NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này giới thiệu các định lý điểm bất động liên quan đếnánh xạ co: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi và định lý Nadler.Tiếp đó là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HỒNG

CÁC LỚP BERNSTEIN VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

PHẠM THỊ THU

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO

Chuyên ngành: Giải tích hàm

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS Lê Anh Dũng

HÀ NỘI, NĂM 2013

LỜI CẢM ƠN

Qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy

cô trong khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung và cácthầy cô ở bộ môn Giải Tích nói riêng đã tạo điều kiện cho tôi học tập

và nghiên cứu Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS LêAnh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốtquá trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn PGS TSKH Đỗ Hồng Tân và TS.Nguyễn Thị Thanh Hà đã đọc khóa luận và có những ý kiến quý báu giúptôi hoàn thành khóa luận này Tôi rất mong các thầy cô và các bạn họcviên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản khoá luận này được hoàn thiện vàphát triển hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2013

Phạm Thị Thu

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 4

1.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co 61.2 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland 71.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 111.4 Ánh xạ Lipschitz và một số kết quả khởi đầu của

ánh xạ Lipschitz đều 11

2.1 Không gian gauge 132.2 Nguyên lý biến phân Ekeland và định lý Caristi

trong không gian gauge 142.3 Dạng tổng quát của định lý cánh hoa và định lý giọt

nước 202.4 Điều kiện "hướng vào" tổng quát 34

3.1 Khái niệm 413.2 Các kết quả 42

MỤC LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦUNăm 1974, Ekeland đã chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm cựctiểu "xấp xỉ" của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian mêtric đầy

đủ Đặc biệt, định lý này cho ta thấy nhiều kết quả "tương đương" về cáccách nhìn khác nhau như: Định lý Caristi, định lý cánh hoa, định lý giọtnước, Vì ý nghĩa quan trọng của nó nên người ta thường gọi là nguyên

lý biến phân Ekeland Nguyên lý này đã đạt được nhiều kết quả đối vớicác loại ánh xạ: ánh xạ co, ánh xạ co đa trị, ánh xạ Lipschitz, , cũng nhưtrong các không gian khác nhau: không gian lồi địa phương, không gianmêtric, không gian gauge, Bởi vai trò quan trọng của nguyên lý này, tôichọn đề tài cho luận văn của mình là: Nguyên lý biến phân Ekeland đốivới ánh xạ dạng co

Nội dung luận văn gồm ba chương và được viết dựa trên kết quả trongcác bài báo [3], [4], [7]

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này giới thiệu các định lý điểm bất động liên quan đếnánh xạ co: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi và định lý Nadler.Tiếp đó là các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn và các cấu trúchình học của không gian Banach, và các định lý điểm bất động của ánh

xạ không giãn đơn trị, đa trị và ánh xạ Lipschitz đều

Chương II: Nguyên lý biến phân Ekeland đối với ánh xạ dạng co trongkhông gian gauge

Chương này đề cập tới không gian gauge, có thể xem như không gianmêtric "Frechet" và cũng là trường hợp tổng quát hơn của không gianmêtric Các kết quả chính của chương đề cập đến nguyên lý biến phânEkeland và các dạng hình học của nó như định lý cánh hoa, định lý giọt

MỤC LỤC

nước trong không gian gauge Ngoài ra, ta đạt được một số hệ quả là cácđịnh lý về điểm bất động cho ánh xạ dạng co đa trị

Chương III: Nguyên lý biến phân Ekeland với ánh xạ Lipschitz

Chương này ta đề cập đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu đốivới ánh xạ Lipschitz trong không gian mêtric đầy đủ

Tóm lại, nội dung chính của luận văn là chương II và chương III Cáckết quả chính đạt được là các kết quả "tương tự" của nguyên lý biến phânEkeland đối với ánh xạ dang co trong các lớp không gian "mêtric" đủ.Ngoài ra, ta đạt được các dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekelandnhư: định lý cánh hoa, định lý giọt nước và các định lý điểm bất động vớiđiều kiện "hướng vào" dạng cánh hoa, giọt nước trong không gian mêtric.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn nhiềuhạn chế, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bảnluận văn này hoàn chỉnh hơn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co

Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nhắc lại một số kết quả khởi đầu về

sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dang co Trước hết ta nhắc lại kháiniệm ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gianmêtric (Z, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho

ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y) với mọi x, y ∈ X

Định lí 1.1.2 ([12]) (Nguyên lý ánh xạ co Banach, 1922) Cho (X, d) làkhông gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X Khi đó, tồntại duy nhất x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗ Ngoài ra, với mọi x◦ ∈ X ta có

Tnx◦ → x∗ khi n → ∞

Định nghĩa dưới đây là trường hợp riêng của định nghĩa 1.1.1

Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) là không gian mêtric Ánh xạ đơn trị T từ

X vào X được gọi là co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho

d (T x, T y) 6 kd (x, y) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, d) là một không gian mêtric Ta ký hiệu

CB (X) là họ mọi tập con đóng, bị chặn, không rỗng trong X Khi đó,

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A, B ∈ CB (X) được định nghĩanhư sau

D (A, B) = max

(sup

Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đa trị T từ tập hợp X vào tập hợp Y là mộtphép gán cho mỗi x ∈ X một tập hợp con T x của Y

Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, d) là một không gian mêtric Ánh xạ đa trị

T từ X vào CB (X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1)sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

D (T x, T y) ≤ kd (x, y) Định lí 1.1.7 ([12]) (Nadler, 1969) Cho (X, d) là một không gian mêtricđầy đủ, T từ X vào CB (X) là một ánh xạ co Khi đó tồn tại x∗ ∈ X mà

x∗ ∈ T x∗

1.2 Định lý Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland

Trước hết, chúng tôi nêu lại khái niệm hàm liên tục dưới và liên tụctrên trong không gian tô pô

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian tô pô Hàm f : X →(−∞ + ∞] được gọi là nửa liên tục dưới tại x◦ ∈ X nếu với mọi ε > 0,tồn tại lân cận Ux◦ sao cho với mọi x ∈ Ux◦ ta có

f (x) − f (x◦) > −ε

Hàm f được gọi là liên tục dưới nếu f liên tục tại mọi x◦ ∈ X

Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một không gian tô pô Hàm f : X →[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên tại x◦ ∈ X nếu với mọi ε > 0,

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

tồn tại lân cận Ux◦ sao cho với mọi x ∈ Ux◦ ta có

f (x) − f (x◦) < ε

Hàm f được gọi là liên tục trên nếu f liên tục tại mọi x◦ ∈ X

Nhận xét 1.2.1 Cho X là một không gian tô pô

Hàm f : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới nếu nó thỏa mãn mộttrong hai điều kiện sau tương đương sau đây:

(i) Tập {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X với mọi α ∈ R.

(ii) Lim

x→x◦inf f (x) ≥ f (x◦), với mọi x◦ ∈ X

Hàm f : X → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên nếu nó thỏa mãn một tronghai điều kiện sau tương đương sau đây:

(i) Tập {x ∈ X : f (x) ≥ α} là tập đóng trong X với mọi α ∈ R.

(ii) Lim

x→x◦sup f (x) ≤ f (x◦), với mọi x◦ ∈ X

Định lí 1.2.3 ([6]) (Caristi, 1976) Cho (X, d) là một không gian mêtricđầy đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặndưới Cho ánh xạ T trong X thỏa mãn điều kiện

d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) , ∀x ∈ X

Khi đó, T có điểm bất động trong X

Định lí 1.2.4 ([5]) (Ekeland, 1972) Cho M là một không gian mêtric đầy

đủ và ϕ : M → RS

{∞} là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặndưới Với mỗi c > 0, δ > 0 và x◦ ∈ M thỏa mãn φ (x◦) ≤ inf φ (M ) + cδ,thì tồn tại x∗ ∈ M sao cho

(i) φ (x∗) ≤ φ (x◦);

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(ii) d (x◦, x∗) ≤ δ;

(iii) φ (x∗) < φ (x) + cd (x, x∗), với mọi x 6= x∗

Định lý dưới đây là một dạng tương đương của định lý Caristi vàxem như một cầu nối giữa lý thuyết điểm bất động và lý thuyết tối ưuhóa

Định lí 1.2.5 (Ekeland, 1974) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy

đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại xε ∈ X sao cho với mọi y ∈ X và khác xε

ta có

ϕ (xε) − εd (xε,y) < ϕ (y) Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử có ε > 0 để vớimọi x ∈ X đều tồn tại y 6= x sao cho ϕ (x) − εd (x, y) ≥ ϕ (y) Đặt

T x = y, ta nhận được một ánh xạ T trong X thỏa mãn:

T x 6= x, ϕ (x) − εd (x, T x) ≥ ϕ (T x) , ∀x ∈ X

Đặt ψ = 1εϕ ta nhận được một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trên

X thỏa mãn

d (x, T x) ≤ ψ (x) − ψ (T x) Theo định lý điểm bất động Caristi, T phải có điểm bất động trong X.Điều này trái với cách xây dựng ánh xạ T Định lý được chứng minh.Nhận xét 1.2.2 Cách chứng minh trên cho thấy định lý Caristi kéo theođịnh lý Ekeland

Nhận xét 1.2.3 Định lý Ekeland kéo theo định lý Caristi

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử tồn tại hàm ϕ nửaliên tục dưới và bị chặn dưới trên X và một ánh xạ T trong X thỏa mãn

d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x)với mọi x và T không có điểm bất động, nghĩa là T x 6= x với mọi x Khi

đó ta có

ϕ (x) − d (x, T x) ≥ ϕ (T x) ,mâu thuẫn với định lý Ekeland áp dụng cho trường hợp ε = 1 và y =

và gọi là giọt nước liên kết giữa A với x

Định lí 1.2.7 ([7]) (Định lý giọt nước, 1985) Cho E là một không gianBanach,Alà một tập con đóng củaE vàB là tập con lồi, đóng, bị chặn của

E với d (A, B) > 0 Khi đó, với mỗi x◦ ∈ A thì tồn tại x∗ ∈ AT

K (x◦, B)sao cho AT

K (x∗, B) = {x∗}.Định nghĩa 1.2.8 Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y ∈ X Kýhiệu

Pδ(x, y) = {u ∈ X : d (u, y) + δd (u, x) ≤ d (x, y)}

và gọi là cánh hoa liên kết giữa δ ∈ (0, +∞) với x, y ∈ X

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lí 1.2.9 ([13]) (định lý cánh hoa, 1986) Cho A là tập con đầy đủcủa không gian mêtric X, x◦ ∈ A và b ∈ X\ {x◦} Khi đó, với mỗi δ > 0thì tồn tại x∗ ∈ Pδ(x◦, b) sao cho Pδ(x∗, b)T

A = {x∗}

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.3.1 Cho (M, d) là không gian mêtric và D ⊂ M Một ánh

xạ T : D → M được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x, y ∈ D ta có

d (T x, T y) 6 d (x, y) Định lí 1.3.2 ([10]) (Kirk, 1965) Cho C là tập hợp lồi, compac yếu, cócấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : C → C là mộtánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong C

Định lí 1.3.3 ([4, 9]) (Browder-Gohde, 1965) Cho C là tập hợp lồi, đóng,

bị chặn trong không gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ khônggiãn Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng

1.4 Ánh xạ Lipschitz và một số kết quả khởi đầu của ánh xạ

Lipschitz đều

Định nghĩa 1.4.1 Cho (X, d) là một không gian mêtric Một ánh xạ

T : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại một số k không âmsao cho với mọi x, y ∈ X ta có

d (T x, T y) ≤ kd (x, y) (1.1)

số k nhỏ nhất thỏa (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh xạ T

Định nghĩa 1.4.2 Cho X là một không gian mêtric Ánh xạ T : X → Xđược gọi là ánh xạ Lipschitz đều (hay ánh xạ k − Lipschitz đều) nếu tồn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

tại một số k không âm sao cho với mọi x, y ∈ X, mọi n ∈ N∗ ta có

d (Tnx, Tny) 6 kd (x, y) Sau đây, chúng tôi nhắc lại một số kết quả khởi đầu về sự tồn tạiđiểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều

Định lí 1.4.3 ([8]) (Goebel-Kirk, 1973) Cho C là tập hợp lồi, đóng, bịchặn trong không gian Banach X với ε◦(X) < 1 và cho T : C → C làmột ánh xạ k-Lipschitz đều với k < γ◦(X) Khi đó T có điểm bất độngtrong C

Trong đó, ε◦(X)là môđun lồi của không gian X, γ◦(X) là hằng số Kirk của không gian X

Gohde-Định lí 1.4.4 ([11])(Lifschitz, 1975) Cho (X, d)là không gian mêtric đầy

đủ và bị chặn, T : X → X là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k < k (X).Khi đó T có điểm bất động trong X

Trong đó, k (X) là hằng số Lifschitz của không gian X

Định lí 1.4.5 ([5]) (Casini-Maluta, 1985) Cho X là không gian Banach

và N (X) < 1, C là tập lồi, đóng, bị chặn trong X và T : C → C là mộtánh xạ k-Lipschitz đều với k <

q

N (X)−1 Khi đó T có điểm bất độngtrong C

Trong đó, N (X) là hệ số cấu trúc chuẩn tắc đều của không gian X

Chương 2

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ

DẠNG CO TRONG KHÔNG

GIAN GAUGE

2.1 Không gian gauge

Định nghĩa 2.1.1 X được gọi là một không gian gauge nếu trên X cómột dãy tăng các hàm khoảng cách {dn : n ∈N} , nghĩa là

với mọi x, y ∈ X và X là không gian đầy đủ với tô pô trên X xác định bởi

họ khoảng cách {dn}

Nhận xét: Không gian mêtric đầy đủ là không gian gauge

Định nghĩa 2.1.2 Cho X là không gian gauge và các tập A, B ⊂ X Với

x∈Aρn(x, B) , inf

y∈Bρn(y, A)



Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

Định nghĩa 2.1.3 Cho (X, dn) là một không gian gauge Ánh xạ đơn trị

T từ X vào X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương{kn} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

dn(T x, T y) 6 kndn(x, y) Định nghĩa 2.1.4 Cho (X, dn) là một không gian gauge Ánh xạ đa trị

T từ X vào CB (X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương{kn} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có Dn(T x, T y) 6 kndn(x, y)

2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland và định lý Caristi trong

không gian gauge

Trước hết chúng tôi nhắc lại định lý Bishop-Phelps trong không gianmêtric

Định lí 2.2.1 ([3]) (Bishop-Phelps, 1963,) Cho X là một không gianmêtric đầy đủ, φ : M → R là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, cho

c > 0 Khi đó với mọi x◦ ∈ M, thì tồn tại x∗ ∈ M sao cho

(i) φ (x∗) + cd (x◦, x∗) ≤ φ (x◦);

(ii) φ (x∗) < φ (x) + cd (x, x∗), ∀x 6= x∗

Tiếp theo, chúng tôi đề cập định lý Bishop-Phelps trong không giangauge

Định lí 2.2.2 Cho X là không gian gauge Với mỗi n ∈ N, cho cn > 0 và

φn : X → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Khi đó với mỗi x◦ ∈ Xthì tồn tại x∗ ∈ X sao cho

(i) φn(x∗) + cndn(x◦, x∗) ≤ φn(x◦) với mọi n ∈ N;

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

(ii) Với mọi x 6= x∗ thì tồn tại n ∈ N sao cho

φn(x∗) < φn(x) + cndn(x, x∗)

Chứng minh Với x ∈ X, ta ký hiệu

S (x) = ∩

n∈N{y ∈ X : φn(y) + cndn(y, x) ≤ φn(x)}

Dox ∈ S (x)nênS (x)là tập không rỗng Bởi φnlà nửa liên tục dưới nên

S (x)là tập đóng Bằng quy nạp ta chứng minh được tồn tại xn ∈ S (xn−1)sao cho φn(xn) ≤ cn

n→∞xn Do S (xn)đóng nên ta có

x∗ ∈ ∩

n≥0S (xn) Vậy điều kiện (i) được chứng minh

Ta chứng minh điều kiện (ii) bằng phản chứng

Thật vậy, giả sử tồn tại x 6= x∗ sao cho φn(x) + cndn(x, x∗) ≤ φn(x∗) với

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

mọi n ∈ N Khi đó với mọi k ∈ N,

φn(x) + cndn(x, xk) ≤ φn(x) + cndn(x, x∗) + cndn(x∗, xk)

≤ φn(x∗) + cndn(x∗, xk)

≤ φn(xk) ;

từ đây suy ra x ∈ S (xk) với k ∈ N.

Theo chứng minh ở trên ta có

Định lí 2.2.3 Cho X là không gian gauge Với mỗi n ∈ N, cho φn :

X → (−∞, +∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Vớimỗi x◦ ∈ X và mỗi dãy các số dương {cn} và {δn} thỏa mãn φn(x◦) ≤inf φn(X) + cnδn thì tồn tại x∗ ∈ X sao cho

(i) φn(x∗) ≤ φn(x◦) với mọi n ∈ N;

(ii) dn(x◦, x∗) ≤ δn với mọi n ∈ N;

(iii) Với mọi x 6= x∗ thì tồn tại n ∈ N sao cho

φn(x∗) < φn(x) + cndn(x, x∗) Chứng minh

Từ giả thiết φn(x◦) ≤ inf φn(X) + cnδn ta suy ra φn(x◦) < ∞ với mọi

n ∈ N.

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

Đặt

Y = ∩

n∈N{y ∈ X : φn(y) ≤ φn(x◦)} Khi đó φn : Y → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Theo định lýBishop-Phelps tồn tại x∗ ∈ Y sao cho

φn(x∗) + cndn(x◦, x∗) ≤ φn(x◦)với mọi n ∈ N và (iii) của định lý thỏa mãn với mọi x ∈ Y

Do x∗ ∈ Y nên (i) của định lý thỏa mãn

Mặt khác với mọi n ∈ N ta có.

φn(x∗) + cndn(x∗, x◦) ≤ φn(x◦) ≤ cnδn + inf φn(X) ,

cndn(x∗, x◦) ≤ cnδn,

dn(x∗, x◦) ≤ δn.Suy ra (ii) của định lý thỏa mãn

Bây giờ, ta chứng minh (iii) của định lý thỏa mãn với x ∈ X

Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y, khi đó tồn tại n ∈N sao cho φn(x◦) < φn(x)

Ta có

φn(x∗) ≤ φn(x◦) < φn(x) ≤ φn(x) + cndn(x∗, x◦)

φn(x∗) < φn(x) + cndn(x∗, x◦) Vậy (iii) của định lý thỏa mãn với x ∈ X

Bây giờ, áp dụng định lý Bishop-Phelps để đưa ra định lý điểm bấtđộng Caristi trong không gian gauge

Định lí 2.2.4 ChoX là không gian gauge và f : X → X Với mỗi n ∈N,cho φn : X →R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới thỏa mãn

dn(x, f (x)) ≤ φn(x) − φn(f (x)) , ∀x ∈ X

Khi đó f có điểm bất động

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

Chứng minh Lấy x◦ ∈ X, theo định lý Bishop-Phelps tồn tại x∗ ∈ X saocho

φn(x∗) + dn(x∗, x◦) 6 φn(x◦)với mọi n ∈ N Chọn cn = 1, với x 6= x∗ thì tồn tại n ∈N sao cho

Bổ đề 2.2.5 Các định lý: Bishop-Phelps, Caristi và nguyên lý biến phânEkeland trong không gian gauge là tương đương

Chứng minh Rõ ràng định lý Bishop-Phelps suy ra định lý Caristi vànguyên lý biến phân Ekeland

Bây giờ, ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland suy ra định lýBishop-Phelps

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

(2) dn(x◦, x∗) ≤ δn với mọi n ∈ N;

(3)Với mọi x 6= x∗, thì tồn tại n ∈N sao cho

φn(x∗) < φn(x) + cndn(x, x∗)

Do x∗ ∈ Y nên (i) của định lý Bishop-Phelps thỏa mãn

Từ (3) ta có (ii) của định lý Bishop-Phelps thỏa mãn với mọi x ∈ Y,

x 6= x∗ Bây giờ, ta sẽ chứng minh nó đúng với mọi x ∈ X, x 6= x∗

Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y, khi đó tồn tại n ∈N sao cho

Cuối cùng ta chứng minh định lý Caristi suy ra định lý Bishop-Phelps

Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử trái lại tồn tại dãy hàm {φn} nửa liên tục dưới và bị chặn dướitrên X và một ánh xạ f trong X thỏa mãn

dn(x, f (x)) ≤ φn(x) − φn(f (x))với mọi x và f không có điểm bất động, tức là f (x) 6= x với mọi x

Khi đó ta có

φn(x) ≥ φn(f (x)) + dn(x, f (x)) ,

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG

KHÔNG GIAN GAUGE

mâu thuẫn với nguyên lý biến phân Ekeland áp dụng cho trường hợp

cn = 1

Vậy bổ đề được chứng minh

2.3 Dạng tổng quát của định lý cánh hoa và định lý giọt nước

Trước hết, chúng tôi nêu các khái niệm của cánh hoa và giọt nước tổng

tổng quát là

Dα,σ(x, B) ={u ∈ X : ∀n ∈ N, ∃θn ≥ 0 sao cho dn(x, u) ≤ θnωnρn(x, B)và

αndn(u, B) + (1 − αn) ρn(u, B)

≤ (αn− θnµn) dn(x, B) + (1 − αn+ θnνn) ρn(x, B)}

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến hai kết quả, các kết quả này cho thấy

sự tồn tại x∗ là phần tử duy nhất của A ∩ Pα,γ(x∗, B)và A ∩ Dα,σ(x∗, B)

Kết quả đầu tiên là định lý cánh hoa trong không gian gauge

Định lí 2.3.2 Cho A là một tập con đóng, không rỗng của không gian

gauge X và B là một tập con đóng, bị chặn, không rỗng của X Khi đó với

mỗi α ∈ [0, 1]N và γ ∈ [0, 1]N, tồn tại x∗ ∈ A sao cho A ∩ Pα,γ(x∗, B) =

{x∗}

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG

KHÔNG GIAN GAUGE

Chứng minh Với mỗi n ∈ N, ta xác định φn : A → R bởi

φn(x) = αndn(x, B) + (1 − αn) ρn(x, B) Khi đó ánh xạ φn là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Lấy x◦ ∈ A Theo

định lý Bishop-Phelps, thì tồn tại x∗ ∈ A sao cho

Vậy định lý được chứng minh

Sau đây là định lý giọt nước trong không gian gauge

Định lí 2.3.3 Cho A là một tập con đóng, không rỗng của không gian

gauge X và B là một tập con đóng, bị chặn, không rỗng của X Cho

σ = (ω, µ, ν) ∈ [0, ∞]N × [0, ∞]N ×RN Giả sử với mọi n ∈ N,

νn ∈ [−∞, µndn(A, B)/ρn(A, B)]

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG

KHÔNG GIAN GAUGE

Khi đó với mỗi α ∈ [0, 1]N thì tồn tại x∗ ∈ A sao cho

A ∩ Dα,σ(x∗, B) = {x∗}

Chứng minh Với n ∈ N, nếu νn < 0, chọn γn ∈ h0, minn1, −νn

ω n

oi Nếu

µn > 0, dn(A, B) > 0, ρn(A, B) < ∞, ta chọn γn ∈ [0, 1] sao cho

(νn+ γnωn) ρn(A, B) ≤ µndn(A, B)

Ta sẽ chứng minh Dα,σ(A, B) ⊂ Pα,γ(A, B) với mọi x ∈ A

Lấy x ∈ A và u ∈ Dα,σ(A, B) bất kỳ Khi đó với mọi n ∈ N, tồn tại

Kết hợp định lý cánh hoa với Dα,σ(A, B) ⊂ Pα,γ(A, B), ta có điều phải

chứng minh

Bổ đề 2.3.4 Định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không gian gauge

là tương đương

Chứng minh Theo cách chứng minh ở trên, ta thấy định lý cánh hoa kéo

theo định lý giọt nước Bây giờ, ta chứng minh điều ngược lại là đúng

Giả sử ta có giả thiết là định lý giọt nước Ta sẽ chứng minhPα,γ(x, B) ⊂

Dα,σ(x, B) với mọi x ∈ A

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

Thật vậy, lấy x ∈ A và u ∈ Pα,γ(x, B) bất kỳ Khi đó, với mọi n ∈ N, tacó

Sự tương đương giữa hai định lý trên với các định lý Caristi, Phelps và nguyên lý biến phân Ekeland được thể hiện ở bổ đề sau

Bishop-Bổ đề 2.3.5 Hai định lý 2.3.2, 2.3.3và các định lý Caristi, Bishop-Phelps,nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương

Chứng minh Ta có các định lý Caristi, Bishop-Phelps và nguyên lý biếnphân là tương đương, định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không

Chương 2 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE

gian gauge là tương đương Để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chứng minhđịnh lý cánh hoa tương đương với định lý Bishop-Phelps Rõ ràng định

lý Bishop-Phelps kéo theo định lý cánh hoa Bây giờ ta chứng minh điềungược lại là đúng

Giả sử ta có giả thiết là định lý cánh hoa

Đặt

ˆ

X = (x, t1, t2, ) ∈ X ×RN : φn(x) ≤ tn, ∀n ∈ N,được trang bị các mêtric

nb

dn

oxác định bởi

o,

B = {x◦, inf φ1(X) , inf φ2(X) , } Khi đó A là tập đóng, không rỗng B là tập đóng, không rỗng và bị chặn

Ta chọn

α = (α1, α2, ) = (1, 1, ) ,

γ = (γ1, γ2, ) =

1

3,

1

3,

.Theo định lý cánh hoa, ∃ (x∗, t1∗, t2∗, ) ∈ A sao cho

A ∩ Pα,γ((x∗, t1∗, t2∗, ) , B) = {(x∗, t1∗, t2∗, )} (2.2)

Ta chứng minh điều kiện (i) của định lý Bishop-Phelps thỏa mãn Ta

sẽ chứng minh

(x∗, t1∗, ) = (x∗, φ1(x∗) , φ2(x∗) , )