TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân.... Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội – Năm 2015

MỤC LỤC

3

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM 4

1.1 Định nghĩa nguyên hàm 4

1.2 Các tính chất của nguyên hàm 4

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số 5

1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 5

1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp 5

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ 6

1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần 13

1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức 16

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác 22

1.5 Bài tập tự luyện 34

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 35

2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35

2.2 Điều kiện khả tích 35

2.3 Tính chất của tích phân xác định 35

2.4 Công thức Newton – Leipnitz 36

2.5 Ứng dụng 36

2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz .36

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 39

2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay 50

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng 55

2.6 Bài tập tự luyện 58

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN KHÁC 60

3.1 Tìm giới hạn bằng tích phân 60

3.1.1 Đặt vấn đề .60

3.1.2 Một số ví dụ minh họa .60

3.2 Bất đẳng thức tích phân 63

3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân .63

4

3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng 66

3.2.3 Định lý về giá trị trung bình 74

3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức .76

3.2.5 Tìm cực trị bằng phương pháp tích phân .80

3.3 Tính tổng 84

3.3.1 Lý thuyết 84

3.3.2 Một số ví dụ minh họa .85

3.4 Bài tập tự luyện 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

1

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy

cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi

có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này

Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là

PGS TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về

nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Sinh

2

MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình

và số." Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán

học còn gọi đơn giản là Giải tích Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về

các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng

Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…

Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:

Ch ương 1: Nguyên hàm

Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2

Ch ương 2: Tích phân xác định và ứng dụng

Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong

3

việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy

Ch ương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

αα

• Định lý tổng quát về phân tích đa thức

Mọi đa thức Q x( )≠ 0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0, tức là ta có

t a

= +

Cách 1 ( Phương pháp lượng giác)

a a

t a

= +

1 111

Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt)

Thay x= 0 vào ( )* suy ra: 2A= ⇒ 3 A= 3 / 2

Thay x= 1 vào ( )* suy ra: 3B= − ⇒ 6 B= − 2 Thay x= − 2 vào ( )* suy ra: 6C = 15⇒C= 5 / 2

Thay x= 1 vào ( )* suy ra: − 6A= ⇒ 3 A= − 1/ 2

Thay x= 2 vào ( )* suy ra: 12B= 10⇒B= 5 / 6 Thay x= − 1 vào ( )* suy ra: 6C = ⇒ 1 C= 1/ 6

Thay x= − 2 vào ( )* suy ra: − 12D= − ⇒ 6 D= 1/ 2

Thay x= 1 vào ( )* suy ra: 3A= ⇒ 9 A= 3

Thay x= − 2 vào ( )* suy ra: 9C= ⇒ 9 C= 1 Thay x= 0 vào ( )* suy ra: 3 2 = A− 2B C+ ⇒B= 2

2

2 3

t x

= +

Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác

nhau

Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong

nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm)

Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên

hàm ∫vdu đơn giản hơn nguyên hàm ∫udv

3 2 3 2 2

3 2 3 2

6∫t d sint = 6 sint t− 6 sin∫ td t = 6 sint t− 12 sin∫t tdt= 6 sint t+ 12∫td cost

= 6 sint2 t+ 12 cost t− 12 cos∫ tdt= 6 sint2 t+ 12 cost t− 12sint+c

+

Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các mẫu số q1, ,q j Khi đó ta có:

q k q k

αα

c Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa

Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường

Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số

∫

2 4 2 2

I dx dt t dt t t dt

t x

Đặt t= 6 x⇒ =x t6 ⇒dx=6t dt5

dx I

tdt t tdt I

2

2 2 2 2 2

cos cos

a tdt a

t t a t t dt I

x dx I

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác

a Các công thức nguyên hàm hàm lượng giác

1cotsin

dx

ax b c

ax b = −a + + +

sin 1 sin x s inx

p m

+ Nếu m lẻ (m= 2p+ 1), n chẵn thì biến đổi:

(s inx)2p 1(cos )n (1 cos x 2 )p(cos )nsin

+ Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn

Trường hợp 2: m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u= s inx ta có (s inx) (cos ) (1 u 2)21

1 2 2 2

k

k k

7 6

Tính I =∫cos 2 cos 5 x cos 9 x dxx

Xét tích phân dạng I=∫R sin , cos( x x dx).

Đổi biến số tổng quát

=

+ +

2 / 5

A B C

e Các dạng nguyên hàm lượng giác sử dụng các phép biến đổi nâng cao Dạng 1 Nguyên hàm liên kết

x x

=

+

∫

trên đoạn [a b; ] Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch π, số khoảng chia n

và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξk

f ξ

∆ →

=

∆

xác định của hàm số f x( ) trên đoạn [a b; ] và kí hiệu là: ( )

b a

• Định lý 1 Nếu f x( ) liên tục trên [a b; ] thì nó khả tích trên đoạn [a b; ]

• Định lý 2 Nếu f x( ), g x( ) liên tục trên [a b; ] và f x( )≤g x( ), ∀ ∈x [a b; ] thì

• Công thức đổi biến số

Cho y= f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] và hàm x=ϕ( )t khả vi, liên tục trên đoạn

I=∫x dx

Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau

Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện ứng dụng ưu

việt của công thức trong việc tính tích phân xác định

0 0

sin 2

b a tdt I

b a t t

π π

Ví dụ 2.1.7 ([4])

Tính

/2

2 2 0

Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số

đó (Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của tích phân cần tìm

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= f x( )

Lý thuyết

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong

- Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

S =∫ f x dx

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

- Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

1 2

: : ,

S=∫ f x −g x dx

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín

- Bài toán 1 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ( ) ( )

1 2

: :

: : :

1 2

u x

du dx x

dv dx

v x x

Ví dụ 2.2.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2002, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

Giải + Giải phương trình

Ví dụ 2.2.5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 − 2y+ =x 0, x +y= 0

+ Tung độ giao điểm là nghiện của phương

x y

Ví dụ 2.2.8 ([5])

x 0 8

x x y

x x y

2 4

2 2 4 2 3 3 32

S =∫ f x dx ta thay thế y= f x( ) bởi y=ψ( )t ,

dx được thay thế bởi ϕ'( )t dt, còn 2 cận a, b được thay thế bởi α β, lần lượt là nghiệm của a=ϕ( )t ; b =ϕ( )t Khi đó:S ( ) ( )t ' t dt

β α

Xét phần diện tích của ( )E nằm trong góc

phần tư thứ nhất trên mặt phẳng (Oxy)

2 0

cos

0

2 sin

/2 /2

4 6 0

S S b t a t t dt

ab t t dt

π π

S1

gọi là trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ Cực Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi véc tơ OM

(r,ϕ được gọi là tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng Bằng cách xây dựng )

này ta có một song ánh giữa tập tích Đề các [0, 2π] [× 0, +∞) và các điểm trong mặt phẳng tọa độ Cực, tức là: Mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp số thứ tự (r,ϕ) (riêng điểm O thì r= 0, còn ϕ tùy ý; và mỗi cặp số thứ tự (r,ϕ)

ứng với một điểm M của mặt phẳng

• Quan hệ giữa tọa độ Đềcác và tọa độ Cực của cùng một điểm M

Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia

2

π

Gọi (x y, ) và (r,ϕ lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ )

x

ϕ= ≤ϕ≤ π nên ta sẽ lấy góc ϕ cùng dấu với y

vì y=rsinϕ)

• Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực

Cho hàm số r= f( )ϕ ,0 ≤ϕ≤ 2 ,π r≥ 0, đồ thị hàm số này trong hệ tọa độ Cực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và phương trình

( )

r= f ϕ được gọi là phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực

• Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực

Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: ϕ α ϕ= , =β

và đường r= f( )ϕ là 1 2( )

2

S r d

β α

S1

0 0 /4

0 0 /6

/2 /2

2

2 2 /4 2 /4

/2 /2

0 /9

S1 a

/9 /9

1 2

: : :

0

C y f x

C y g x S

: :

:

C y f x S

f b y

: : :

: y : y

C y f x

C y g x S

f a

V π f− y  g− y  dy

• V y sinh bởi diện tích đường cong bậc 2 f x y( , )= 0 quay xung quanh Oy

+ Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y( , )= 0 thành: ( ) ( )

C y

x S

( ) 2 2

a.Tính V x khi S quay quanh Ox

b.Tính V y khi S quay quanh Oy

Giải

x y

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng

a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng

• Độ dài của đường cong có phương trình y= f x( ) trong hệ tọa độ Đềcác

Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y= f x a( ), ≤ ≤x b là

1 '( ) 2

b a

• Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ Cực

Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực

r=r( )ϕ ,y= y t( ),α ϕ≤ ≤β

thì độ dài đường cong L là L r( ) 2 r'( ) 2d

β α

b b

a d a a

π π

I =∫x dx

4 Tính ( )

1 0

sin

x dx I

3 ln 1

x

I dx x

+

= +

(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối B)

13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a Tính V x khi S quay quanh Ox

b Tính V y khi S quay quanh Oy

16 Cho S là diện tích của ( ) ( )

a Tính V x khi S quay quanh Ox

b Tính V y khi S quay quanh Oy

17 Tính độ dài đường cong x 0( )

y=e ≤ ≤x a

18 Tính độ dài đường cong

x=a(cost+tsin ; t) y=a(sint−tcos 0t) ( ≤ ≤t 2π)

19 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y= 0; y= ln ; x x=e

Tính thể tích của vật tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox

(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2007, khối B)

Giả sử f x( ) liên tục trên [a b; ], khi đó với mọi phép phân hoạch π của đoạn [a b; ]

và mọi cách chọn các điểm ξi∈[x i−1 ;x i],(i= 1,n); Đặt max1 ( i i1)

phân xác định theo các bước sau đây:

Bước 1 Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức

1

.

n n

f x dx

b n n

a

S f x dx

→+∞ =∫

Đặc biệt Nếu a= 0;b= 1 thì các bước trên trở thành các bước sau:

Bước 1 Biến đổi

f x dx

1 0

Xét hàm số f x( )=x liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia đoạn

[ ]0;1 bởi các điểm chia x i i;i 0,n

[ ]0;1 bởi các điểm chia x i i;i 0,n

1 1 0

1 1

f x =x liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia đoạn

[ ]0;1 bởi các điểm chia x i i;i 0,n

liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia

đoạn [ ]0;1 bởi các điểm chia x i i;i 0,n

Xét hàm số f x( )= sinπx liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia đoạn

[ ]0;1 bởi các điểm chia x i i;i 0,n

3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân

a Các định lý và tính chất cơ bản của bất đẳng thức tích phân:

Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định: “Nếu hàm số y= f x( ) liên tục và không âm trên [a b; ] thì ( )

b a

Nếu f x( ) là hàm số liên tục trên [a b; ] ,m≤ f x( )≤M, ∀ ∈x [a b; ] và f x( )

không đồng nhất với m hoặc M trên [a b; ] thì

( ) ( ) ( )

b a

dx x

4 1

ln 2

4 1

• Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz

Cho hai hàm số f g, liên tục trên [a b; ] Chứng minh rằng:

x= y − = y − trên khoảng (0; +∞) Đường thẳng x=a và y=b cắt đồ thị

y=x − tại các điểm M, N Gọi S1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường { 0; ; p1}

0

N

+ Khả năng thứ nhất

b

p a

f x dx=

∫ thì do f x( )p ≥ 0, ∀ ∈x [a b; ] nên suy ra

b a

f x dx>

b q a

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Gọi q> 1 sao cho 1 1 1

p+q = , sử dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm số liên tục f x( ) và f x( )+g x( )p−1 ta có

Cho hai hàm số f x( ) ( ),g x liên tục và đơn điệu trên [a b; ]

1 Chứng minh rằng: Nếu f x( ) ( ),g x là hai hàm cùng đồng biến hoặc là hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:

3 2

1 0

Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a b; ] và m≤ f x( )≤M, ∀ ∈x [a b; ] thì tồn tại ít

b a

f x dx=µ b a−

Hệ quả Nếu f là một hàm số liên tục trên đoạn [a b; ] thì tồn tại ít nhất một

b a

m≤ f x ≤M ∀ ∈x a b và g x( ) không đổi dấu trên [a b; ]

2 0

cos

x

c c

e x dx e x dx e e x dx

e e x dx

π π

π π

c c

e e π

2 2 0

−

( )d tại M luôn nằm dưới đồ thị ( )C Giả sử tiếp tuyến ( )d cắt đường thẳng

A

Q F M P E

x y

1 1

1

y x

Xét hàm số g t( )=arccot 0t ( ≤ ≤t y) Ta có '( ) cot 12 0

1

1

y x

x

xy arc x arc y y

+

+

0 0

1

x t

a Công thức tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân

+ Cho cấp số cộng ( )u n có số hạng đầu u1 và công sai d

u q S