CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log m= log
a b m a b, (5)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có = loga b⇒ m =( loga b)m= m.loga b
Khi đó log m=log m.loga b = log ⇒
Ví dụ 1: [ĐVH].
( )
1
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
Ví dụ 2: [ĐVH]
Ta có
4 2
2 3
−
Ví dụ 3: [ĐVH]. log5 3 1log 125 log 505 log5 3 log5 12 log 505 log550 3 log 255 2
Ví dụ 4: [ĐVH].Cho biết log 1;log 3
a b= a c= Tính giá trị của loga x với
a)
3 2
2 3
4
x
a bc
=
b)
3 3
3
x
bc
=
Công thức 6: loga n b=1loga b
Chứng minh:
Đặt log n = ⇒( ) = ⇔ =
y
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log ny =log ⇔ =log ⇒ = 1log
a a a b ny a b y a b
n
hay log n =1log ⇒
a
n
Ví dụ 1: [ĐVH].
1 2
5
2 2
2
2 2
2
1 log 16 log 16 log 16 2.4 8
1 2 1 log 64 log 64 log 64 5.6 30
1 5
m
a a
m
n
3
3
3
4
02 CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 3: [ĐVH].Tính giá trị biểu thức
1
3 4
1 3
3
27 log 27 log
9
=
+
A
Hướng dẫn giải:
3 3 3 3
log 27=log 3 3 =2
2
13 3
5
3
9
3
2
−
2
1
3
3
1 3
3
9
−
− +
+
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log log
log
a
c
b b
a, (7) Chứng minh:
log
c
b
a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
loga b=loga c.logc b
= b =
a
b b
Ví dụ 1: [ĐVH].Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 142 = a → =A log 492 =?
b) Cho log 315 = a → =B log 1525 =?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 142 = ⇔ =a a log2( )2.7 = +1 log 72 ⇒log 72 = −a 1
Khi đó A=log 492 =2log 72 =2(a−1 )
b) Ta có
3 15
5
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−
= − =
a
a a
3 25
1
a
Ví dụ 2: [ĐVH].Cho loga b = 3 Tính
a) =log b
a
b A
a Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log 3 log 1
3
b
Trang 31 1 1 1 3 1 3 1
2
3
A
Cách khác: Ta có được 2
2 2
2
log
log
a
a b
a a
b
b
A
b
a
b
log
b
B b
a
Cách khác: Ta có
( )2
2
2 3 1
a
a ab
b
b
B
−
Ví dụ 3: [ĐVH].Tính giá trị của các biểu thức sau :
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
+
4
1 log 3 3 log 5
1 log 5 2
1
log 9 log 6 log 4
2
+
log 5 1 lg 2 log 36
36 +10− −3
Hướng dẫn giải:
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
5
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
−
= + = + =
4
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 5
16+ +4 + =4 + +2 + =16.25 3.2+ =592
1log 9 log 6
log 4 log 9 2 log 6 2 log 4
36 16
d) 36log 5 6 +101 lg2− −3log 36 9 =6log 25 6 +10log5= + =25 5 30
Ví dụ 4: [ĐVH].Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
6
1
2
4 log log 4.log 3
Hướng dẫn giải:
6
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
Ví dụ 5: [ĐVH].Hãy tính :
b) Chứng minh :
+ ax( )
log
1 log
a
bx
x
+
=
+
Trang 4Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
1
k k
+
Hướng dẫn giải:
a)
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011 log 2011!
A
Nếu x = 2011! Thì A=log2011!(2011!)=1
b) Chứng minh : ax( )
log
1 log
a
bx
x
+
= +
bx
x
+
2
1
k k
+
2 log
k
a
x
+
Ví dụ 6: [ĐVH].Chứng minh rằng :
a) Nếu : 2 2 2
a +b =c a> b> c> c± ≠b , thì logc b+ a+logc b− a=2 logc b+ a.logc b− a
b) Nếu 0<N≠1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
, , 1
a b c
−
−
c) Nếu logx a, logy b,logz c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log 2 log .log
a c b
y
=
+
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a2+b2=7ab Chứng minh : ln ln ln
Hướng dẫn giải:
logc b− a logc b+ a c b− a c b+ a c b+ a c b− a
b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2=ac
− ( đpcm )
c) Nếu logx a, logy b,logz c tạo thành cấp số cộng thì log x a+logz c=2logy b
2log log
log
a c b
y
+
Ví dụ 7: [ĐVH].Tính
a A=log 166 Biết : log 2712 =x
b B=log12530 Biết : lg 3=a;lg 2=b
c C=log 1353 Biết: log 52 =a;log 32 =b
d D=log 356 Biết : log 527 =a;log 78 =b;log 32 =c
e Tính : log 32 Biết : 49 log 142 =a
Hướng dẫn giải:
Trang 5Do đó :
4
6
log 2 4log 2 log 16
log 6 1 log 2
+ Thay từ (*) vào ta có : A=
( ) ( )
=
2
log 3
C
+
d) Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
D
+ +
e) Ta có : log 142 = ⇔ +a 1 log 72 =a⇒log 72 = −a 1
Vậy :
( )
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
−
Ví dụ 8: [ĐVH].Rút gọn các biểu thức
a) A=(loga b+logb a+2 log)( a b−logab b)logb a−1
b) 2 ( ) log ( log 2 1 ) 2 4
1
2
c) C= loga p+logp a+2 log( a p−logap p) loga p
Hướng dẫn giải:
log
a
a
b
b
a
b
b
a
+
( )2 ( )2 ( )2
+
+
Ví dụ 9: [ĐVH].Chứng minh rằng
2
a− b − = a+ b với : a>3b>0;a2+9b2=10ab
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
+) log2a b log2a c
+) loga b.logb c.logc a=1
loga ;logb ;logc
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Hướng dẫn giải:
2
b) Chứng minh : log2a b log2a c
* Thật vậy :
−
= = − ⇒ = − =
Trang 6Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
* loga b.logb c.logc a= ⇔1 loga b.logb a=loga a=1
* Từ 2 kết quả trên ta có
2
loga logb logc loga logb logc 1
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Ví dụ 10: [ĐVH].Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 63.log 363 =
b) log 38.log 81 4 =
c) log2 1.log2532
Ví dụ 11: [ĐVH].Cho loga b = 7 Tính
a)
3
= a b a
A
b
b) =logb 3 2
a
Ví dụ 12: [ĐVH].Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
8
=a = b → =P =
b) Cho logab a= 2 → =Q logab b =?
a
Công thức 8: logb c= logb a
Chứng minh:
log =log log ⇒ b c = b a a c ⇔ b c = a c b a= b a⇒
1 log 27
log 2 log 49 2 log 2 2
Ví dụ 2: [ĐVH] Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 56 log 43 log 369
36 3 3
b)
2 3
3
log 3
2 log 2
log 4
27
B
−
c) log 5 3 log 36 9 4log 7 9
81 27 3