GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ CÓ LỜI GIẢI

Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung đồng xu đó là một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố. Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

Chương 1: Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất

Vậy để thực hiện công việc ta có: n1+n2+…+nn cách chọn

Ví dụ 1: Siêu thị A có bán 2 loại sữa, siêu thị B có bán 3 loại sữa, siêu thị C

có bán 4 loại sữa, khi mua một loại sữa thì có bao nhiêu cách mua?

Giải: +Phương án 1: Đến siêu thị A: Có 2 cách chọn

+Phương án 2: Đến siêu thị B: Có 3 cách chọn

+Phương án 3: Đến siêu thị C: Có 4 cách chọn

Vậy để chọn mua 1 loại sữa ta có: 2+3+4=9 cách chọn

Ví dụ 2: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B thì ta có thể đi bằng các phương tiện: ô

tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 3 chuyến tàu hỏa và 5

chuyến máy bay Hỏi trong 1 ngày để đi từ tỉnh A đến tỉnh B thì có bao nhiêu

cách?

Giải: +Phương án 1 để đi ô tô có 10 cách chọn

+Phương án 2 để đi tàu hỏa có 3 cách chọn

+Phương án 3 để đi máy bay có 5 cách chọn

Vậy để thực hiện công việc ta có: n1,n2,…,nncách chọn

Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh Cần chọn ra BCH đoàn (bí thư, p.bí thư, ủy

viên) Có bao nhiêu cách chọn ra 1 BCH như thế?

Giải: Công việc chọn 1 BCH đoàn

+Chọn bí thư: có 30 cách

+Chọn p.bí thư: có 29 cách

+Chọn ủy viên: có 28 cách

Vậy để chọn 1 BCH đoàn ta có: 30.29.28=24 360 cách chọn

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số?

Giải: Giả sử số có 3 chữ số là: ABC và ABC thuộc (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Công việc có bao nhiêu cách sắp xếp số tự nhiên như vậy

Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí Ta đổi chỗ các phần tử cho nhau Số

cách đổi chỗ của n phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử

Số cách ấy được chứng minh bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1 Quy ước 0! = 1

Ví dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi có các cách xếp như sau:

ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC tất cả có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp

1.4.Tổ hợp

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n), sao cho hai cách lấy được gọi

là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau Số cách lấy k phần tử

như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n Ký hiệu: Ck

n bấm máy: nCr Công thức : Ckn n!

n

k k n

n k

n n k n

(

! )!

( )!

(

!

như vậy số cách lấy ra k phần

tử từ tập hợp n phần tử cũng bằng số cách lấy ra n-k phần tử còn lại

Giải: Số cách chọn là : C32  3 cách chọn: AB, AC, BC

Ví dụ 2: Một lớp có 20 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh

Giải: Để chọn ra 3 học sinh là tổ hợp chập 3 của 20

3 20

20!

1140 3!.17!

1.5.Chỉnh hợp:

Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử sao cho hai cách

lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc

thứ tự lấy ra của các phần tử là khác nhau Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là

một chỉnh hợp chập k của n phần tử Ký hiệu: Ak

n Công thức: Ak

n=n.(n-1)…(n-k+1)

Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm

một nhiệm vụ nào đó Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng

Giải: Ta có 3 cách chọn AB, AC, BC

Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn:

BA, CA, CB do đó có tất cả 6 cách chọn theo công thức: A32  3 2 1  6

Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh

hợp có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hoán vị k phần tử ) nên sẽ có:

)1) (

1.(

n k

k n k

n k

C

1.6.Luật tích:

Nếu có 2 công việc A1 và A2 khác nhau sao cho có k1 cách thực hiện công

việc A1, k2 cách thực hiện công việc A2 thì số cách thực hiện liên tiếp hai công việc

A1 và A2 là k1.k2

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ

sao cho có 3 con át và 2 con 10

Giải: Số cách lấy ra 3 con át: C43  4

Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt

sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện Việc tung đồng xu đó là một phép thử còn việc

xuất hiện mặt nào đó là biến cố

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng

nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra

trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố

Ví dụ 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy

được chính phẩm hay phế phẩm là biến cố

Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được

thực hiện Các loại biến cố:

+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép

thử Ký hiệu: U

Ví dụ 2: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc Gọi U là biến cố “Xuất

hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 6” U là biến cố chắc chắn

+ Biến cố không thể có: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện

phép thử Ký hiệu là: V

Ví dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc Gọi V là biến cố “Xuất

hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 7” V là biến cố không thể có

+Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép

thử được thực hiện Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …

+ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa

Ví dụ 4: Khi tung một con xúc xắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm

(i=1;2;3;4;5;6) Ai là một biến cố ngẫu nhiên Và thêm nữa đó là các biến cố sơ cấp;

gọi B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” B xảy ra khi hoặc A2; hoặc A4,

hoặc A6 xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp

Ví dụ 5: Một hộp chứa 3 bi đỏ, 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ trong

hộp sẽ gồm : 3

7  35

C phần tử

Ví dụ 6: Gieo 2 con xúc xắc đồng thời đồng chất, quan sát số chấm xuất

hiện thì không gian mẫu  ?

Ta có: 6.6=36 phần tử

3.Khái niệm và định nghĩa về xác suất

Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điều kiện,

tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ được thể

hiện theo những quy luật nhất định Từ đó cho thấy có thể định lượng (đo lường)

khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó

Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất

hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử

3.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:

Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường hợp

thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi

thực hiện phép thử đó

Ký hiêu : P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho

A, n là số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử Khi đó:

n

m A

+Biến cố A kéo theo biến cố B ký hiệu: A⊂Bnếu A xảy ra thì B xảy ra

+Biến cố đối của biến cố A được ký hiệu là A: A xảy ra khi và chỉ khi A

không xảy ra

+Tổng của 2 biến cố A & B là biến cố ký hiệu: A⋃B xảy ra khi ít nhất A

hoặc B xảy ra

+Tích của 2 biến cố A & B là biến cố ký hiệu: A∩B xảy ra khi cả hai cùng

xảy ra

3.4.Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

+ Phương pháp suy luận trực tiếp:

Ví dụ 1: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất xuất

hiện mặt có số chấm chẵn

Giải: Gọi a là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” Khi gieo một lần

con xúc xắc số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra là n=6 Biến cố A

sẽ xảy ra khi xuất hiện mặt 2 chấm, hoặc 4 chấm, hoặc 6 chấm, nên m=3 Ta có

2

1 )

(  

n

m A P

+ Phương pháp dùng sơ đồ:

Ví dụ 2: (Dạng bảng ma trận): Tung một con xúc xắc hai lần Tìm xác suất

để trong đó có một lần được 6 chấm

Giải: Gọi A là biến cố “Trong hai lần tung có một lần được 6 chấm” Ta mô

tả số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử nhờ bảng sau:

Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n=36

Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m=10

Vậy P(A) m 5

n 18

 

Ví dụ 3: (Dạng tập hợp biểu đồ Ven): Trong một lớp 50 học sinh có: 20

người chơi bóng đá, 15 người chơi bóng chuyền, 10 người chơi bóng rổ, 8 người

chơi bóng đá và bóng chuyền, 5 người chơi bóng đá và bóng rổ, 1 người chơi bóng

đá, bóng chuyền và bóng rổ Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp Tìm xác suất để

người đó chơi ít nhất 1 môn bóng

Giải: Gọi A là biến cố “Lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biết

chơi ít nhất 1 môn bóng”

Ta minh họa bởi sơ đồ sau: (SGK)

Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30

Số trường hợp có thể là n = 50

5

3)

n

m A P

+ Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp:

Ví dụ 4: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại

và chỉ nhớ là chúng khác nhau Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được

đúng số cần gọi

Giải: Gọi B là biến cố “Quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi” Số

trường hợp duy nhất đồng khả năng là số các trường hợp lập được hai số cuối từ 10

chữ số; 0; 1; 2…; 9 là nA102  10 9  90 Số trường hợp thuận lợi là m = 1

Vậy:

90

1 )

(  

n

m B P

Ví dụ 5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm

lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm Tìm xác suất để:

a Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm

b Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm

Giải: a Gọi a là biến cố “Lấy ra được 3 chính phẩm” Số trường hợp đồng

n

m A P

b Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm” Số

trường hợp lấy được 2 chính phẩm là: 2

1

4 1

2 6

C C

Ví dụ 6: Trong 3 tháng cuối năm biết rằng có 5 máy đã bị hỏng Tìm xác

suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng

Giải; Gọi A là biến cố “Không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng” Số

trường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử

a.Lấy ngẫu nhiên 1 SP từ hộp để kiểm tra, tính xác suất lấy được phế phẩm

b.Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng SP ra 2 SP từ hộp để kiểm tra,

tính xác suất lấy được 2 phế phẩm

c.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng SP ra 2 SP từ hộp để kiểm

tra, tính xác suất lấy được 2 phế phẩm

d.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại cùng lúc ra 2 SP từ hộp để kiểm tra, tính

xác suất lấy được 2 phế phẩm

Giải: a.Ta có không gian mẫu: 1

b.Phép thử lấy 2 lần có hoàn lại: +Lần 1: C110 10, +Lần 2: C110 10

ta có không gian mẫu:  10.10 100 , gọi B là biến cố lấy được 2 phế phẩm:

c.Phép thử lấy không hoàn lại 2 SP:

+Lần 1 lấy được: C110 10 cách, Lần 2 lấy được: C19 9 cách

ta có không gian mẫu:  10.990 Gọi C là biến cố lấy được 2 phế phẩm:

- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất (Nếu đáp ứng đầy đủ các yêu

cầu của định nghĩa)

- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trường

hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn

- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực

tế là khĩ đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc

3.5.Định nghĩa thống kê về xác suất

3.5.1.Định nghĩa: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thứ là tỷ số giữa số

phép thử trong đĩ biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Ký hiệu : Tần suất của biến cố A là f(A); k là số lần xuất hiện biến cố A; số

phép thử là n thì:

n

k A

f( ) 

Ví dụ 1: Khi kiểm tra ngẫu nhiên 90 sản phẩm sản xuất do một xí nghiệp sản

xuất, phát hiện ra 7 phế phẩm gọi A là biến cố: “Xuất hiện phế phẩm” Vậy tần

suất xuất hiện phế phẩm là:

90

7 ) (A 

f Người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành thí nghiệm trong những điều kiện như

nhau và số phép thử khá lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định của nĩ khá lớn

3.5.2.Định nghĩa: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p

khơng đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đĩ trong n phép thử sẽ dao động rất ít

xung quanh p khi số phép thử tăng lên vơ hạn

Như vậy với n đủ lớn ta cĩ thể lấy: P(A)  f(A)

Nhận xét: Ưu điểm của định nghĩa thơng kê xác suất là khơng địihỏi các

điều kiện như định nghĩa cổ điển

Hạn chế là phải thực hiện số phép thử đủ lớn và chỉ áp dụng được với những

biến cố mà tần suất của nĩ cĩ tính ổn định

3.6.Quan hệ giữa các biến cố

+Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A B ,

nếu và chỉ nếu A xảy ra suy ra B xảy ra

+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau,

ký hiệu A = B khi và chỉ khi AB và B A

+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu

là AB( hoặc A + B ) xảy ra khi và chỉ khi cĩ ít nhất một trong hai biến cố A, B

xảy ra

+ Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A B

(hay A.B) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra

+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì

không xảy ra B và ngược lại Hay A.B 

+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A\B xảy ra khi

và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra

4.Công thức cộng và nhân xác suất

4.1.Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất

các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó

P( A + B)= P(A) + P(B) – P(A.B)

Ví dụ 1: một lớp học có 50 học sinh Trong đó có 20 HS giỏi văn, 25 HS

giỏi toán, 10 HS giỏi cả văn và toán Chọn ngẫu nhiên 1 HS trong lớp tính xác

suất học sinh này giỏi văn hoặc toán

Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh

Ta có không gian mẫu: 1

50 50

C

   phần tử +Gọi A là biến cố HS chọn ra là giỏi văn

+Gọi B là biến cố HS chọn ra là giỏi toán

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có: P(A+B) = 0,4+0,5-0,2=0,7

Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ

trong hộp tính xác suất:

a.Không lấy được viên bi đỏ nào

b.Lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ

Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên 3 bi

Ta có không gian mẫu: 3

10 120

C

   phần tử a.Gọi A là biến cố không có bi đỏ nào: A có 3

6 20

C 

P(A)=20/120=1/6= 0,1667

b.Biến cố có ít nhất 1 bi đỏ A: P(A) = 1 – P(A)= 1-0,1667=0,8333

4.2.Xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là 2 biến cố và P(B)> 0 Xác suất của biến cố A với điều kiện

biến cố B đã xảy ra được ký hiệu và cho bởi công thức:

Ví dụ 1: Một nhóm sinh viên 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ, trong đó 2

nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ nhóm đó Gọi biến cố

A: “SV được chọn là nữ”; B: “Sv được chọn là 18 tuổi” Tính P(A/B) và P(B/A) ?

Giải: Phép thử là chọn 1 SV từ 10 sinh viên

Ta có không gian mẫu: 1

Ví dụ 2: Từ 1 hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi,

mỗi lần lấy 1 bi, không hoàn lại Tính xác suất để lần 2 lấy được bi xanh, biết rằng:

lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ

Giải: Ta có không gian mẫu: 8.7 = 56 phần tử

Cách 1: Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi đỏ, gọi B là biến cố lần

thứ hai lấy được bi xanh, tính ( / ) ( )

Cách 2: do lần thư nhất đã lấy được 1 bi đỏ nên không gian mẫu có 7 phần

tử Gọi B là biến cố lần thứ 2 lấy được bi xanh

người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng lại tính

xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba

Giải: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được sản phẩm tốt:

=> P(A) = 8/10=4/5=0,8 (không gian mẫu 10 phần tử)

Gọi B là biến cố lần 2 lấy được sản phẩm tốt:

=> P(B) = 7/9 = 0,8 (không gian mẫu 9 phần tử)

Gọi C là biến cố lần 3 lấy được sản phẩm xấu:

=> P(C) = 2/8 = 1/4 = 0,25 (không gian mẫu 8 phần tử)

Như vậy biến cố A.B.C là lần 1 tốt, lần 2 tốt và lần 3 xấu

=> P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB)= 4/5.7/9.1/4=7/45

Ví dụ 2: Một sinh viên học niên chế được thi lại 1 lần, nếu lần 1 bị thi hỏng

(hai lần thi độc lập nhau) Biết rằng xác suất để sinh viên này thi qua lần 1 và lần 2

tương ứng là: 0.6 và 0,8 Tính xác suất sinh viên này thi qua

Giải: Gọi A là biến cố Sv thi qua lần 1

Gọi B là biến cố Sv thi hỏng lần 1 và thi qua lần 2

Gọi C là biến cố Sv thi qua lần 2

P B P(A).P C P(A).P(C / A) 1 0,6 0,8 0,32  

Biến cố A+B là biến cố Sv thi qua Ta tính: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

(do A và B xung khắc hay là xảy ra một trong 2 nên P(A.B) = 0)

P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,32 = 0,92

4.4.Biến cố độc lập:

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu biến cố A xảy ra

hay khơng xảy ra thì cũng khơng ảnh hưởng đến sự xảy ra của biến cố B và ngược

lại

Định lí: Hai biến cố A, B nếu và chỉ nếu: P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) =

P(B) hoặc P(A.B) = P(A) P(B)

Ví dụ 1: Một xưởng cĩ 3 máy hoạt động độc lập nhau Xác suất của các máy

bị hỏng lần lượt là: 0,1; 0,2 ; 0,15 Tính xác suất:

a.Cĩ đúng 1 máy hỏng trong ngày

b Cĩ ít nhất 2 máy hỏng trong ngày

Giải: Gọi A là biến cố máy thứ nhất bị hỏng, Gọi B là biến cố máy thứ hai bị

hỏng Gọi C là biến cố máy thứ ba bị hỏng

4.5.1.Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli nếu thỏa

mãn hai điều kiện sau :

i) Mỗi phép thử xảy ra hai biến cố A hoặc A

ii) P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử

4.5.2 Bài tốn: Cho phép thử bernoulli Tìm xác suất để biến cố A xảy ra x lần

Gọi Ai là biến cố xảy ra biến cố A ở phép thử thứ i (i:1,2,…,n) như vậy Ai là

biến cố “Khơng xảy ra biến cố A trong lần thử thứ i

Gọi B là biến cố “Trong n phép thử biến cố A xảy ra x lần”

Ta cĩ: B A A A A A A 1 2 x 1 2 n   A A A A1 2 n x  n x 1  An

Tổng số các tích biến cố như vậy trong biểu thức trên là Cn x ( là số cách

chon ra x phép thử mà biến cố A xảy ra từ n phép thử ) P(A ) p và q=P(A)=1-pi 

Do các biến cố trong từng tích là xung khắc từng đơi với nhau nên;

x x n x n

Ví dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động, xác suất để trong ca

mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1 Tìm xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị

hỏng

Giải: Ta coi hoạt động của 5 máy là 5 phép thử độc lập Trong mỗi phép thử

này chỉ có hai trường hợp hoặc máy hỏng, hoặc máy tốt, xác suất hỏng của mỗi

máy đều như nhau và bằng 0,1 Bài toán này thỏa mãn điều kiện của dãy phép thử

Bernoulli

Vậy: P (2) C (0,1) (0,9)5  25 2 30,0729

Ví dụ 2: Bắn 6 viên đạn vào bia Xác suất trúng đích cuẩ mỗi viên là 0,7

Tìm xác suất để 3 viên trúng bia

5.Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 5.1.Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1,H2,…,Hn

Nhóm H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố khi đó xác suất của biến cố A được

  các biến cố H1,H2,…,Hn gọi là các giả thuyết

Chứng minh: Vì các biến cố H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ nên biến cố A chỉ

có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Hi nên A = H1A + H2A +

…+HnA vì các biến cố H1,H2,…,Hn xung khắc từng đôi nên HiA và HjA cũng

xung khắc từng đôi với mọi i; j

Do đó: P(A) = P(H1A) + P(H2A) + … +P(HnA) Theo công thức nhân xác

Ví dụ 2: Có 3 hộp giống nhau Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6

chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 xản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hôp thứ ba

đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy

ngẫu nhiên một sản phẩm Tìm xác suất để lấy được chính phẩm

Giải: Gọi A là biến cố “Lấy được chính phẩm” Biến cố A có thể xảy ra

đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố sau:

Hi sản phẩm lấy ra từ hộp thứ i ( i = 1,2,3) theo giải thuyết suy ra P(Hi) = 1/3

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố H1, H2, H3 xảy ra bằng:

P(A/H1) = 6/10; P(A/H2) =10/15; P(A/H3) = 15/20)

Vậy:

3

1

3145

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng 1 và 2 Biết rằng

phân xưởng 1 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 2, tỷ lệ bóng đèn hỏng của phân

xưởng 1 là 10%, phân xưởng 2 là 20% Mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy

a.Tính xác suất để bóng đèn này hỏng

b.Giả sử mua phải bóng đèn hỏng tìm xác suất để bóng đèn này thuộc phân

xưởng 1, phân xưởng 2

Giải: Gọi X1 là bóng đèn của phân xưởng 1

X2 là bóng đèn của phân xưởng 2

Gọi A là biến cố xác suất để bóng đèn mua là hỏng

b.Tìm xác suất rút được 2 bi xanh và một bi đỏ

c.Nếu rút được 2 bi xanh, một bi đỏ Tìm xác suất để 2 bi xanh rút được là

của hộp 1

Giải: a Gọi A là biến cố không có bi đỏ nào

Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bi đỏ khi rút ra

1 2 3 2

1 1

2 4 2 6

1: (2X,1D)

C 6 15 2 303: 2D,1X

Vì ở câu c đòi hỏi 2 bi xanh của hộp 1, nên ta gọi Xi là số viên bi xanh lấy

được từ hộp 1 ta có bảng xác suất như sau:

P(Xi)

2 4 2 6

15

2 2 2 6

15

C Gọi B là biến cố lấy được 2X và 1D, ta có:

Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố

A1,A2,…,An tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố

Ta có công thức nhân: p(AiB) p(A ).p(B/ A ) p(B).p(A / B) i i  i



gọi là công thức Bayes (công thức này cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các

giải thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra)

Ví dụ 1: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu

nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả lời “Sẽ mua”, 96

người trả lời “Có thể sẽ mua” và 70 người trả lời “Không mua” Kinh nghiệm cho

thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời trên

là 40%, 20%; 1%

a.Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó

b.Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả

lời sẽ mua?

Giải: a Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỷ lệ khách hàng thực

sự sẽ mua sản phẩm đó Goi A là biến cố “Lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì

người đó thực sự sẽ mua sản phẩm” Có 3 giả thuyết đối với khách hàng đó:

H1 người đó trả lời “Sẽ mua”; H2- người đó trả lời “Có thể mua”; H3-người

đó trả lời “Không mua” Theo công thức xác suất đầy đủ thì

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

200 , 200 , 200 , ,

Vậy tiềm năng của sản phẩm này là 16,75 %

b.Theo công thức Bayes :

Ví dụ 2: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm trong từng lô tương ứng là: 6%;

2%; 1% Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm

a.Tìm xác suất để lấy được phế phẩm

b.Biết lấy được phế phẩm, Tìm xác suất được chọn của từng lô hàng

Giải: a: Phép thử chọn ngẫu nhiên 1 lô sau đó lấy ra 1 sản phẩm

Gọi A1 là biến cố chọn lô 1, Gọi A2 là biến cố chọn lô 2, Gọi A3 là biến cố

chọn lô 3, Ta có hệ đầy đủ {A1;A2;A3}

Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm

Ta có 3 lô hàng => không gian mẫu là   3

Chọn 1 lô : => P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3

P(B) 0,03 3P(A )P(B / A ) 1/ 3.0,02 2P(A / B)

P(B) 0,03 9P(A )P(B / A ) 1/ 3.0,01 1P(A / B)

P(B) 0,03 9

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng I và II, phân

xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I tỷ lệ bóng hỏng của phân xưởng I là

10%, tỷ lệ bóng hỏng của phân xưởng II là 20% Mua một bóng đèn do nhà máy

sản xuất

a.Tính xác suất để mua được bóng tốt

b.Biết rằng mua được bóng tốt, tính xác suất để bóng đèn do phân xưởng I

sản xuất

Giải: a phép thử mua bóng đèn, gọi A là biến cố mua bóng đèn ở phân

xưởng I, gọi B là biến cố mua bóng đèn ở phân xưởng II

Hệ đầy đủ {A, B}, Gọi C là biến cố mua được bóng tốt

Giải hệ: P(A)=4P(B) và P(A)+P(B)=1

Ta có : P(A)=1/5 và P(B)= 4/5

Áp dụng công thức ta có:

P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(C/B)

b Biết bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng, tính xác suất do:

(1) Do nóng gây nên (2) Do hóa chất gây nên

Giải: a Gọi A1 là biến cố phỏng do nóng gây nên Gọi A2 là biến cố phỏng

do hóa chất gây nên Hệ đầy đủ: {A1; A2}

P(A1)=80%=4/5 ; P(A2)=20%=1/5

Gọi B là biến cố gặp bệnh án biến chứng

P(B) = P(A1).P(B/ A1) + P(A2).P(B/A2)

Ví dụ 5: Một đám đông người mà số đàn ông băng một nửa số phụ nữ, xác

suất để 1 người đàn ông bị bệnh tim là 0,06, xác suất để 1 người phụ nữ bị bệnh

tim là 0,036 chọn ngẫu nhiên một người

a Tính xác suất để người được chọn bị bệnh tim?

b Tính xác suất để người bị bệnh tim trong đám đông là đàn ông?

Gải: a Gọi A1 là biến cố chọn được đàn ông Gọi A2 là biến cố chọn được

phụ nữ Ta có hệ đầy đủ {A1; A2}

Gọi B là biến cố người chọn bị bệnh tim

Giải hệ: P(A1)=1/2P(A2) và P(A1)+P(A2)=1

=> P(A1) = 1/3 ; P(A2) = 2/3 => P(B) = P(A1).P(B/ A1) + P(A2).P(B/ A2)

= 1/3.0,06 + 2/3.0,036 = 0,044

b P(A / B)1 P(A )P(B / A ) 1/ 3.0,061 1 0,45

Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 nhà máy Máy A sản xuất

25%, máy B: 35%, máy C: 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy

trên số sản phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1% Một người mua bóng

đèn do nhà máy đó sản xuất

a.Tính xác suất để sản phẩm này do máy A sản xuất

b.Tính xác suất để sản phẩm này tốt

Giải a Gọi A là biến cố sản phẩm được mua do mày A sản xuất

Ta có: P(A)=0,25 vì máy A sản xuất 25% sản phẩm của nhà máy

b.Gọi H1 là biến cố sản phẩm được mua do máy A sản xuất

Gọi H2 là biến cố sản phẩm được mua do máy B sản xuất

Gọi H3 là biến cố sản phẩm được mua do máy C sản xuất

a.Tìm xác suất để được một ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu

b.Giả sử khi rút 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt Tìm xác suất để các

ống đó ở hộp 2

Giải: +Gọi H1 là hộp thuốc thứ nhất

+Gọi H2 là hộp thuốc thứ hai

+Gọi H3 là hộp thuốc thứ ba

+Gọi T là xác suất lấy được ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu

+Gọi B là xác suất lấy được 2 ống thuốc tốt

Xét một phép thử với không gian mẫu  và xét biến cố A  với xác suất

P(A)=p, ta thực hiện phép thử này n lần một cách độc lập và quan sát số lần xảy ra

Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ

nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động

của các nhân tố ngẫu nhiên

Hay: BNN X là biến nhận giá trị thực tùy ý thuộc vào kết quả của phép thử

Ví dụ 1: Gieo một đồng xua cân đối đồng chất 2 lần, X là số lần xuất hiện

mặt sấp X có thể lấy các giá trị: SS, SN, NS NN

Ví dụ 2: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen, lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi từ

hộp gọi X là số bi trắng có trong 4 bi lấy ra

Ta có thể thấy X các giá trị: 1, 2, 3, 4

Ta viết : X={1,2,3,4}

Ví dụ 3: Tung một con xúc xắc , gọi X là “Số chấm xuất hiện” thì X là biến

ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử X có thể nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3,

4, 5, 6

Ví dụ 4: Gọi X là “Số con trai trong 100 trẻ sắp sinh ra tại một nhà hộ sinh”

X là một biến ngẫu nhiên

Ví dụ 5: Gọi Y là “Khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia” Y

là biến ngẫu nhiên

2.Phân loại biến ngẫu nhiên:

2.1.Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập

hợp hữu hạn hoặc đếm được

Ví dụ 1: gieo một đồng tiền gọi X là kết quả với quy ước nếu ra mặt ngửa

thì ghi 0, ra mặt sấp thì ghi 1 xác suất ra 0 là 1/2, xác suất ra 1 là 1/2 ta có kết quả

dưới dạng bảng:

Cũng gieo đồng tiền nhưng quy ước nếu ngửa thì coi như thua và phải nộp

10 đ, sấp coi như thắng và nhận được 10 đ Số tiền thu được Y sẽ là -10 hoặc 10

với xác suất bằng nhau và bằng 1/2

2.2.Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một

khoảng trên trục số

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất Gọi X là biến

ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp Dễ thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2

Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 2: Trong thí dụ 3 ở mục 1 thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục vì ta không

thể liệt kê ra khoảng cách một cách chính xác điểm chạm của viên đạn tới tâm bia

sau các lần thử

Ví dụ 3: Gọi Z là “Số người vào mua hàng tại một siêu thị trong một ngày”

Z là biến ngẫu nhiên rời rạc vì các giá trị có thể có của Z lập nên một tập hợp đếm

được

Ví dụ 4: Gọi K là “năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh” k là biến ngẫu nhiên

liên tục

Chú ý: Sự khác biệt giữa biến cố ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên ta hiểu là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra

trong một phép thử Còn biến ngẫu nhiên X là một biến cố mà chắc chắn nó sẽ

nhận một giá trị nào đó trong số các giá trị có thể có của nó khi phép thử được

thực hiện

Chú ý: 1.BNN nhận hữu hạn hay đếm được giá trị thì ta gọi là Bnn rời rạc

2 Bnn nhận giá trị trong một khoảng hay đoạn thì gọi là Bnn liên tục

3.Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nào đó trong kết quả của một phép

thử thực chất chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó nếu chỉ biết các giá trị có thể có

của nó thì ta mới chỉ biết được rất ít thông tin về biến ngẫu nhiên đó Ta cần phải

xác định các xác suất tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để

hoàn toàn xác định nó

3.1.Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng

giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó

3.2.Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến

ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử biến ngẫu nhiên rời ạc X có thể nhận các giá trị: x1, x2, ….,xn với các xác

suất tương ứng là: p1, p2,…., pn Ta lập bảng sau:

X x1 x2 …….xi………… xn P(xi) p1 p2 pi pn

i p

i p

1

1

, 1 0

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối đồng chất Gọi “ X là biến

ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp Ta có bảng phân phối xác suất sau:

X 0 1 2 P(X=i) ¼ 2/4 2/4

Ví dụ 2: Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm Lấy ngẫu

nhiên 2 sản phẩm Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra

Giải: Gọi Y là “Số chính phẩm lấy ra” Ta có bảng phân phối sau:

2 10

1 4 1

C

C C

15

5

2 10

2

6 

C C

(lấy được 0 chính phẩm tương đương với việc lấy được 2 phế phẩm)

15

5 15

8 15

2







Ví dụ 3: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,8 Xạ thủ được phát từng

viên đạn để bắn cho tới khi trúng bia Tìm quy luật phân phối xác suất số viên đạn

được phát

Giải: Gọi X là “Số viên đạn được phát” X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có

thể nhận các giá trị k:= 1, 2, 3, … , k,…

Khi X =1 tức là bắn phát đầu tiên trúng bia luôn P(X=1) = 0,8

Khi X =2 Tức là phát thứ nhất trượt, phát thứ hai trúng bia, hai lần bắn là

độc lập với nhau nên theo công thức nhân xác suất P(X=2) = 0,2.0,8

Khi X=k Lập luận tương tự như trên P(X=k) = (0,2)k-1

.0,8

Ta có bảng phân phối xác suất như sau:

X 1 2 … …… k,……

P(X=i) 0,8 0,2.0,8 … (0,2)k-1.0,8……

Kiểm tra: 1

2 , 0 1

8 , 0 8 , 0 ) 2 , 0 (

số nhân lùi vô hạn )

Ví dụ 3: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, gọi X là số chấm xuất

hiện Ta có bảng phân phối xác suất:

Do không gian mẫu gồm 6 phần tử Và A1=A2=…=A6=1

Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 quả cầu giống nhau, được đánh số từ: 1, 2, 3, 4, lấy

ngẫu nhiên 2 quả cầu Gọi X là tổng số ghi trên 2 quả cầu đó Tìm bảng phân phối

Ví dụ 4: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt liên tiếp từng viên vào 1 một

mục tiêu 1 cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8 Biết rằng

nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã

bắn Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X

Ví dụ 5: Một túi đựng có 10 thẻ đỏ, 6 thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ

a.Tìm X là số thẻ đỏ Tìm phân phối xác suất của x

b.Giả sử rút thẻ đỏ được 5 điểm, rút thẻ xanh được 8 điểm Y là tổng số

điểm của 3 thẻ được rút ra Tìm phân phối xác suất của Y

Giải: a Miền giá trị cùa X là (0;1;2;3)

Y=5X+(3-X)8=24-3X với (X=0,1,2,3)

P(x=0)=P(y=24); P(x=1)=P(y=21); P(x=2)=P(y=18); P(x=3)=P(y=15)

P(X) 12/56 27/56 15/56 2/56

Ví dụ 6: Một hộp đựng có 10 chiếc thẻ, trong đó có 4 thẻ ghi số 1, 3 thẻ ghi

số 2, 2 thẻ ghi số 3, 1 thẻ ghi số 4 lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ

Tìm phân phối xác suất của X tìm E(X)

Giải: X có miền giá trị (2,3,4,5,6,7) Không gian mẫu là: C102 45

E(X) x p



 

Ví dụ 7: Một người có 7 chìa khóa giống nhau trong đó có 2 chìa khóa mở

được ổ khóa Thử từng chìa, thử xong bỏ ra đến khi tìm được chìa mở được thì

thôi X là số lần thử cần thiết Tìm phân phối xác suất và E(X)

Giải : X có miền giá trị là : (1,2,3,4,5,6) Không gian mẫu là: C C1 17 6 42

Chú ý: Bảng phân phối xác suất chỉ dùng được khi biến ngẫu nhiên là rời rạc

4.Hàm phân phối xác suất:

4.1.Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là s

để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ

Hãy tìm hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị:

Giải: Nếu x ≤ 1 Thì biến cố (X<x) là biến cố không thể có nên F(x) = 0

Nếu 1< x ≤ 3 biến cố ( X < x ) chỉ xảy ra khi (X=1) nên F(x) = 0,1

Nếu 3 < x ≤ 4 biến cố ( X < x) xảy ra khi (X=1) hoặc khi (X=3)

Ví dụ 2: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn từng phát cho tới khi có viên đầu tiên

trúng hoặc hết đạn thì thôi bắn Biết xác suất bắn trúng là 0,7 Lập bảng phân phối

xác suất Viết hàm phân phối

Giải: Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=(1;2;3;4)

Gọi Ai là viên đạn thứ I trúng đích, gọi Bi là biến cố đối của Ai

0,973 Neáu 3 x<4

1 Neáu 4<x

4.2.Các tính chất của hàm phân phối xác suất

Tính chất 1: Hàm phân bố xác suất luôn nhận giá trị trong đoạn [0; 1]

0 ≤ F(x) ≤ 1 Tính chất 2: Hàm phân bố xác suất là hàm không giảm, tức là với x2 > x1 thì

F(x2) ≥ F(x1)

Thật vậy: Giải sử x2 > x1 Xét biến cố (X < x2) Biến cố này có thể phân tích

thành hai biến cố xung khắc nhau: (X < x1) và ( x1 ≤ X < x2) do đó:

P(X<x2)=P(X < x1)+P(x1≤X<x2)

suy ra: P(X<x2)-P(X<x1)=P(x1≤X<x2)≥0 hay F(x2)≥F(x1)

Hệ quả 1: Xác suất để biến ngâu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [a; b)

bằng hiệu số của hàm phân bố xác suất tại hai đầu khoảng đó:

P(a≤X<b)=F(b)–F(a) Suy từ tính chất 2 (thay a = x1; b = x2 trong chứng minh trên)

Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị xác định

X=x thì bằng 0: P(X=x)=0

Thật vậy : Ta đặt a=x; b=x+∆x thì: P(x≤X<x+∆x)=F(x+∆x)–F(x) lấy giới

hạn hai vế khi ∆ x tiến tới 0 , do X là biến ngẫu nhiên liên tục nên tại x hàm phân

3.1.1.Định nghĩa: Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có

thể có x1, x2,….,xn với các xác suất tương ứng là: p1, p2,….,pn Kỳ vọng của biến

ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X) là tổng của các tích giữa các giá trị có thể có

của biến ngẫu nhiên rời rạc với xác suất tương ứng

n

i i i

3.1.2.Ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình mà biến ngẫu

nhiên nhận hoặc kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là trọng tâm của phân phối xác suất

với khối lượng 1

Ta đã biết trung bình cộng hoặc trung bình số học Trung bình cộng là tốt

trong trường hợp các số trị đang xét có đồng khả năng, song trung bình cộng sẽ

không tốt khi các trị đang xét không đồng khả năng, khi đó dùng trung bình trọng

lượng, hay trung bình theo nghĩa xác suất như trên sẽ tốt hơn – Tất nhiên trong

trường hợp các pi như nhau ta nhận được trung bình số học

Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị xi với xác suất tương ứng pi = ni/n

trong đó ni là số lần X nhận giá trị xi , E(X) = x1p1 + … + xnpn = x1.n1/n +

b E(C.X) = C.E(X) với C hằng số, X là biến ngẫu nhiên

c.E(X + Y) = E(X) + E(Y) với X; Y là các biến ngẫu nhiên độc lập (Mở rộng

cho n biến ngẫu nhiên độc lập)

d E(X.Y) = E(X).E(Y) với X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập (Mở rộng

cho n biến ngẫu nhiên độc lập)

Ví dụ 2: Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt liên tiếp từng viên vào 1 một

mục tiêu 1 cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8 Biết rằng

nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã

bắn Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X và có bảng phân phối xác suất:

Ví dụ 3: Một hệ thống biết tỷ lệ tai nạn xe máy ở thành phố H là 0,001 công

ty bảo hiểm A đề nghị bán loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành phố H

trong một năm với số tiền chi trả là 10 triệu đồng, phí bảo hiểm là 0,1 triệu đồng

Hỏi trung bình công ty A trả bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B

Giải: Gọi X là BNN nhận giá trị 0 nếu B không bị tai nạn

X nhận giá trị là 1 nếu B bị tai nạn

Trung bình E(Y)= 0,1.0,999-0,9.0,001=0,0998 triệu đồng

Ví dụ 4: Có 4 bi đỏ, 6 bi đen, người ta lấy ngẫu nhiên 1 bi, lấy được bi đỏ

được cộng 100 điểm lấy bi đen bị trừ 70 điểm Tính xác suất điểm trung bình và

phương sai X

Giải : Gọi X là số điểm ông A lấy được cho 1 lần lấy bi