tuyển tập hệ phương trình

Thay vào ph ng trình th hai, ta có:.

2 3

yy

+) N u x y, cùng âm (t c là cùng thu c 1;0) thì theo tính ch t c a hàm s f t , ta có:

x y Thay vào h gi i đ c nghi m x  (lo i) y 0

Thay vào ph ng trình th hai, ta có:

tt

N u x0 thì t (1) suy ra y0, thay vào (2) không th a mãn  x 0

Chia hai v c a (1) cho x3  ta có: 0 3 3

 2 3

12

2 3

(D th y ph ng trình (3) vô nghi m do 1 1

1 1x

T đó suy ra h đã cho vô nghi m

Bài 11:Nhìn h s có 2 và 2 nên ta chia hai v r i c ng l i:

 

 

3 3

xx

Thay vào ph ng trình th hai c a h ta có: 3  2 

Chú ý: Ngoài cách gi i trên thì ta còn có m t cách gi i khá hay n a, áp d ng đ c r ng rãi h n

cho nhi u bài toán h ph ng trình d ng này c ng nh ph ng trình:





 , thay vào ph ng trình th hai gi i ph ng trình b c 4

Bài 15: i u ki n: 2x  Vy 0 i đi u ki n này h t ng đ ng v i:

84

  2   2

33

Bài 19: Nh n xét r ng x0 khi và ch khi y V y h 0 có m t nghi m là 0;0 

Tr ng h p ,x y0 Nhân chéo v theo v nh sau:

22

V y h ph ng trình đã cho vô nghi m

Bài 21: T ph ng trình th hai c a h , ta đánh giá đ c x y,   1;1 Ta có:

2 2

2

1

66

2 3

5

22

1

22

t      

2 2

8484

+) N u x2 thì t  1    y 2 0 và t  2  y 2, mâu thu n nên lo i

+) N u x2 thì t  1    y 2 0 và t  2  y 2, mâu thu n nên c ng lo i n t

Ph ng trình này rõ ràng vô nghi m! V y là bài toán đã đ c gi i quy t

Bài 32: T ph ng trình th hai ta đ t đi u ki n ,x y 0

yy

cost  1 cos t 12   cost sint 12   t t 12 t t

+) N u x0, thay vào ph ng trình th hai ta đ c y , tho mãn h 0

+) N u x 0 y3  yx2    Lúc này ta nhân chéo hai v c a h nh sau: 0 y 0

4xy

2 2

y t ph ng trình th hai và th vào ph ng trình trên

Bài 43:Rút y t ph ng trình th hai và nhân hai v c a ph ng trình th nh t cho 7 ta có:

2 2

yy

Bài 46: Nh n th y y 0 không tho mãn h   y 0

Thay y = 0 vào hai ph ng trình c a h ta đ c: ex   x 1 ex    ( ) x 1 0

Bài 53: i u ki n x y 0,x y 0, y Thay 0 y 0 vào h th y vô lí   y 0

Chia hai v c a ph ng trình th nh t c a h cho y  ta đ c: 0 x 1 x 1 2

Thay vào ph ng trình th hai c a h : 5 5 3 4 5 4 1

3 3

61

19

yx

21

Nh n th y v trái không d ng, còn v ph i thì d ng nên ph ng trình này vô nghi m

+) N u y2x, thay vào ph ng trình th hai:

  Vì v y mi n giá tr c a hàm s ch a x đó s không có giá tr b ng 0 nên dùng

ph ng pháp hàm s đ ch ng minh ph ng trình vô nghi m:

ch a phát huy đ c hi u qu làm nhanh!

Bài 67: i u ki n: x y, không đ ng th i b ng 0 H đã cho:

35

yx

T ph ng trình th hai c a h , ta suy ra:  3 3

           (2)

T (1) và (2) suy ra y  Thay tr l i h 1 ta đ c:

2 2

V y nghi m c a h là x y;    0;1 ( thi ch n h c sinh gi i t nh Ngh An 2010 – 2011)

Bài 75: Bi n đ i ph ng trình th nh t c a h xu t hi n nhân t chung:

Cách gi i khác: Cách gi i trên dùng cho nh ng b n khá tinh trong vi c nhìn nh n b t đ ng

  

T ng t xem ph ng trình là ph ng trình b c hai n y, tham s x :

x y;    2;1 Thay tr l i vào h th y không tho mãn

V y h đã cho vô nghi m

Bài 80:Ph ng trình th nh t: x y cosxcosy x cosx y cosy (1)

Xét hàm s f t  t cost trên o hàm f t'  1 sint 0 nên f t   đ ng bi n trên

M t khác (1) có d ng f x  f y  x y Thay vào ph ng trình th hai ta đ c:

14

V y h có hai nghi m x y;    1; 4 ( thi h c sinh gi i Qu c gia 2004 – 2005)

55

Bài 90: Khó kh n khi gi i ph ng trình này b i vì ta không s d ng đ c phép th Dùng th

đi u ki n có nghi m c a ph ng trình b c hai c ng không đánh giá đ c Không th dùng hàm

s vì ch a xy ( ph ng trình th nh t) và 2

x y ( ph ng trình th hai) C n bi n đ i khéo léo:

xx

nh t Bên v ph i là hàm b c nh t V y hai v c a ph ng trình đ ng b c Vì v y ta áp d ng cách gi i ph ng trình đ ng b c Ch a th chia ngay hai v cho x(hay cho y) vì không bi t x

âm hay d ng mà đ a vào d u c n.Vì v y ta bình ph ng v i đi u ki n x y 0, ta đ c:

Cách gi i khác: V i nh ng ng i đã có ph n x và phát hi n nhân t chung nhanh thì ta th c

hi n phép nhân liên h p sau v i x khác y :

ty

Bài 94: H đã cho vi t l i thành  

2 2

545

44

thay đ i cách gi i m t chút, ta s gi i theo cách sau:

TH1: N u x0, thay vào h (I) ta tìm đ c y 0

TH2: N u x0, ta đ t y t x t   , thay vào h (I) ta đ c:

(+) N u t 1, thay vào h (II) tìm đ c x   1 y 1

(+) N u t 1, thay vào h (II) tìm đ c x    1 y 1