mỗi i ∈ N ,fi(ui,xi) là SPT l.s.c đối với xi

Khi đó tồn tại x∗ ∈ X sao cho với mỗi i ∈ N , ta có

Ta có Wk(x) 6= ∅ và là tập ∆− lồi, với mọi x ∈ X

Trong phần tiếp theo, ta chứng minh Wk(x) có tính giao địa phương,tức là, nếu Wk(x) 6= ∅, thì tồn tại một lân cận mở O(x) của x trong Xsao cho T

fi yi0,xb0i
−

max

Từ (2.3.1),(2.3.2),(2.3.3), với mọi x0 ∈ O(x0),

fi(x∗i,xb∗i) = max

u i ∈X i

fi(ui,xb∗i)Định lý 2.3.1 được chứng minh

1 Một quan hệ hai ngôi W ⊆ X × X gọi là quan hệ ưu tiên yếu nếu

nó chứa đường chéo của X × X Do đó W ⊃ {(x, x) : x ∈ X}

2 Một quan hệ hai ngôi S ⊆ X × X gọi là quan hệ ưu tiên ngặt nếu

nó không chứa phần tử nào của đường chéo của X × X

3 Phần tử x∗ ∈ X gọi là phần tử lớn nhất đối với quan hệ ưu tiên yếu

ưu tiên ngặt đối với x nếu x0 ∈ S(x)

5 Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ liên tục f : X → Yđược gọi là lát cắt liên tục đối với ánh xạ g : X → 2Y nếu f (x) ∈g(x), ∀x ∈ X.

3.2 Lát cắt liên tục và phần tử tối đại

Định lý 3.2.1 Cho K là không gian tôpô compắc, X là nửa dàn tôpôvới các khoảng liên thông đường, R ⊆ K × X là một quan hệ hai ngôithoả

(i) K = S

x∈XintR−1(x);

(ii) Với mọi µ ∈ K, tập R(µ) 6= ∅, và nếu x1, x2 ∈ R(µ), thì [x1, x1 ∨

x2] ⊆ R(µ)

Khi đó tồn tại một đơn hình ∆n và hai hàm liên tục h : K −→ ∆n và

g : ∆n −→ X sao cho, với mọi µ ∈ K, g(h(µ)) ∈ R(µ)

Chứng minh Do K là không gian compắc và do giả thiết (i), nên tồntại một tập hữu hạn {x0, x1, , xn} ⊆ X sao cho K =

n

S

i=1

intR−1(xi).Tồn tại các hàm số liên tục ψi : K → [0, 1] sao cho

Vì mỗi ψi liên tục từ K → [0, 1], nên h liên tục từ K đến ∆n

Bây giờ, theo chứng minh của Định lý 1.1.2, tồn tại một hàm liên tục

g : ∆n → X sao cho, với mọi tập con khác rỗng J ⊆ {0, 1, , n}, ta có

g (∆J) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J })

Với mỗi µ ∈ K, đặt J (µ) = {j : ψj(µ) > 0} Khi đó h(µ) ∈ ∆J (µ) và

do đó

g (h(µ)) ⊆ ∆ ({xj : j ∈ J (µ)})

Tuy nhiên, {xj : j ∈ J (µ)} ⊆ R(µ) và do giả thiết (ii) ta có

Khi đó tồn tại bx ∈ X sao cho x ∈ R(b bx)

Chứng minh Theo Định lý 3.2.1 tồn tại hai hàm liên tục h : X → ∆n

Định lý 3.3.1 Cho W là một quan hệ ưu tiên yếu trên X sao cho(i) Với mỗi x ∈ X, tập W (x) là tập đóng và tồn tại một x0 ∈ X saocho W (x0) là compắc;

(ii) Nếu x không ưu tiên với x1 hoặc x2, thì x không ưu tiên với x1∨x2;(iii) Nếu x1 ≤ x2 và nếu x không ưu tiên với x1 hoặc x2, thì x không

ưu tiên với mọi y ∈ [x1, x2]

Do (iii), nếu x1 ∨ x2 ∈ W/ −1(x), thì x /∈ W (y), ∀y ∈ [x1, x2]

Tóm lại, từ (ii) và (iii), ta suy ra

[a, sup A] ⊆ X\W−1(y),

nên y /∈ W−1(y) hay y /∈ W (y) Điều này mâu thuẫn vì W là một quan

hệ ưu tiên yếu

Từ (3.3.1) và Định lý 1.1.4 ta suy ra T

x∈X

W (x) 6= ∅

Vậy W có phần tử lớn nhất

Nhận xét 3.3.1 Chú ý rằng các điều kiện (ii), (iii) của Định lý trên

có thể được thay thế bởi điều sau mà không làm thay đổi kết luận củaĐịnh lý hoặc cách chứng minh của nó: Tồn tại một quan hệ hai ngôic

W ⊆ W sao cho x ∈ cW (x), ∀x ∈ X và [x1, x1 ∨ x2] ⊆ X\cW−1(x) nếu

x1, x2 ∈ X\W−1(x)

Nhận xét trên sẽ được sử dụng để chứng minh Định lý 3.3.3

Định lý 3.3.2 Cho S là một quan hệ ưu tiên ngặt trên X sao cho

(i) Với mỗi x ∈ X, tập S−1(x) là tập mở và tồn tại x0 ∈ X sao choX\S−1(x0) là compắc;

(ii) Nếu x1, x2 ưu tiên ngặt đối với x, thì x1 ∨ x2 là ưu tiên ngặt đốivới x;

(iii) Nếu x1, x2 ưu tiên ngặt đối với x và nếu x1 ≤ x2, thì x ưu tiênngặt đối với y với mọi ∀y ∈ [x1, x2]

Khi đó, S có phần tử tối đại

Định lý 3.3.3 Cho S là một quan hệ ưu tiên ngặt trên X sao cho

(i) Với mỗi x ∈ X, tập S−1(x) là tập mở và tồn tại x0 ∈ X sao choX\S−1(x0) là compắc;

(ii) Nếu a0, a1, , ak là các phần tử thuộc X, và mỗi ai(i = 1, k) đều

ưu tiên ngặt đối với x, thì x /∈ [a0, a0 ∨ a1 ∨ ∨ ak]

Khi đó S có phần tử tối đại

Chứng minh Với mỗi tập con Z khác rỗng của X, đặt hZilà họ cáctập con hữu hạn khác rỗng của Z Ta chứng minh tồn tại x ∈ X saocho S(x) = ∅

Giả sử trái lại, với mọi x ∈ X, S(x) 6= ∅