PHƯƠNG PHÁP THAY GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆTVí dụ 1: Tìm hàm f biết : f(x + y) + f(x – y) = 2f(x).cosy , x, y RGiải : Chọn x = 0, y = t ta được : f(t) + f(t) = 2f(0).cost(1)Chọn : x = , y = , ta có : f( + t) + f(t) = 2 = Chọn : x = , ta có :f( + t) + f(t) = 0 (3)Lấy (1) – (2) + (3) , ta được : 2f(t) = 2f(0).cost + 2 f(t) = f(0).cost +
Trang 1§1 NGUYÊN HÀM
Số tiết : 2LT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Khái niệm :
• Cho hàm số f xác ñịnh trên K, ở ñó K là một khoảng, một ñoạn hay một nửa khoảng Hàm số
F ñược gọi là nguyên hàm của f trên K nếu : F/(x) = f(x) với mọi x thuộc K
• Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì với mọi C∈R hàm số y = F(x) + C cũng là một
nguyên hàm của f
• Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K ñược kí hiệu là : ∫ f x dx( )
Vậy : ∫ f x dx( ) = F(x) + C và ( )/
f x dx = f x
còn ñược dùng ñể chỉ một nguyên hàm bất kì của f
2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
1) 0dx∫ = C ; dx∫ = x + C
2) x dx x
1
α + 1
α +
∫ + C ( α ≠ − 1)
3) dx ln x
x =
∫ + C (x ≠ 0)
4) Với k là hằng số khác 0, ta có :
a)
kx
kx e
k
∫ b)
x
a dx
ln a
=
∫ + C (0 < a ≠ 1) c) ∫cos kxdx = sinkx
k + C d)∫sin kxdx = − coskx
5) a) dx2
cos x
∫ = tgx + C b) dx2
sin x
3 Tính chất :
a) ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
b) ∫a.f(x)dx = a∫f(x)dx + C (a ≠ 0)
B MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1) ∫4x4dx = 4/5.x5 + C 2) ∫(x3 + 2x2 – 4)dx = x4/4 + 2/3.x3 – 4x + C
3) ∫(x – 1)(x4 + 3x)dx = ∫(x5 – x4 + 3x2 – 3x)dx
= x6/6 – x5/5 + x3 – 3/2.x2 + C
6)
sin 2
1
2
x
4
Trang 28) 2 1 cos 2 sin 2
cos
C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) x3 + x2/4 + C b) x4/2 – 5/2.x2 + 7x + C c) −1/x – x3/3 – x/3 + C
d)
1
1
3
3 2
3
1
3
x
− +
− +
e)
2
2 ln10 ln10
C
2 Tìm :
a)
4 3
3 2
3x +4x +C b) 2
x
− + c) 2x – sin2x + C d) sin 4
C
3 Chọn (C)
4 Khẳng ñịnh sau ñúng hay sai ?
Nếu f(x) = (1 − x ) / thì ∫f(x)dx = − x + C
f x dx= − x dx = − x+ = −C x+C
§2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Số tiết : 2LT + 1BT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Phương pháp ñổi biến số :
[ ( )] '( ) [ ( )]
f u x u x dx =F u x +C
∫
Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f
2 Công thức nguyên hàm từng phần :
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
u x v x dx=u x v x − v x u x dx
B MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm :
3 2
2 4
x dx
x +
∫
Giải:
1) ðặt u = 2x + 1 ⇒ du = u’.dx = 2dx ⇒ dx = du/2, ta ñược :
2) ðặt u = x2 + 4 ⇒ du = 2x.dx (không nên suy ngược lại), ta ñược :
1 1
2
3
3 2
3
u x
− +
−
3) ðặt u = 7x + 5 ⇒ du = 7dx ⇒ dx = du/7, ta ñược :
Trang 31 1
du
4) đặt u = sinx ⇒ du = cosxdx, ta ựược :
e xdx = e du=e =e +C
* Trình bày cho học sinh cách lấy nguyên hàm trực tiếp
Vắ dụ 2: Tìm :
3
x
x
e dx
∫
Giải:
1) đặt
⇒∫xcosxdx =xsinx−∫sin xdx =xsinx+cosx C+
2) đặt
1 ln
x
x
dv dx
v
⇒
=
⇒ ln∫ xdx =xlnx−∫dx =xlnx− +x C
2
2
x x
du dx
e
=
⇒
⇒
C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
5 Dùng phương pháp ựổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : đáp số
a)
1
3 2
c)
5
2 4
2
1
C x
+
6 Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau : đáp số
4ln(2 ) 4
C
LUYỆN TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
7 a) đặt u = 7 Ờ 3x2 KQ :
3
2 2
1 (7 3 )
b) đặt u = 3x + 4 KQ : 1/3.sin(3x + 4) + C
c) đặt u = 3x + 2 KQ : 1/3.tan(3x + 2) + C
d) đặt u = sin(x/3) KQ : 1 6
sin
x C
+
8 a) đặt u =
3
1 18
x
− KQ :
6 3
1 18
x
C
Trang 4b) ðặt u = sin 1
x
KQ :
2
sin
− +
c) ðặt
3
⇒
x
e x − x + x− +C (từng phần 3 lần)
3
x− e − −e − +C
9 a) ðặt
sin 2 os2
2
du xdx
u x
x
=
⇒
2
2
1 ln
2 3
=
=
⇒
=
KQ :
ln
3x x−9x +C
c) ðặt u = sinx KQ :
5
sin 5
x C
+
d) ðặt u = x2 KQ :
2
sin 2
x C
+
§3 TÍCH PHÂN
Số tiết : 2LT + 1BT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Khái niệm :
Tích phân của hàm số f từ a ñến b (a, b ∈ K) là :
b
a
a f x dx=F x =F b −F a = f x dx a
Trong ñó F là một nguyên hàm bất kì của f trên K
Chú ý : ðối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x
ðị nh lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên ñoạn [a ; b] Khi ñó diện tích S của hình thang
cong giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai ñt x = a, x = b là :
S = b ( )
a f x dx
∫
2 Tính chất của tích phân :
1) a
af (x)dx
a f (x)dx= − bf (x)dx
a k.f (x)dx=k af (x)dx
∫ ∫ 4) b c b
a f (x)dx= af (x)dx+ cf (x)dx
a[f(x)±g(x)]dx= af (x)dx± a g(x)dx
B MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
1)
5 5
3
4 2
4 2
2
1
2
x
x
∫
Trang 53) Tìm b nếu biết rằng : 2 2
0
4
b
b
=
=
∫
Ví dụ 2: Cho 3
1 f x dx( ) = −2
1 g x dx( ) =3
1[3 ( )f x −g x dx( )]
1[5 4 ( )]− f x dx
∫
Giải:
1[3 ( )f x −g x dx( )] =3 1 f x dx( ) − 1 g x dx( ) = − − = −3( 2) 3 9
1[5 4 ( )]− f x dx= 1 5dx−4 1 f x dx( ) =10 4( 2) 18− − =
C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
10 Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau :
a) 4
2
x
dx
−
+
1x dx
−
∫
Giải:
a) Tích phân ñó bằng diện tích hình thang ABCD Diện tích ñó là :
h
b) Tích phân ñó bằng tổng diện tích hai tam giác vuông OAB và OCD
2 +2 = + =2 2
c) Tích phân ñó bằng nửa diện tích ñường tròn :
x2 + y2 = 9, có bán kính bằng 3 Diện tích nửa hình
tròn là :
S = 1
2πR2 = 4,5π
1 f x dx( ) = −4 ; 1 f x dx( ) =6 ; 1 g x dx( ) =8
a) 5
2 f x dx( )
1 3 ( )f x dx
∫
c) 5
1[ ( )f x −g x dx( )]
1[4 ( )f x −g x dx( )]
∫
Giải:
2 f x dx( ) = 2 f x dx( ) + 1 f x dx( ) = − 1 f x dx( ) + 1 f x dx( ) = − − + =( 4) 6 10
b) 2
1 3 ( )f x dx=3.( 4)− = −12
∫
Trang 6c) 5
1[ ( )f x −g x dx( )] = − = −6 8 2
∫
d) 5
1[4 ( )f x −g x dx( )] =4.6 8 16− =
∫
0 f(z)dz = 3 ; 0 (x)dx = 7
3 f t dt( )
Giải:
3 f t dt( ) = 3 f t dt( ) + 0 f t dt( ) = 3 f z dz( ) + 0 f x dx( ) = − + =3 7 4
13 a) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ 0 trên [a ; b] thì b ( )
a f x dx
b) Chứng minh rằng nếu f(x) ≥ g(x) trên [a ; b] thì b ( )
a f x dx
a g x dx
Giải:
a) Theo ñịnh lí 1 b ( )
a f x dx
∫ là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi ñths y = f(x), trục hoành
và hai ñt x = a, x = b
b) ðặt h(x) = f(x) – g(x) ≥ 0 trên [a ; b], theo a) ta ñược : b ( )
a h x dx
a f x −g x dx
14 a) Một vật chuyển ñộng với vận tốc v(t) = 1 – 2sin2t (m/s) Tính quãng ñường mà vật di chuyển
trong khoảng thời gian từ thời ñiểm t = 0 (s) ñến thời ñiểm t = 3π/4 (s)
b) Một vật chuyển ñộng chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t (m/s) Tính quãng ñường mà vật di chuyển ñược từ thời ñiểm t = 0 ñến thời ñiểm mà vật dừng lại
Giải:
a) Quảng ñường là S =
0 0
3
4
t dt t c t
∫
b) Khi vật dừng lại thì v(t) = 0 ⇒ t = 16 Khi ñó S = 16
0 (160 10 )− t dt=1280
15 Một vật ñang chuyển ñộng với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t 2 (m/s 2 ) Tính quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt ñầu tăng tốc
Giải:
Gọi v(t) là vận tốc của vật thì v’(t) = a(t) = 3t + t2 ⇒ v(t) =
3 2
3
t
t + +C Vì v(0) = 10 nên suy ra C = 10 Vậy v(t) =
3 2
3
10
t
t + +
Quãng ñường vật ñi ñược là : S =
10 0
10
dt
16 Một viên ñạn ñược bắn lên theo phương thẳng ñứng với vận tốc ban ñầu 25m/s Gia tốc trọng
trường là 9,8m/s 2
a) Sau bao lâu viên ñạn ñạt tới ñộ cao lớn nhất
b) Tính quãng ñường viên ñạn ñi ñược từ lúc bắn lên cho ñến khi chạm ñất (tính chính xác ñến hàng phần trăm)
Giải:
a) Gọi v(t) là vận tốc của vật, khi ñó v’(t) = a(t) = −9,8 ⇒ v(t) = −9,8t + C Vì v(0) = 25 nên
suy ra C = 25 Vậy v(t) = −9,8t + 25
Gọi T là thời ñiểm viên ñạn ñạt ñộ cao lớn nhất, tại ñó viên ñạn có vận tốc bằng 0 ⇒ v(T) = 0
Trang 7⇒ T = 25 2,55
Quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho tới thời ñiểm T = 2,55 (s) là :
S = T
0 ( 9,8− t+25)dt≈31,89
Vạy quãng ñường viên ñạn ñi ñược cho ñến khi rơi xuống ñất là 2S ≈ 63,78 (m)
§4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Số tiết : 2LT + 1BT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Phương pháp ñổi biến số :
( )
a f u x u x dx= u a f u du
Dạng 1: Ta cần tính b ( )
a g x dx
Nếu ta viết ñược g(x) dưới dạng f[u(x)].u’(x) thì ta ñược (1) (ñặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx)
ðổi cận : x = a ⇒ u(a) ; x = b ⇒ u(b) Chuyển về tính tích phân mới ñơn giản hơn
Dạng 2: Ta cần tính β f x dx( )
α
ðặt : x = x(t) (t∈K) ⇒ dx = x’(t)dt
ðổi cận : α = x(a) ; β = x(b), ta ñược : ( ) b [ ( )] '( )
a
f x dx f x t x t dt
β
2 Phương pháp tích phân từng phần :
Ta cần tính tích phân dạng : b ( ) '( )
a u x v x dx
∫
dv v x dx v v x
Khi ñó : b ( ) '( ) ( ) ( )b b ( ) '( )
a
a u x v x dx =u x v x − a v x u x dx
B MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
1) I = 2 2
1
x
xe dx
0 1−x dx
∫
Giải:
1) ðặt u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du/2
ðổi cận : x = 1 ⇒ u = 1 ; x = 2 ⇒ u = 4
⇒ I =
4
1
u
2) ðặt x = sint ⇒ dx = costdt ðổi cận : x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = π/2
0
π
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau :
1) K = 1
0
x
xe dx
1 xlnxdx
∫
Trang 8Giải:
⇒
0 0
x e −∫ e dx = − − =e e
b) ðặt
2
1 ln
2
v
=
⇒
=
⇒ L =
1
3
C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
17 a) ðặt u = x + 1 (hoặc u = x+1) KQ: 2
(2 2 1)
b) ðặt u = tanx KQ: ½
c) ðặt u = 1 + t4 KQ: 15/16
d) ðặt u = x2 = 4 KQ: 1/8
e) ðặt u = x2 + 1 (hoặc x2+1).KQ : 4
f) ðặt u = 1 – cos3x KQ: 1/6
ln 2
c) KQ: 1
2
eπ
+
2
π −
LUYỆN TẬP
20 a) KQ:
5 4
21 Chọn (B) ðặt u = 2x
22 Chứng minh rằng :
0 f x dx( ) = 0 f(1−x dx)
1f x dx( ) 0[ ( )f x f( x dx)]
Giải:
a) ðặt u = 1 – x ⇒ du = −dx
x = 0 ⇒ u = 1 ; x = 1 ⇒ u = 0, ta ñược :
0 f(1−x dx) = 1 f u( )(−du)= 0 f u du( ) = 0 f x dx( )
1f x dx( ) 1f x dx( ) 0 f x dx( )
1f x dx( )
−
ðặt u = −x ⇒ du = −dx Với x = −1 ⇒ u = 1 ; x = 0 ⇒ u = 0, ta ñược :
1f x dx( ) 1 f( u)( du) 0 f( u du) 0 f( x dx)
Trang 9⇒ 1 1
1f x dx( ) 0[ ( )f x f( x dx)]
23 Cho 1
0 f x dx( ) =3
1f x dx( )
−
Giải:
1f x dx( ) 0 f( x dx) 0 f x dx( ) 3
1f x dx( ) 0 f( x dx) 0 f x dx( ) 3
24 Tính các tích phân sau :
a) ðặt u = x3 KQ:
8
3
e −e
3
(ln 3) 3
3
1 9
e −
e) ðặt u = 1 + sinx KQ: ln2
25 Tính các tích phân sau :
2
(ln 2)
2
2 4
π − (từng phần 2 lần) d) ðặt u = x3 + 1 KQ: 2
(2 2 1)
3
9
e +
§5, 6 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ
Số tiết : 4LT + 3BT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Diện tích hình phẳng :
( )
b
a
a
S=∫ f x −g x dx
2 Thể tích vật thể :
( )
b a
V =∫ S x dx
Trang 10( )
b a
V = π∫ f x dx (quay quanh trục Ox)
2( )
d c
V = π∫ g y dy (quay quanh trục Oy)
*.Chú ý: Ta cần tính thể tích của vật thể sinh bởi hình (H)
quanh trục Oy (V t )
Gọi V 1 là thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi cung parabol PA quay Oy và V 2 là thể tích vật thể tạo
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung parabol PO
quay Oy
Khi ñó V t = V 1 – V 2 Ta cần tìm phương trình của PA và PO
B MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x 3 – 1, ñường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành
Giải:
Ta có :
7
2
x − dx+ x − dx = −x dx+ x − dx=
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 – x 2 và ñường thẳng y = −x
Giải:
Hoành ñộ giao ñiểm là nghiệm của phương trình : 2 – x2 = −x ⇔ x = −1 hoặc x = 2
Khi ñó :
1
9
2
x x dx
∫
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng H giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = x , trục hoành và ñường
thẳng y = x – 2
Giải:
Coi H là hình phẳng giới hạn bởi ñường cong x = y2, ñường thẳng x = y + 2, trục hoành y = 0 và
ñường thẳng x = 2 Do ñó :
0
10
3
y+ −y dy =
∫
Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng
(H) giớis hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 – x) quanh :
Giải:
a) Parabol cắt trục hoành tại 2 ñiểm x = 0 và x = 4
0
512
15
b) Gọi Vt là thể tích cần tìm V1 là thể tích vật thể khi quay hình
phẳng giới hạn bởi cung PA, trục tung và hai ñt y = 0, y = 4 quanh
(H)
Trang 11Oy V2 là thể tích vật thể khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung PO, trục tung và hai ñt y = 0, y = 4 quanh Oy
⇒ Vt = V1 – V2
Ta có : y = x(4 – x) ⇔ x = 2± 4−y và khi x∈[0 ; 4] thì y∈[0 ; 4] Do ñó PA có phương trình : y
= 2+ 4−y và PO có phương trình :y = 2− 4−y
=
1
2
128
3
C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai ñt x = 0 và
x = 7π/6
Giải:
S =
7
6
0
dx
∫
27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị hàm số y = cos 2 x, trục hoành, trục tung và ñt x = π
b) ðồ thị hàm số y = x và y = 3 x
c)ðồ thị hàm số y = 2x 2 và y = x 4 – 2x 2 trong miền x ≥ 0
Giải:
0 os
2
c xdx
∫
b) S =
1
0
1
12
x −x dx =
∫
64
15
x −x + x dx= x −x dx=
28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị hàm số y = x 2 – 4 ; y = −x 2 – 2x và hai ñt x = −3 ; x = −2
b) ðồ thị hàm số y = x 2 – 4 và y = −x 2 – 2x
c) ðồ thị hàm số y = x 3 – 4x, trục hoành, ñt x = −2 và ñt x = 4
Giải:
3
11
3
−
∫
∫
c) Ta có :
Trang 1229 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mp x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là 2 1−x2
Giải:
Gọi S(x) là diện tích của hình phẳng ⇒ S(x) = 4(1 – x2) Khi ñó thể tích vật thể là :
16
3
30 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mp x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (0 ≤ x ≤π) là một tam giác ñều cạnh là 2 s inx
Giải:
Gọi S(x) là diện tích của hình phẳng ⇒ S(x) =
2
(2 s inx ) 3
4 Khi ñó thể tích vật thể là :
V =
2
(2 s inx ) 3
4
31 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = 0, x = 4 và y = x −1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải:
1
7
6
32 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường y = 1, y = 4 và x = 2
y Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung
Giải:
2 1
4
3
dy y
33 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường y = −1, y = 1, x = 0 và x = 5y Tính thể tích của 2 khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung
Giải:
15y dy 2
−
LUYỆN TẬP
34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị các hàm số y = x ; y = 1 và y =
2
4
x trong miền x ≥
0, y ≤ 1
b) ðồ thị hai hàm số y = x 4 – 4x 2 + 4, y = x 2 , trục tung và
ñt x = 1
c) ðồ thị các hàm số y = x 2 ,y = 4x – 4 và y = −4x – 4
Giải:
a) S = SABCD - S∆ cong = ( ) 2 2
0
1 2
x dx
(Hình bên)
Trang 13b) S = 1 4 2
0
38
15
x − x + dx =
16
3
35 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) ðồ thị các hàm số y = x 2 + 1 ; y = 3 – x
b) Các ñường x = y 3 , y = 1 và x = 8
c) ðồ thị các hàm số y = x ,y = 6 – x và trục hoành
Giải:
2
9
2
x x dx
∫
b) S =
2 4
1
1
17
y
∫
c) S = S∆ cong – SABC = 4
0
22 2 3
xdx+ =
36 Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mp x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi
mp vuông góc với trục Ox tại ñiểm có hoành ñộ x (0 ≤ x ≤π) là một hình vuông cạnh là 2 s inx
Giải:
V =
0π4 sinxdx =8
∫
37 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = 0, x = 0, x = 2 và y = x 2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải:
0
0
32
38 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = cosx, y = 0, x = 0 và x =π/4 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải:
4 0
0
sin 2 cos
x dx
π
∫
Trang 1439 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các ñường y = 2
x
x e , y = 0, x = 0 và x = 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải:
V =
2
2
x
x
π = π = π −
40 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các ñường x = 2 sin 2y , y = 0,
x = 0 và y = π/2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình B quanh trục tung
Giải:
0 2 sin 2y dy 2
π
ÔN TẬP CHƯƠNG III
Tìm nguyên hàm của cac hàm số sau :(từ bài 41 ñến 43):
41 a) 2 2
x
3
4 3
x − x +C
c) ðặt u =
3
3 2
2
2 cos(2x 1)+C
+
42 a) ðặt u = 1
1
x
− − +
4 + 1 KQ:
16
x
C
c) Lấy nguyên hàm từng phần KQ:
C
− + d) KQ: ex(x2 – 2x + 2) + C
43 a) −e−x(x + 1) + C b) ðặt u = lnx KQ:
2
(ln ) 2
x C
+
44 Tìm hàm số y = f(x) nếu biết dy = 12(3x 2 – 1) 3 dx và f(1) = 3
Giải:
Ta có : dy = 12(3x 2 – 1) 3 dx = y’dx ⇒ y’ = 12(3x 2
– 1) 3 mà ∫f x dx'( ) = f x( )nên ta cần tính :
2
x
∫ = f(x) (ñặt u = 3x 2 – 1) và f(1) = 3 ⇔ C = −5
Vậy f(x) =
5 2
45 Xác ñịnh số b dương ñể tích phân 2
0b(x x dx− )
∫ có giá trị lớn nhất
Giải:
ðặt f(b) =
2 0
0
b
Xét dấu f’(b) trên (0 ; +∞) ta thấy f(b) ñạt GTLN khi b = 1
