TUYỂN tập hệ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi đAI HỌC

Tuyển tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi THPT QUỐC GIA năm 2016 Bài 1.

Tuyển tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi THPT QUỐC GIA năm 2016

Bài 1 Giải hệ phương trình  

2 2 2 2 1 4 3

,

x y



Lời giải Điều kiện: 13 x 0; y0

Bình phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có:  2 22 2 2  4 3

1

x  y x y      y y y y

4 2 2 4 2 2 2 2 4 3 4 2 2 2 2 3

x x y y x y x y x y y y x x y x x y y y

Với y x thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được: 2 x1 13  x 12x x 25   Đặt a 13 x a b, 0 a b2 2 13

b x

  





2

3; 2

 Với a2; b3 suy ra 13 2 9 81

3

x

x

  







 Với a3; b2 suy ra 13 3 4 16

2

x

  







Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là      x y ; 4;16 , 9;81 

Bài 2 Giải hệ phương trình  

3 2

,

x y



Lời giải Điều kiện: x y  6 0; 6y1

Phương trình thứ nhất của hệ đã cho trở thành:

2

y   x y nên x2  y x y   6 2 0, do đó         x y 2 0 x y 2

Thế x y 2 xuống phương trình hai trong hệ, chúng ta có: y3 2y2    y 4 y 2 6 1 y

           

2

2

2

1 6 1

2

y

  

            

    





Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x y ;  2;2 2 ,  2;2 2 

Bài 3 Giải hệ phương trình    

2

,

x y x x x y

x y



Lời giải Điều kiện: x x7 3y0; y21 2 x4

Phương trình một của hệ tương đương với: 2xy2x2  4 3x2 2xy2 2xy2  4 5x2 2xy

Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta có: 7x2 3xy  5x22xy y 2 4y y 0

Mặt khác, từ phương trình một suy ra 2xy2 2xy5x2  4 2 1xy  y 5x2  4 x 0

Do đó, phương trình  i   x y 0, thế ngược lại phương trình một của hệ, ta được:

3 2

0 0

2

x y

x y

x y

x x

 



 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    x y ; 2;2 

3 2

,

x y

      



Lời giải Điều kiện: 1; 2

3

x y

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2x2 2xy4y 2 2  x1 y  0

         







Với y x  1 0 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có: x35x2  7 1x 3 5x

2

5 6

1 3 5

1

1 3 5

x x

 

  

  



                  Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là      x y ; 2;1 , 3;2 

Bài 5 Giải hệ phương trình  

,

x y

      



Lời giải Điều kiện: x y 2; x y 2

2 0

a x y

b x y

  



    

 nên hệ phương trình đã cho trở thành:

2 2

2

2 0

5

2

a b

x

   

    

 



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  ; 5 1;

2 2

x y    

,

8 4

      



      

x y

y y xy xy x y y

Lời giải Điều kiện: x y 1

Đặt 1  , 0 22 2 1

1



y a

b x y , khi đó phương trình thứ nhất trong hệ trở thành:

b2 1 a a 21b  4 a b ab  1 4

Và phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

      2  2    2 2

Từ đó ta suy ra hệ phương trình đã cho được viết lại thành:

1

a b

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    x y;  3;2 

Bài 7 Giải hệ phương trình

2

,

x y



Lời giải Điều kiện: 1 2; 3

    Phương trình thứ hai trong hệ được viết lại thành:

1 4 y 2 1 2x   4 2 y 2 1 1x    3 4y 2 1 2x   4 2 y 2 1 1x    i

Vì 3 4 y0 nên từ phương trình  i suy ra 2 4 2 y 2 1 1 0x     2 4 2 y    0 y 0 Mặt khác, ta có: 4 2 2 2 8 4 2 4 2 8 4 2 4

2

x x  x  x     và theo bất đẳng thức AM – GM suy ra:

3

y  y  y y  y        y  y 

Do đó 4 2x  x2 2 3 4y  y 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 8 4 2 11

x

y





   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  ; 1;1

2

x y     

Bài 8 Giải hệ phương trình  

3 2

3

,

6 2 26 6 16 24 28

x y



Lời giải Điều kiện: x; 2 1 0y 

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

3 2

3 3

2 4 12 15 7 2 2 2 1 8 24 30 14 2 2 2 1

8 24 24 8 3 2 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1

  thế xuống phương trình thứ hai, ta có:

 2    3  2  3 2 3 2

3 4x  8 5x x  2 x 26 6 12 4 x   8 5 16x x28 12x 48x 62x 4 6 48x 80 32x

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số thực không âm, ta có:

48x 80x   32 64 64 3 64.64 48x 80 32x 48 48x 80x 32 Nên suy ra

8 12 48 62 4 48 80 32 64 64

5

2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x y ;  2;52 

2 2

3 2 2

7 6 14 0

,

x y xy x y

x y

      

Lời giải Điều kiện: x0; y 

Xét phương trình thứ nhất, ta có:  

2 2

7 6 14 0

x y xy x y



             

Để hệ phương trình   có nghiệm 00 10 3 22 7 0 10 2; 7 1

16 3 20 0

x y

x x

  

 Xét hàm số   11 2 1 72

2

f x x

    với 10 2

3  x , ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra 3 7 2 3.1 7. 7 2 9 7 1 72 16 1 72

             

Do đó   11 1 3 7 3 9 3 2 9 15

           

 Xét hàm số   3 3 2 7

2

g y  y y  với 7 1

3 y , ta có   3 2 3 3  1 0; 7 1

3

g y  y  y y y    y

Do đó g y  là hàm số đồng biến trên 71;

3

 

  nên suy ra    1 15

2

g y g  

Từ đó suy ra được     15 15 0

2 2

f x g y    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

1

x y





 

 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    x y ; 3;1 

Bài 10 Giải hệ phương trình

,



x y

Lời giải Điều kiện: x1; y2; 2x y 1

Xét phương trình thứ nhất trong hệ, ta có: 2x 2 y 2y x 1 2x2y x 1 2 y 0

Theo bất đẳng thức Bunhiacopki, suy ra:

1 x 1 1 2y  1 1 x   1 2 y 2 x y  1 x 1 2 y 2 x y 1

0 2 x2y x 1 2 y 2 x y  1 4 x y 2 x y      2 0 0 x y 1 Lại có, áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì 4 2x y  1 2x y   1 4 2x y 3 nên phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành: 8 2 x2 1 2y  x y  1 2 2 x y  1 2 x y  3 2 2  x y 3

Do đó, suy ra:

1





                 x

y Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là    x y;  2;1 