VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3.. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC Cho hàm số y = fx có đồ thị là C.. Giải 1 được x rồi thay lại v
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3 TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Điểm A(x A ; y A) không thuộc đồ thị
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau
+) Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k →d y: =k x( −x A)+y A
+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm ( ) ( )
( )
( ), 2
= − +
′
=
+) Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1) Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta
được phương trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y= − −x3 x 6
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 9x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 9x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số
Ví dụ 4: [ĐVH] CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số
1
= +
x y
x đi qua giao điểm I của 2 đường
tiệm cận
Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số 2 1 ( )
1
x
x
+
=
− Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C
Lời giải:
Ta có: ( )
3 '
1
f x
x
−
=
−
a) Ta có : x0 =2⇒y0 =5⇒ f '( )x0 = f ' 2( )= −3
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y= −3(x− +2) 5 hay y= − +3x 11
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2b) Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm 0 ( )
0 0
; 1
x
x
−
0 0
3
1 1
x
x x
+
−
−
Vì tiếp tuyến đi qua A(4; 1− ) nên ta có:
0 0
3
1 1
x x x x
+
−
−
−
0
2
2
x
x
=
= −
+) Với x0 =2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y= −3(x− +2) 5 hay y= − +3x 11
+) Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: 1( )
2 1 3
y= − x+ + hay 1 1
y= − x+
Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số: 3 ( )
y= −x x+ C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C
b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O
Lời giải:
Ta có: 2
' 3 2
y = x −
a) Ta có: x0 =0⇒y0 =2 và y x'( )0 = y' 0( )= −2
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y= −2(x− +0) 2 hay y= − +2x 2
0; 0 2 0 2
là: ( 2 ) ( ) 3
y= x − x−x + −x x +
Vì tiếp tuyến đi qua O( )0; 0 nên ta có: ( 2 ) ( ) 3
0= 3x −2 0−x + −x 2x +2 3
2x 2 0 x 1
⇔ − + = ⇔ =
Với x0 =1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y=x
Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số: 4 2 ( )
3
y=x − x C Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
a) Gốc toạ độ O( )0; 0
Lời giải:
Gọi ( 4 2)
0; 0 3 0
M x x − x là toạ độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: ( 3 ) ( ) 4 2
y= x − x x−x + −x x
0= 4x −6x 0−x + −x 3x
0
0
1
x
x
=
= ±
+) Với x0 =0 phương trình tiếp tuyến là: y=0
+) Với x0 =1 phương trình tiếp tuyến là: y= −2(x− −1) 2 hay y= −2x
+) Với x0 = −1phương trình tiếp tuyến là: y=2(x+ −1) 2 hay y=2x
36 4x 6x 0 x x 3x
− = − − + −
3x 3x 36 x x 12 0
⇔ − + = − ⇔ − − = Đặt 2 ( )
t=x t≥ ta có:
( )
12 0
3
t
=
− − = ⇔
= −
Khi đó x02 = ⇔4 x0 = ±2
• Với x0 =2 phương trình tiếp tuyến là: y=20(x− +2) 4 hay y=20x−36
• Với x0 = −2phương trình tiếp tuyến là: y= −20(x+ +2) 4 hay y= −20x−36
Trang 3Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số 3 2 ( )
y= −x mx + m+ x+ , có đồ thị ( )C m Tìm m đề tiếp tuyến của ( )C m
tại điểm có hoành độ x= −1 đi qua điểm M(−2;3)
Lời giải:
Ta có: y'=3x2−4mx+ +m 2
Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm A(− − −1; 1 2m−(m+ +2) 1) hay A(− −1; 3m−2) là:
y= x − mx + +m x−x − m− ⇔ = − +y ( 3 4m m+ +2)(x+ −1) 3m−2
Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(−2;3) nên ta có: ( ) 1
2
= − − + − ⇔ = −
Với 1
2
m= − phương trình tiếp tuyến là: 7 4
2
y= − x−
Vây 1
2
m= −
Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hàm số 3 , ( )
2 1
x
x
−
= + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến
Lời giải:
Ta có: ( ) ( )2
7 '
2 1
f x
x
−
=
+
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
1 3
2
2 3
2 1
x x
x
x
−
≠
−
− + = ⇔
+ + − + = −
2
x x
x
=
=
+) Với x0 =0⇒ y0 =3⇒ f ' 0( )= −7 Phương trình tiếp tuyến là: y= −7(x− +0) 3 hay y= − +7x 3
+) Với 0 5 0 1 ' 5 4
= ⇒ = ⇒ = −
Phương trình tiếp tuyến là:
= − +
7 14
x
y=− +
b) Ta có: AB= −(1; 7)⇒nAB=( )7;1
Phương trình đường thẳng AB là: 7 x+ − =y 1 0 hay y= − +7x 1
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có: k tt = −7
0
7
x
−
= − ⇔ = − ⇔ + = ⇔ ⇔
+ = − = −
+) Với x0 =0;y0 =3;f '( )x0 = −7 Phương trình tiếp tuyến là: y= − +7x 3
+) Với x0 = −1⇒ y0 = −4; f '( )− = −1 7 Phương trình tiếp tuyến là: y= −7(x+ −1) 4 hay y= − −7x 11
Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hàm số 2 1, ( )
1
x
x
+
=
− Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến
Trang 4c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ' :d x−12y+ =3 0
Lời giải:
Ta có ( )
3 '
1
f x
x
−
=
−
1
2 1 0
2 1
1 1 1
2
x
x
x x
x
+ = = −
+ = + ⇔ ⇔
+) Với 0 1 0 0
2
= − ⇒ = − = −
Phương trình tiếp tuyến là
= − +
+) Với x0 =2⇒ y0 =5; f ' 2( )= −3 Phương trình tiếp tuyến là y= −3(x− +2) 5 hay y= − +3x 11
0 0
0 3
2 1
x
x x
=
−
= = = − ⇔ − = ⇔
=
+) Với x0 =0⇒ y0 = −1 Phương trình tiếp tuyến là: y= − −3x 1
+) Với x0 =2⇒ y0 =5 Phương trình tiếp tuyến là: y= −3(x− +2) 5 hay y= − +3x 11
12 12
12
d
Do tiếp tuyến vuông góc với 'd nên ta có: k tt = −12
Xét phương trình
0 2
0 2
0
0
1
3 4
1
2
x x
=
− = − ⇔ − = ⇔
+) Với 0 1 0 4
2
x = ⇒ y = − Phương trình tiếp tuyến là: 12 1 4
2
= − − −
hay y= −12x+2 +) Với 0 3 0 8
2
x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến là: 12 3 8
2
= − − +
hay y= −12x+26
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH] Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua 2; 1
3
−
A đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1
Bài 2: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểmA(1; 2− ) đến đồ thị hàm số 2
2 1
+
=
−
x y x
Bài 3: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểmA(0; 1− ) đến đồ thị hàm số y=x3+x2− +x 2
Đ/s: y=4x−1
Bài 4: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y=2x3− + +x2 3x 1
Đ/s: y=3x+1
Bài 5: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y= − +x3 2x+5
Đ/s: x+ − =y 7 0
Bài 6: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểm 1; 4
2
A đến đồ thị hàm số y=x4+2x2−3
Đ/s: y=8x−8
Bài 7: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểmA(1; 6− ) đến đồ thị hàm số 1
2
+
= +
x y x
Đ/s: y= − −3x 3
Bài 8: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số 2 3
2
−
=
−
x y x
Trang 5Đ/s: y= − +x 4
Bài 9: [ĐVH] Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua A(0; 4) đến đồ thị hàm số ( )2
2
= −