Tìm giá trị lớn nhất của biểu A Bài 3: Cho K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.. Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC tại B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB tại C2.. Giả sử diện tích
Trang 1đề chính thức
-kỳ thi olympic
khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ
Lần thứ nhất - Năm học: 2007 - 2008
đề thi môn toán lớp 11
(Thời gian: 180 phút Không kể thời gian giao đề) –
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau:
2
2
3
3
y x
Bài 2: Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn: yz zx xy 1
x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu
A
Bài 3: Cho K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của AC
và AB Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC tại B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB tại C2 Giả sử diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác AB2C2
Tính góc BAC.
Bài 4: Tồn tại hay không hàm số: : f Ă → Ă , f x không đồng nhất bằng 0, thoả mãn đồng ( )
thời hai điều kiện sau:
i) f xy x y( + + + =1) yf x( + +1) xf y( + +1) f x( + +1) f y( + ∀1 ,) x y, ∈Ă
ii) f x y ( − ) = f x ( ) (2008 − f y2008) , ∀ x y , ∈ R
Bài 5: Cho tập hợp S gồm 2008 phần tử Giả sử S1, S2, , S50 l 50 tập con của S thỏa mãn các à
điều kiện sau:
i) Si =100 ∀ =i 1;50 (kí hiệu Si l số phần tử của S à i)
ii)
50
i
i 1
=
=
U
Chứng minh rằng: tồn tại hai tập con Si, Sj (với i ≠ j) m à Si∩Sj ≥4.
-Hết -Giám thị 1: Họ và tên thí sinh:
Giám thị 2: SBD:
Đáp án và biểu điểm toán lớp 11
Trang 2Bài 1: Giải hệ pt : ( )
2
2
3
3
y x
+ + = Đk: x> 0, y>0 Đặt log x3 - 1 = a ,log3y - 1 = b
Ta có
2 2
1 3
1 3
b a
a a
b b
2 1 3a 2 1 3b (*)
1đ
Xét:
2
2
1
t t
f t t t
t
t
′
+ Vậy từ (* ) suyra: a = b, do đó:
1đ
ln 3
3
a
− −
−
Vậy : log x3 - 1 = 0⇔ x = y = 3
Hệ phơng trình có nghiệm: x = y = 3
2đ
Bài 2:
Đặt a yz , b zx , c xy
= = = Ta có a, b, c > 0 và a2 + b2+ c2 = 1 Ta có:
3
bc ca ab A
1đ
2
4
1
2
b c
b c
+
+
tơng tự có:
1
ca c b a b
1
ab a c b c
2đ
từ đó: A 3 9
3
Bài 3:
Đặt BC=a, CA=b, AB =c, AB2= x; AC2=y Phân giác BK cắt cạnh AC tại D Ta có :
1
>
+
=
=
=
b
c a CD
a AD
c
KD
KB
Suy ra : AD =
c a
bc
+ và D nằm giữa A và B2
1đ
áp dụng định lý menelaus vào tam giác ABD và đờng thẳng B2KC1, ta có :
1
1
1
2
KD
KB
B
C
A
C
A
B
D
B
suy ra
1 + = +
−
b
c a x
c a
bc x
suy ra x =
b c a
bc
− + (1)
1đ
Tơng tự có : y =
c b a
bc
−
Từ giả thiết: diện tich tam giác ABC = diện tích tam giác AB2C2 suy ra xy = bc (3) 1đ
Từ (1), (2) và (3) ta đợc a2 = b2+c2-bc (4)
Ta có : a2 = b2+c2-2bc.cosA (5) Vậy (4) & (5) suy ra : cosA =
2
1 hay góc BAC = 600 1đ
Bài 4:
Trang 3i) f xy x y ( + + + = 1 ) yf x ( + + 1 ) xf y ( + + 1 ) f x ( + + 1 ) f y ( + ∀ 1 ) x y , ∈ Ă
f xy xf y yf x x y
cho x y = = ⇒ 0 f ( ) 0 = 0
1đ
ii) Choy = ⇒ 0 f x ( ) = f x ( 2008) ( ) 2
Ta cm f x ( )n = n x n−1f x ( )(*) bằng quy nạp
n =1 có (*) đúng
Giả sử (*) đúng tới n = k ≥ 1 tức là f x ( )k = kxk−1f x ( )
Phải cm f x ( )k+1 = ( k + 1 ) x f xk ( ) ∀ ∈ x Ă
Thật vậy từ (1) suy ra f x ( )k+1 = x f xk ( ) + xf x ( )k
k
x f x kx f x
k x f x
Vậy f x ( )n = n x n−1f x ( ) ∀ ∈ x Ă
⇒ f x ( 2008) = 2008 x2007 f x ( ) ∀ ∈ x Ă ( ) 3
Từ (2) và (3) suy ra f x ( ) = 2008 x2007 f x ( ) ∀ ∈ x Ă suy ra f x ( ) ≡ 0
Vậy không tồn tại hàm số thoả mãn yêu cầu
2đ
Bài 5:
+) Gọi S={a ;a ; ;a1 2 2008}
Với mỗi i 1;2008= gọi ki là số tập con của S chứa ai⇒ số cặp tập con của S chứa ai là: k ki( i 1)
2
−
và số cặp tập con của S (kể cả lặp) cú giao khỏc rỗng là: 2008 ( )
i i
i 1
2
=
−
∑
1đ
+) Giả sử rằng Si−Sj ≤3 với mọi i, j và i ≠ j thỡ số cặp tập con giao khỏc rỗng (khụng kể lặp) khụng nhỏ hơn 2008 ( )
i i
i 1 i
1
−
Ta cú: ( )
2 2008 i
i 1 2
i i
k
=
∑
i i
i 1 i
1241
+) Mặt khỏc số cặp tập con của S là: C502 =1225 (2)
So sỏnh (1) và (2) suy ra mõu thuẫn và dẫn đến điều phải chứng minh
2đ