chuyen de phuong trinh luong giac

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a.. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II... Một số phương trình lượng giác thường gặp:II.2.1.. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC

I CÔNG THỨC

I 1 Công thức lượng giác cơ bản

2

2

2

1

1

a

¢

I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối: α à−α

b Cung bù: α àπ α−

c Cung phụ: à

2

c c

d Cung hơn kém π α: à (α π+ )

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan và cot

I 3 Công thức cộng

tan

1 tan tan

tan

1 tan tan

a b

a b

+ + =

−

−

− =

+

Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia

1 trừ tích tan.

I 4 Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos os2 os2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan 2 2 tan2

1 tan

a

a

−

I 5 Công thức hạ bậc

+

I 6 Công thức tính theo tan

2

2

I 7 Công thức nhân ba

3

2

1 3tan

a

−

−

I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích

I 9 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

I 10 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung 0 00( ) 300

6

π

 

 ÷

 

0 45 4

π

 

 ÷

 

0 60 3

π

 

 ÷

 

0 90 2

π

 

 ÷

 

0 2 120

3

π

0 3 135

4

π

0 5 150

6

π

  1800( )π

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3

1 3

Chú ý:

• sin

2

n

α = với α =0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 900 0 0 0 0 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4.

• Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: a00

180

α π

=

I 11 Đường tròn lượng giác

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

II.1.1 Phương trình sin x a =

⊕ a >1: Phương trình vô nghiệm

⊕ a ≤1

2

α

= +



360

β β

β

π



Tổng quát: sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( )

2

π



* Các trường hợp đặc biệt

2

2

π

¢

¢

¢

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

12

2

3

Giải

11 12

π

¢

k





 = − +

2

π

¢

( )

2

)sin

2 3

3

π





¢

II.1.2 Phương trình cos x a =

⊕ a >1: Phương trình vô nghiệm

⊕ a ≤1

• c x cos = osα ⇔ = ± +x α k2π(k∈¢)

• c x cos = osβ0 ⇔ = ±x β0+k3600(k∈¢ )

• c x aos = ⇔ = ±x arcc a kos + 2π(k∈¢)

Tổng quát: c f xos ( ) =c g xos ( ) ⇔ f x( ) = ±g x( )+k2π (k∈¢ )

* Các trường hợp đặc biệt

2

π

¢

¢

¢

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

4

( 0) 2

2

2

4

Giải

a x c= π ⇔ = ± +x π k π k∈

¢

2

c c x= − ⇔c x c= π ⇔ x= ± π +k π ⇔ = ±x π +kπ k∈

¢

d x= ⇔ = ±x +k π k∈¢

II.1.3 Phương trình tan x a =

π

¢

¢

¢

Tổng quát: tan f x( ) =tang x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+kπ (k∈¢)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

3

) tan 4

3

Giải

a x= π ⇔ = +x π kπ k∈

¢

( )

b x= − ⇔ x= − +kπ ⇔ =x − +kπ k∈

II.1.4 Phương trình cot x a =

π

¢

¢

¢

Tổng quát: c f xot ( ) =c g xot ( ) ⇔ f x( ) =g x( )+kπ (k∈¢ )

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

3

7

) cot 2

Giải

a x= π ⇔ x= π +kπ ⇔ = +x π kπ k∈¢

¢

1

c  x−π = ⇔  x−π = π ⇔ x− = +π π kπ ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π kπ k∈

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

3

4) ( 0 ) 3

cot 45

3

x

2

2

x

3

x

10) sin 8( x+600)+sin 2x=0 11) cos cos 2( 300)

2

x

x

= − − 12) sinx−cos 2x=0

13) tan cot 2

4

π

 − =

2

3

16) sin 4x= −cosx 17) sin 5x= −sin 2x 18) sin 22 x=sin 32 x

22) sin 22 x+cos 32 x=1 23) sin 5 cos3x x=sin 6 cos2x x

24) cos −2sin2 =0

2

x

2

x x 26) tan 5 tan3x x=1

27) π =

2

π

Bài 2: Tìm ;

2 2

∈ ÷ sao cho:tan 3( x+ =2) 3

Bài 3: Tìm x∈(0;3π) sao cho: sin 2cos 0

 − +  + =

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải các phương trình sau:

18) sin 22 =sin 32 ⇔1 cos4− =1 cos6+ ⇔cos4 = −cos6 ⇔cos4 =cos(π−6 )

22)

23) sin 5 cos3 =sin 6 cos2 ⇔1(sin2 +sin8 ) (=1 sin 4 +sin8 ) ⇔sin 2 =sin 4

24) cos −2sin2 = ⇔0 cos − −(1 cos ) = ⇔0 cos =1

x

25)  +π ÷ ( −π) ( )=

2

2

x hoặc cot 5( x−π) =0 không là nghiệm của pt (25) nên ta có:

π

1

x

26) tan 5 tan3x x=1 26( )

Vì tan 5x=0 hoặc tan3x=0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:

π

1

x

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

0

at b+ = t trong đó a,b là các hằng số (a≠0)và t là một trong các hàm số lượng giác.

2

II.2.1.2 Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Giải

) 2sin 1 0 sin 1 sin sin 6 2 ( )

5

2 6

π

 = +



 = +



¢

b c x+ = ⇔c x= − ⇔c x= π ⇔ x= ± π +k π k∈ ⇔ = ± +x π kπ k∈

3

¢

II.2.1.3 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cosx−sin 2x=0

Giải

2

, 1

6

x x

 = +





=



¢

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

II.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

2

0

at + + =bt c , trong đó a, b, c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ:

a) 2sin2x+sinx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x

b) cos x2 +3cosx− =1 0 là phương trình bậc hai đối với cos2x.

c) 2 tan2x−tanx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

d) 3cot 32 x−2 3 cot 3x+ =3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x

II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai

theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện − ≤ ≤1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

Giải

2

Đặt t=sinx, điều kiện t ≤1 Phương trình (1) trở thành:

( )

2

2

=



 + − = ⇔  =

Với t=1, ta được sinx= ⇔ =1 x k2π(k∈¢)

( )

2

Đặt t c x= os , điều kiện t ≤1 Phương trình (2) trở thành:

( )

2

â 2

3 1 0

2

=



 + − = ⇔

=



2

c x= − + ⇔ = ±x − + +k π k∈¢ Các câu còn lại giải tương tự

II.2.2.3 Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

2

Giải

2

x x

=



x= ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π kπ k∈

¢

3

3 > nên phương trình 3cos 2x− =7 0 vô nghiệm

¢

( )

Điều kiện: sinx≠0và cosx≠0

Khi đó:

tan

x

Đặt t =tanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2− − =4 12 0t

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) 2 cos2x−3cosx+ =1 0 32) cos2 x+sinx+ =1 0 33) 2 cos2x−4 cosx=1

34) 2sin2x+5sin – 3 0x = 35) 2cos2x +2cosx - 2 =0 36) 6cos2x+5sinx−2=0

37) 3 tan2x− +(1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x+14cos 21 0x− =

 − +  − =

2 4cos 2( 3 1)cosx− − x+ 3 0 =

II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:

II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

II.2.3.2 Phương pháp:

⊕ Kiểm tra cosx=0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

⊕ cosx≠0chia cả hai vế cho cos x đưa về phương trình bậc hai theo tan x : 2

(a d− )tan2x b+ tanx c d+ − =0

Ví dụ: Giải phương trình sau

Bài tập đề nghị:

41) 3sin2x−4sin cos +5cosx x 2 x=2 42) 2 cos2 x−3 3 sin 2x−4sin2 x= −4

43) 25sin2x+15sin 2x+9cos2x=25 44) 4sin2x−5sin cosx x−6cos2x=0

II.2.4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

sin cos

a x b+ x c= trong đó , ,a b c∈¡ và 2 2

0

Ví dụ: sinx+cosx=1; 3cos 2x−4sin 2x=1;

II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

• Nếu 2c 2 1

• Nếu 2c 2 1

α

α

+ ) sau đó giải phương trình

lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình asinx b+ cosx c= trong đó , ,a b c∈¡ và a2+b2 ≠0 có nghiệm khi c2 ≤a2+b2.

Giải

Ví dụ: giải các phương trình sau:

a) sinx+cosx=1; b) 3cos 2x−4sin 2x=1;

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

47) 2sinx−2cosx= 2 48) 3sinx+4 cosx=5 49) 3sin(x+ +1 4 cos) (x+ =1) 5

50) 3cosx+4sinx= −5 51) 2sin 2x−2 cos 2x= 2 52) 5sin 2x−6cos2x=13;(*)

53) +  +π =

III BÀI TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:

55 sin 2 1

2

x= 56 os2 3

2

c x= − 57 ( 0) 1

3

x+ = −

58 cot 5 1

π

 − =

  59 sin 2x sin x 4

π

  60 cot 2x 3 cot 4 5x

   

61 ( 0) ( 0 )

c x+ = −x 62 tan cot 2

 + = −  − 

    63

tan 5

3

x=

Bài 2 Giải các phương trình sau:

64 2sin 3 3 0

6

  65

2 cos 2x c− os2x=0 66 (tanx+1 cos) x=0

67 2

2sin x+sinx− =3 0 68 2

4sin x+4cosx− =1 0 69 tanx+2cotx− =3 0

70 4 2

2cot x−6cot x+ =4 0 71 4 4

sin x c− os x=cosx−2

72 (1−cos4 sin 4x) x= 2 sin 22 x (*) 73 3sin2 x−2sin cosx x c+ os2x=0

74 cos2 x−sin2 x− 3 sin 2x=1 75 2 2 1

2

Bài 3 Giải các phương trình sau:

76 3sinx+4cosx=5 77 2sin 2x−2 cos 2x= − 2 78 3cosx−sinx= 2

79 2 1

2

x+ x= 80 cos 2x+9 cosx+ =5 0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

81) sin 6x+ 3 cos 6x= 2

82) cos2x+sinx+ =1 0

83) 3sinx+ 3 cosx=1

84) 5cos 2x−12sin 2x=13

2

86) cos2x−sinx=2

87) 4sin2 x+3 3sin 2 2cosx− 2x=4

88) 24sin2x+14cosx−21 0=

89) tan 2 cot 2 3 0

 + +  + + =

 − +  − =

91) 3sin2 x+8sin cosx x+(8 3 9 cos− ) 2x=0

92) 2sin 3x+ 2 sin 6x=0

93) 3 cos2x−5 sin2 x= 1

95) 4cos 22x− ( 3 1 cos− ) x+ 3 0 =

96) sin2 x–10sin cosx x+21cos2x=0

97) cos2x−sin2x− 2sin 2x=1

98) cos 4 sin3 cosx+ x x= sin cos 3x x

99) sin cos 1

sin

x

Dành cho HS khá – giỏi 100) cosx+ 3 sinx=2 os3c x

101) tanx+tan 2 tan 3 x= x

HD:

Giải phương trình

3

2

0

102) ( 2sinx−cosx) (1 cos+ x) =sin2 x

103) (1 cos 2 )sin 2− x x=sin 2 x

Hướng dẫn:

2 (1 cos 2 )sin 2− x x=sin x

104) cos 1 tanx( − x) (sinx+cosx)=sinx

105) cotx−tanx=sinx+cosx

Hướng dẫn

cotx−tanx=sinx+cosx, (điều kiện sinx≠0và cosx≠0)

( )

( )

sin cos

−

⇔ 



HD giải pt 91b):

cosx−sinx−sin cosx x=0

2

t

Thay vào phương trình, ta được:

2

2 1

2

t

t+ − = ⇔ + − = ⇔ = − −t t t ∨ = − +t

Ta giải 2 phương trình: cosx−sinx= − −1 2; cosx−sinx=− +1 2

4

Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x

107) 2sin 17x+ 3cos 5x+sin 5x=0

HD:

3

108) cos 7x−sin 5x= 3 cos 5( x−sin 7x)

109) tan 2( 45 tan 180 0) 0 1

2

x

−

HƯỚNG DẪN GIẢI

52) 5sin 2x−6cos2x=13;(*)

( )

53)

π π

 +  + 

2 2

1 cos 2

2

x x

x

72) (1−cos4 sin 4x) x= 2 sin 22 x

1−cos4 sin 4x x= 2 sin 2x

⇔

2

87) cosx+ 3 sinx c= os3x

cosx+ 3 sinx=cos3x

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Giải các phương trình sau:

201) cos5 sin 4x x=cos3 sin 2x x

202) cos2 +cos 22 = 1

2

203) sinx+sin 2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x

204) sin3x+sin 5x+sin 7x=0

205) cos2x+cos 22 x+cos 32 x=1(*)

206) π + =  π + 

3

x

x

207)  +π =  + π 

3

III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM

2

    (Khối D - 2005)

2 2sin

x

=

5) cot sin 1 tan tan 4

2

x

6) os3c x c+ os2x−cosx− =1 0 (Khối D - 2006)

7)(1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x (Khối A – 2007)

9)

2

10)

4sin 3

2

x

π

(Khối A – 2008) 11)sin3x− 3 cos3x=sin osxc 2x− 3 sin2xc xos (Khối B – 2008)

13)(1 2sin1 2sin cos) (1 sin ) 3

14)sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x) (Khối B – 2009)

15) 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx=0 (Khối D – 2009)

cos

x x

π

+

(Khối A – 2010) 17) (sin 2x+cos 2 cosx) x+2cos 2x−sinx=0 (Khối B – 2010)

18) sin 2x c− os2x+3sinx−cosx− =1 0 (Khối D – 2010)

1 cot

x

20) sin 2 cosx x+sin cosx x c= os2x+sinx+cosx (Khối B - 2011)

x

22) 3 sin 2x c+ os2x=2cosx−1 (Khối A và A - 2012)1

23) 2 cos( x+ 3 sinx)cosx=cosx− 3 sinx+1 (Khối B - 2012)

24) sin 3x c+ os3x−sinx+cosx= 2 cos 2x (Khối D - 2012)