phương pháp đặt ẩn phụ

II-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Buổi 1 A-Nền tảng tư duy *Ý nghĩa : Đưa 1 bài bất phương trình phức tạp trở về một bài bpt đơn giản hơn.. *Dấu hiệu : Sau khi nhóm các số hạng, liên hợp, bình

II-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

(Buổi 1) A-Nền tảng tư duy

*Ý nghĩa : Đưa 1 bài bất phương trình phức tạp trở về một bài bpt đơn giản hơn

*Dấu hiệu : Sau khi nhóm các số hạng, liên hợp, bình phương hoặc chia cả 2 vế cho 1 đại lượng

phù hợp xuất hiện các thành phần giống nhau

*Quy trình : +Bước 1 : Làm xuất hiện cụm chung và đặt là t

+Bước 2 : Tìm miền giá trị của t

+Bước 3 : Thay và bpt ban đầu để được 1 bpt đơn giản hơn

1/Dạng 1 : Tổng và tích 2 số hạng => Đặt tổng là t

  Ds x: 5

Tư duy :

+Ta thấy (8 x ) và (9x) có quan hệ nên tiến hành thêm bớt

+Lại thấy (2   x) x 2và (x1) cũng có quan hệ nên thêm bớt

+Biến đổi cuối cùng xuất hiện 2 cụm 9 x x1 và 9x x1

Giải

*Điều kiện : 1 x 9

x x

  (1) Đặt t 9 x x1

*Tìm miền giá trị của t

Cách 1:  2

2

Mặt khác: 2

8 2 (9 )( 1) 8 2 2

Mà dấu bằng không xảy ra 2 2t

Vậy 2 2 t 4

Cách 2: Đặt g x( ) 9 x x1 trên miền x(1;9)

Ta có: '( ) 1 1

g x



Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 2 2 t 4

*Ta có :

2

8 2 (9 )( 1) (9 )( 1)

2

t

Thế vào(1) ta có : 2 3 22 3 3 22

2

2

( 3)( 8) 2

3 10 24 0

(t 4)(t 2)(t 3) 0

t t





   

Kết hợp 2 2 t 4  t 4  x 5

5x 1 x1 3x 1 5x 6x 1 4x

Giải

*Điều kiện x1

*Đặt 5 1  ; 0

1

a b



 

4



 

BPT(a b a )( 22b2ab 2) a2b2

(a b a)( 2b ab a b 2) 0

Mà a25b2 4 a25b24

Khi đó (2) 2

3b b 2 a b( 1)

(3b b 2) (5b 4)(b 1)

9b b 4 6b 4b 12b 5b 4b 10b 8b 5b 4

2

( 1)( 1) 0

b

  

Kết hợp điều kiện   1 x 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Giải BPT 3 2 x 6 2 x 4 4x2 10 3 x

Bài 2 : Giải BPT 8 1  x 5 3x4( 1 x 1x2)

Bài 3: Giải BPT 9 2 4 3 15

2

8x 1x  5 16 x 1x

x  x x  x

2/Dạng 2 : Biến đổi tương đương rồi đặt ẩn phụ

2

2 0 1

x x x

Giải

*Điều kiện : x0

2

1

1

x

x x

2 2

1

1

x x



Đặt

2

1

x

t

x





Ta có 2 2

2

1 2



2 t 2



   (*)

2

1 1

2 3 0 2 3 1 0 (2 1)( 1) 0

2 1 0

t

t t

 



TH1 : t  1 vô nghiệm

TH2 : 1

2

t Kết hợp (*) suy ra 1

2

t khi x1

VD2 : Giải BPT

2

Giải

*Điều kiện :   1 x 1

BPT

2

*Đặt

2

2

1

1

t





Ta có

2 2

1

2 1

t

x x





2 2

t t





   

 (*) Khi đó

2

1

2 1

t



5 2( 2) 9 14 0 2 9 10 0 2

2

t

t

 









Kết hợp (*)

3 2 2

t t t







 

  



*TH1: Với

2 2

1

1

2 0

x





 



*TH2: Với

2 2

t

x x



Đặt

2

1

x

u

x



 Khi đó (2)

2

2

1 5

2

2

u







 



Xét

2

1

x

x

Xét

2

0

x

x u

x x









1 5

x

*TH3: t     2 1 x 0

Kết hợp TH1 và TH2 ta với điều kiện ta có:

1 2 2 5 1 5

x x

x

x x

  



 

 



 





 





   



1 1

5 2

1 5

1 2

x

x

x

  









 



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

27 125

14 0

8x 25 x

Bài 2 : Giải BPT 3(2x2x x2 3) 2(1x4) : 3 10 1

2

Bài 3 : Giải PT :

2

4 0 4

4

x





Bài 4 : Giải BPT x 1 x24x 3 (x2)3

Giải

*Điều kiện : x 1

Đặt t x 2  t 1

BPT t 1 t2 1 t t (1)

t t t

1 1 0

t t t

0

2

t

t







 



Kết hợp 1 1 5

2

3/Dạng 3 : Đƣa về dạng đẳng cấp, chia rồi đặt ẩn phụ

VD1 : Giải BPT 4(2x2 1) 3(x22 ) 2x x 1 2x310x

Giải

*Điều kiện : 1

2

x

BPT 2 3 2

3(x 2 ) 2x x 1 2x 8x 10x 4

3 (x x 1) 2x 1 x 2 (2x 4x 2)

2

(x 2) 2 x 3x 2x 1 4x 2 0

        (1)

*TH1 : x2

(1)2x24x 2 3x 2x 1 0

2

2x 3x 2x 1 2(2x 1) 0

2

2 2 1 0

Kết hợp x    2 2 x 4 2 3

*TH2 : 1 2

2 x

2

(1)2x 4x 2 3 2x 1 0

x 2 2x 1 2 x 2x 1 0

2 2 1 0 8 4 0

4 2 3

x

x

  

 

Kết hợp 1 2

2 x 1 4 2 3

2 x

Từ TH1 và TH2 ta có nghiệm BPT là 2; 4 2 3 1; 4 2 3

2

VD2 : Giải BPT 2

4x 15x 9 8(x2) x 1 0

Giải

*Điều kiện : x 1

m( 2) ( 1) 3 15 5

m





BPT3(x2)28(x2) x 1 3(x 1) 0 (1)

*TH1 : x 1 Khi đó (1) 30 đúng   x 1 thỏa mãn

*TH2 : x 1

(1)

2

Đặt 2

1

x

t

x





 Khi đó (2)

2

1

3 8 3 0 (3 1)(t 3) 0 3

3

t

t

 





 



Với 1 2 1 2 02 22

x t

x



37 109 18

  (3)

(2 ) 9( 1)

x

t

 



2

13 3 21 13 3 21

13 5 0

x x

  



  

13 3 21

2



   (4)

Từ (3) và (4) 37 109 13 3 21 2

VD3 : Giải BPT 5x214x 9 x2 x 205 x1

Giải

*Điều kiện :

2 2

9 1



    



*Chuyển vế và bình phương ta có :

5x 14x 9 5 x 1 x  x 20

2

2x 5x 2 2 (x 1)(x 4)(x 5) 0

        (1)

Ta có các phương án sau : 2

( 1) ( 4)( 5)

( 5) ( 1)( 4)







Sau khi thử các phương án thì chọn phương án số 2 với m3;n2

(1)3(x 4) 5 x4 x24x 5 2(x24x 5) 0

Đặt

2

4 5 4

t

x





(2) 2

1

2

t

t







 



*Giải

2

2

5 61

2

x

x

x











Kết hợp 5 5 61

2

(3)

*Giải

2

2

x

Kết hợp x   5 5 x 8 (4)

Từ (3) (4) 5 61 8



VD4 : Giải BPT x x2( 2  1) 1 3(x2 1) 3 3x0

Giải

*Ta thấy 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

x x   x  x  x  x  x  x  x x  x

BPT 3(x23x 1) x2 x 1 x2  x 1 0 (1)

*Phân tích x23x 1 m x( 2  x 1) n x( 2 x 1) 1 2

2 3(x x 1) x x 1 x x 1 3(x x 1) 0

2 x x 1 3 x x 1 3 x x 1 x x 1 0

2

4( 1) 3( 1)

7 1 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

x  x  x  x

Bài 2 : Giải BPT x3(3x24x4) x 1 0

Bài 3 : Giải BPT x23x 4 3 x36x211x 6 0

Bài 4 : Giải BPT 7x225x19 x22x355 x2

Bài 5 : Giải BPT 3(x1) x2129x220x2

Bài 6 : Giải BPT 8x220x 1 64x41