TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội – Năm 2015

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy

cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi

có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này.

Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là

PGS TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về

nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện

tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình.

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Sinh

MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình

và số." Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Môn Toán

được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán

học còn gọi đơn giản là Giải tích Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về

các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản

của giải tích là "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng.

Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng…

Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân.

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Nguyên hàm

Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2.

Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng

Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy.

Chương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

a Giả sử hàm y= f x( ) liên tục trên khoảng ( )a;b Khi đó hàm số y F x= ( ) được

gọi là một nguyên hàm của hàm số y= f x( ) khi và chỉ khi

F x'( ) = f x( ),∀ ∈x ( )a b; .

b Nếu y F x= ( ) là một nguyên hàm của hàm số y= f x( )thì tập hợp tất cả các

nguyên hàm của hàm số y= f x( ) là tập I ={F x( ) +c c R, ∈ } và tập này còn

được ký hiệu là: I =∫ f x dx F x( ) = ( )+c

Ví dụ: adx d ax b= ( + ); ( ) 1 ( 2 )

22

1 tan tan tan

• Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ ( )

( )

P x

Q x với degP x( ) <degQ x( ) .

thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0, tức là ta có

dt J

=+

Cách 1 ( Phương pháp lượng giác)

a a

=+

Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt)

Thay x= 0 vào ( )* suy ra: 2A= ⇒ = 3 A 3 / 2

Thay x= 1 vào ( )* suy ra: 3B= − ⇒ = − 6 B 2

Thay x= − 2 vào ( )* suy ra: 6C= ⇒ = 15 C 5 / 2

Thay x=1 vào ( )* suy ra: −6A= ⇒ = −3 A 1/ 2

Thay x=2 vào ( )* suy ra: 12B=10⇒ =B 5 / 6

Thay x= −1 vào ( )* suy ra: 6C= ⇒ =1 C 1/ 6

Thay x= −2 vào ( )* suy ra: −12D= − ⇒ =6 D 1/ 2

Thay x= 1 vào ( )* suy ra: 3A= ⇒ = 9 A 3

Thay x= − 2 vào ( )* suy ra: 9C= ⇒ = 9 C 1

Thay x= 0 vào ( )* suy ra: 3 2 = A− 2B C+ ⇒ =B 2

2

2 3

Giả sử u u x v v x= ( ); = ( ) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:

Ý nghĩa: Đưa 1 nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong

nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu nguyên hàm)

Chú ý: Cần chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời nguyên

hàm ∫vdu đơn giản hơn nguyên hàm ∫udv

sinx 3 cos 6 cos sinx 3 cos 6 sinx

= sinx 3 cos 6 sin sin x sin

biểu thị bởi m, n Khi đó đặt x t= k

a bx

t x

b. Nguyên hàm dạng

1 1

, , ,

j j

r r q q

r r

αα

Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các số {n, ,s} Đặt t u= k

c Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa

Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường

Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số

t x

−

+

sin / cos sin

=

1cos cos

tan tan arccos arccos

t c

+

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác

a Các công thức nguyên hàm hàm lượng giác

sin 1 sin x sinx

p m

=∫ 1 cos x− p cosx n d cosx

+ Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi cho số lẻ bé hơn

Trường hợp 2: m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u=sinx ta có

+ +

Dạng 5 Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1sin 3 2sin 3x sin 3 sin 33

=∫tan6 x−tan4 x+tan2x−tan0x+1 d tan ( x)+∫dx

Tính I =∫cos 2 cos5 x.cos9 x.dxx

cos 2 cos5 x.cos9 x.dx 1 cos 2 cos14[ cos 4 ]

Xét tích phân dạng I =∫R sin ,cos ( x x dx)

Đổi biến số tổng quát

+ Nếu R sin ,cos( x x)là hàm lẻ theo sin: R(−sin ,cosx x)= −R sin , cos( x x) thì cần

biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t=cosx

+ Nếu R sin ,cos( x x)là hàm lẻ theo cos: R sin , cos( x − x) = −R sin , cos( x x) thì

cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t=sinx

+ Nếu R sin ,cos( x x)thỏa mãn điều kiện: R(−sin , cosx − x) =R sin , cos( x x) thì

cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t=tanx

+ −

=

++

Ví dụ 1.5.14 ([4])

sin 2cos sin 1

sin 2 2sin cos

2 / 5

A B C

2

2 2

Tính 4 3 5

sin cos

dx I

x dx A

x dx A

d cos sincos sin

Ví dụ 1.5.20 ([4])

sin 7sin 3cos

x dx A

m sin cos m sin cos

( )

4sin 2 7 cos 2 1 4sin 2 7 cos 2 1 4sin 7 cos

25sin 2 3cos 2 2 5sin 2 3cos 2 2 5sin 3cos

68 5sin 3cos 68 5sin 3cos 68 68 5sin 3cos

5 sin 2cos 3 5 sin 2cos 3 5 sin 2cos 3

x d dx

Khi đó ( )2 ( )2

4 tan 6 tan 4cos 6 tan 4 4 tan

x d dx

Giả sử hàm số y= f x( ) xác định và bị chặn trên đoạn [ ]a b; Xét một phân hoạch π

bất kì của đoạn [ ]a b; , tức là chia đoạn [ ]a b; thành n phần tùy ý bởi các điểm chia :

trên đoạn [ ]a b; Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch π, số khoảng chia n

và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξk.

Nếu tồn tại max 0 ( )

xác định của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b; và kí hiệu là: b ( )

• Định lý 1 Nếu f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì nó khả tích trên đoạn [ ]a b;

• Định lý 2 Nếu f x( ) , g x( ) liên tục trên [ ]a b; và f x( ) ≤g x( ),∀ ∈x [ ]a b; thì

• Công thức đổi biến số

Cho y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; và hàm x=ϕ( )t khả vi, liên tục trên đoạn

Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau

Xét hàm số f x( ) =x2 xác định trên đoạn [ ]0;1 Ta chia đoạn [ ]0;1 thành n

Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện ứng dụng ưu

việt của công thức trong việc tính tích phân xác định

1

0 0

Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số

đó (Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả

của tích phân cần tìm

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= f x( )

Lý thuyết

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong

- Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

( ): ( ): 0,

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

- Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

1 2

::,

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín

1 2

::

- Bài toán 2 Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

1 2 3

:::

x y

12

-1 1 2

x y

Bón g 1 x(t )=3, y (t)=t f(x )=x^2-3 x+2 Bón g 2 f(x )=x-1 Bón g 3 f(x )=x^2-3 x+2 f(x )=x-1

2

x y

Ví dụ 2.2.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2002, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

y= x −4x+3 ,y x= +3

Giải+ Giải phương trình

Ví dụ 2.2.5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, năm 2007, Khối A)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y= +e 1 ,x y= +1 e x x

Giải+ Giải phương trình hoành độ giao điểm

.+ Khi đó

f(x)=x^2+(3*2^-1)*x-3*2^-1 f(x)=x

f(x)=-x Tập hợp 1 Tập hợp 2 f(x)=x^2+(3/2*x)-3/2 Bóng 1 f(x)=x^2+(3/2*x)-3/2 Bóng 2

x y

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2−2y x+ =0, x+ =y 0

+ Tung độ giao điểm là nghiện của phương

-1

123

x y

x

x y

dx được thay thế bởi ϕ' t dt( ) , còn 2 cận a, b được thay thế bởi α β, lần lượt là

nghiệm của a=ϕ( )t ; b=ϕ( )t Khi đó:S ( ) ( )t ' t dt

β α

ψ ϕ

• Nếu đường cong ( )C có phương trình tham số ( )

Xét phần diện tích của ( )E nằm trong góc

phần tư thứ nhất trên mặt phẳng (Oxy)

Đổi cận ta có: 0a a=acoscost t t t=π0/ 2

-1 1 2 3 4 5 6

x y

Ví dụ 2.3.3 ([4])

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Astroide

3 3

cos 0

2sin

góc cực và r được gọi là bán kính cực Góc ϕ là một góc định hướng lấy giá trị

dương nếu chiều quay OPuuur đến trùng với OMuuuur ngược chiều kim đồng hồ và lấy giá trị âm nếu cùng kim đồng hồ Nếu 0≤ ≤ϕ 2 , π r≥0 thì cặp số có thứ tự ( )r,ϕ được gọi là tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng Bằng cách xây dựng

này ta có một song ánh giữa tập tích Đề các [0, 2π × +∞] [0, ) và các điểm trong

mặt phẳng tọa độ Cực, tức là: Mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp số thứ tự ( )r,ϕ (riêng điểm O thì r =0, còn ϕ tùy ý; và mỗi cặp số thứ tự ( )r,ϕ

ứng với một điểm M của mặt phẳng

• Quan hệ giữa tọa độ Đềcác và tọa độ Cực của cùng một điểm M

Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia

2

π

ϕ = Gọi (x y, ) và ( )r,ϕ lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ

x

vì y r= sinϕ).

• Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực

Cho hàm số r = f ( )ϕ ,0≤ ≤ϕ 2 ,π r≥0, đồ thị hàm số này trong hệ tọa độ

Cực được gọi là đường cong trong hệ tọa độ Cực và phương trình r= f ( )ϕ

được gọi là phương trình đường cong trong hệ tọa độ Cực

• Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực

Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: ϕ α ϕ β= , =

2

β α

x y

/2 /2

S1 a

/9 /9

:::

::

+ Bước 2 Xác định cận x a x b= ; = Khi đó 2( ) 2( )

b x a

( )

( )

2 1

f b y

1

2 1

2

:::

: y: y

f a

• V y sinh bởi diện tích đường cong bậc 2 f x y( , ) =0 quay xung quanh Oy

Xét ( )C ∩Ox xe: x = ⇔ =0 x 0.

( ) ( )

: sin: 0:

: 0:

Ox y S

S Ox y x

x y

1: x 1; 0; 0

x S

1

1

x y

1 1/2

a.Tính V x khi S quay quanh Ox

b.Tính V y khi S quay quanh Oy

( ) ( )

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng

a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng

Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục) y= f x a x b( ), ≤ ≤ là

Nếu đường cong có phương trình tham số x x t y= ( ), = y t( ),α ≤ ≤x β ứng với

β α

=∫   + 

Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực

b b

2 2 1

ex

/2

3 0

sin sin cos

x dx I

3 ln1

(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối B)

13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

b Tính V y khi S quay quanh Oy

16 Cho S là diện tích của ( ) (: 4)2 2 1

+ =

17 Tính độ dài đường cong x 0( )

18 Tính độ dài đường cong

x a= (cost t+ sin ; t) y a= (sint t− cos 0t) ( ≤ ≤t 2π).

19 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y=0; y=ln ; x x e=

Tính thể tích của vật tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox

(Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2007, khối B)

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN KHÁC.

Giả sử f x( ) liên tục trên [ ]a b; , khi đó với mọi phép phân hoạch π của đoạn [ ]a b;

và mọi cách chọn các điểm ξi∈[x i−1;x i],(i=1,n); Đặt max1 ( i i 1)

i i i d

phân xác định theo các bước sau đây:

Bước 1 Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức

1

n n

a

→+∞ =∫

Đặc biệt Nếu a=0;b=1 thì các bước trên trở thành các bước sau:

Bước 1 Biến đổi

1

n n

f x

x

=+ liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia

đoạn [ ]0;1 bởi các điểm chia x i i ;i 0,n

− liên tục trên [ ]0;1 nên khả tích trên [ ]0;1 Chia

đoạn [ ]0;1 bởi các điểm chia x i i ;i 0,n

3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân.

a Các định lý và tính chất cơ bản của bất đẳng thức tích phân:

không âm trên [ ]a b; thì b ( )

Nếu f x( ) là hàm số liên tục trên [ ]a b; ,m≤ f x( ) ≤M,∀ ∈x [ ]a b; và f x( )

không đồng nhất với m hoặc M trên [ ]a b; thì

16 5 3cos 10

dx x

• Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz.

Cho hai hàm số f g, liên tục trên [ ]a b; Chứng minh rằng:

y x= − liên tục và đồng biến trên (0;+∞) nên nó có hàm số ngược

là x= y p1− 1 = y q− 1 trên khoảng (0;+∞) Đường thẳng x a= và y b= cắt đồ thị

y x= − tại các điểm M, N Gọi S1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường {y=0;x a y x= ; = p− 1}

Gọi S2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường {x=0; y=b y x; = p− 1}

Gọi S là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường {x=0;x a= ; y 0;= y b= }

0

x (t )=t , y (t )=2 f(x )=x^(3/2 )

q a

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Gọi q>1 sao cho 1 1 1

Cho hai hàm số f x g x( ) ( ), liên tục và đơn điệu trên [ ]a b;

1 Chứng minh rằng: Nếu f x g x( ) ( ), là hai hàm cùng đồng biến hoặc là hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:

Nếu hàm f khả tích trên đoạn [ ]a b; và m≤ f x( ) ≤M,∀ ∈x [ ]a b; thì tồn tại ít

a

Hệ quả Nếu f là một hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b; thì tồn tại ít nhất một

m≤ f x ≤M ∀ ∈x a b và g x( ) không đổi dấu trên [ ]a b;

+

+

2 0

cos

x

c c

π π

π π

02

c c

= ⇒ = > ∀ > ⇒ = là hàm lõm ∀ >x 0 nên tiếp tuyến

( )d tại M luôn nằm dưới đồ thị ( )C Giả sử tiếp tuyến ( )d cắt đường thẳng

x y

A

Q F M P E

−

a Công thức tính tổng của cấp số cộng, cấp số nhân.

+ Cho cấp số cộng ( )u n có số hạng đầu u1 và công sai d

2 0

t

t ≥ ∀ ≥+

x dx

KẾT LUẬN

Nội dung luận văn “ Tích phân và ứng dụng” bao gồm các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và một số ứng dụng của tích phân xác

định Luận văn đã đạt được một số kết quả:

1 Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp từng dạng tính nguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định bằng công thức

Newton – Leipnitz.

2 Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bài toán thực tế và giải một số dạng toán phổ thông như tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp

12 ban cơ bản và ban nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.