TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015... Với mong muốn hệ thống lại kiến thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGÔ THỊ SINH

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PGS TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến cácthầy cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảngdạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt nhữngnăm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này.Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn

tôi là PGS TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo

điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội,ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạođiều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóahọc của mình

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xácđịnh và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứngdụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Nguyên hàm

Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm,bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tínhnguyên hàm

Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng

Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích vàcác tính chất của tích phân xác định Đặc biệt trong chương 2 thể hiệnnhững ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳnggiới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay mộthình phẳng xung quanh trục Ox, Oy

Chương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trongcác bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bấtđẳng thức

αα

a Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa.

Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác.

a Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác.

Dạng 1 A1=∫ (s inx)n dx; A2=∫ (cosx)n dx

Dạng 2 B=∫sinm x.cos n x dx (m n N, ∈ )

Dạng 3 C1=∫tan ; n x dx C2=∫cot n x dx (n N∈ )

x dx A

Giả sử hàm số y= f x( ) xác định và bị chặn trên đoạn [ ]a b; Xét mộtphân hoạch π bất kì của đoạn [ ]a b; , tức là chia đoạn [ ]a b thành n phần;tùy ý bởi các điểm chia : a x= < < <0 x1 x n=b Trên mỗi đoạn [x k−1;x k]

lấy bất kì điểm ξk∈[x k−1;x k] và gọi ∆ = −k x k x k−1 là độ dài của đoạn

Nếu tồn tại max 0 ( )

f ξ

∆ → ∑= ∆ (là một số xác định) thì giới hạn này gọi làtích phân xác định của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b và kí hiệu là:;( )

Tính

1

2 0

I = ∫ x dx

Theo định nghĩa tính tích phân ta làm như sau

Xét hàm số f x( )=x2 xác định trên đoạn [ ]0;1 Ta chia đoạn

Ví dụ như cần tính

1 2 0

Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện

ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xácđịnh

Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của

hàm số đó (Chương 1) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz

để tính ra kết quả của tích phân cần tìm

2.5.2 Tính diện tích hình phẳng.

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= f x( )

Lý thuyết

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

- Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

• Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các

bài toán tính diện tích hình phẳng

 l là đường kín trơn từng phần, chạy

ngược chiều kim đồng hồ và giới hạn diện tích S ở phía trái thì

S1

• Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực.

Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia:,

ϕ α ϕ β = = và đường r = f ( ) ϕ là 1 2( )

2

β α

Công thức: 2( ) 2( )

b x a

f b y

f a

V =π ∫ f y  −f y  dy

• Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết quả cuối cùng trong các

bài toán tính thể tích khối tròn xoay

Xét ( )C ∩Ox xe: x = ⇔ =0 x 0.

( ) ( )

2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng.

a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng.

• Độ dài của đường cong có phương trình y = f x ( ) trong hệtọa độ Đềcác

Độ dài L của đường cong trơn (khả vi liên tục)( ) ,

β α

=∫   + 

• Độ dài của đường cong phẳng trong hệ tọa độ Cực

Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực

r r = ( ) ϕ , y = y t ( ) , α ϕ β ≤ ≤

thì độ dài đường cong L là ( ) 2 ( ) 2

'

β α

dx x

• Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz.

Cho hai hàm số f g , liên tục trên [ ] a b ; Khi đó ta có

Cho hai hàm số f x g x ( ) ( ) , liên tục và đơn điệu trên [ ] a b ;

1 Nếu f x g x ( ) ( ) , là hai hàm cùng đồng biến hoặc là haihàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức:

=Lấy 0 [ ]

x

∀ > nên tiếp tuyến ( ) d tại M luôn nằm dưới đồ thị ( ) C Giả

sử tiếp tuyến ( ) d cắt đường thẳng x = + 1 a x , = 1 tại 2 điểm E, F

và cắt đồ thị ( ) C tại 2 điểm P, Q Khi đó

( ) ( ) ( )

1 1

y=-1.3611x+2.3333 x(t)=1/2, y(t)=t x(t)=t, y(t)=2 x(t)=6/7, y(t)=t x(t)=3/2, y(t)=t

x y

A

QFMPE

2 0

pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và một số ứng dụng của tíchphân xác định Luận văn đã đạt được một số kết quả:

1 Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp từng dạng tínhnguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho việc tính tích phân xác địnhbằng công thức Newton – Leipnitz

2 Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bàitoán thực tế và giải một số dạng toán phổ thông như tìm giới hạn, tínhtổng, chứng minh bất đẳng thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 ban cơ bản và ban nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục [2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định và các ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm.

[3] Trần Phương (2009),Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà

xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

[4] Trần Phương (2006), Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất bản Tri Thức.

[5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán Giải tích 12,

nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh

(2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích một biến số),

Nhà xuất bản Giáo dục