BẤT ĐẲNG THỨCTRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - Năm 2015

Mục lục

1.1 Hàm đơn điệu 41.2 Hàm lồi, lõm 51.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và hàm logarit 51.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit 51.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit 61.4 Một số bất đẳng thức cổ điển 61.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất

đẳng thức cổ điển 9

2 Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit 132.1 Bất đẳng thức hàm số mũ 132.2 Bất đẳng thức hàm logarit 16

3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ và hàm logarit 193.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn 203.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ phương trình 22

Mở đầu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổthông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo củahọc sinh Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kỳ thi tuyểnsinh cao đẳng đại học, thi học sinh giỏi hay các kỳ thi Olympic Lý thuyếtbất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú vàcực kỳ đa dạng Đặc biệt bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt là một phầnchuyên đề rất hay, đóng vai trò quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi

Để góp phần đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng họcsinh giỏi về bất đẳng thức, luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt"đưa ra một số bài toán bất đẳng thức trong lớp hàm mũ và logarit, một sốbài toán áp dụng cúa bất đẳng thức siêu việt vào việc tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số, các bài toán dãy số và giới hạn và khảo sátmột số phương trình và hệ phương trình Luận văn "Bất đẳng thức tronglớp hàm siêu việt" chủ yếu là sưu tầm, nghiên cứu tài liệu và các sách thamkhảo liên quan đến bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit và các bài toánứng dụng liên quan Luận văn là một chuyên đề nhằm góp phần hướng tớibồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông (xem [1-9])

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, Luận văn được chia làm ba chươngnhư sau:

Chương 1 Các kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số tính chất của hàm số mũ và hàm logarit(tính đơn điệu, tính lồi lõm); ý nghĩa của hàm số mũ, hàm logarit trongchứng minh các bất đẳng thức cổ điển và một số bất đẳng thức cổ điển được

sử dụng trong luận văn

Chương 2 Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit.

Chương này đưa ra các bài toán về bất đẳng thức mũ, logarit đượcnghiên cứu và tổng hợp trong các tài liệu tham khảo

Chương 3 Một số bài toán áp dụng

Chương này đưa ra các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ, hàmlogarit; các bài toán áp dụng bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giớihạn, trong khảo sát phương trình và hệ phương trình

Trong thời gian thực hiện luận văn này, tác giả đã nhận được sự hướngdẫn, chỉ bảo tận tình của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thông qua luậnvăn này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng nhữngcông lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầyNguyễn Văn Mậu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tinhọc đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giámhiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trườngĐại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015

Học viênNguyễn Thị Hồng Duyên

Chương 1

Một số tính chất của hàm mũ và

logarit

Định nghĩa 1.1 (Xem [1-3]) Cho hàm số f : R → R xác định trên tập

I(a; b) ⊂R, trong đóI(a, b)là ký hiệu một trong các tập hợp(a, b), [a, b), (a, b], [a, b]với a < b Khi đó, nếu ứng với mọi x1, x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2

suy ra f (x1) ≤ f (x2) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a; b)

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1, x2 ∈ I(a; b), ta đều có

f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a; b), hay còn

gọi là hàm đồng biến

Ngược lại, nếu ứng với mọi x1, x2 ∈ I(a, b), ta đều có với x1 < x2 suy

ra f (x1) ≥ f (x2) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a; b)

Nếu

f (x1) > f (x2) ⇔ x1 < x2; ∀x1, x2 ∈ I(a; b)thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a; b), hay còn

gọi là hàm nghịch biến

Định lý 1.1 Giả sử hàm sốf (x)có đạo hàm trên khoảng (a; b)vàf0(x) > 0

với mọix ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó Ngược lại, nếu

f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng đó

1.2 Hàm lồi, lõm

Định nghĩa 1.2 (Xem [1-3]) Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi xuốngdưới) trên tập I(a; b) ⊂ R nếu với mọi x1, x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp sốdương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

f (αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2)

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 ta nói hàm số f (x) là hàmlồi thực sự (chặt) trên I(a; b)

Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tậpI(a; b) ⊂ R nếu với mọi

x1, x2 ∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

Khi a > 1 thì y0 > 0 nên hàm số đồng biến trên R

Khi 0 < a < 1 thì y0 < 0 nên hàm số nghịch biến trên R

- Xét hàm số y = logax, a > 0, a 6= 1; x > 0 ta có

y0 = (logax)0 = 1

x ·ln a.Khi a > 1 thì y0 > 0 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞)

Khi 0 < a < 1 thì y0 < 0 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

1.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit

Nếu 0 < a < 1 tức ln a < 0 thì y00 > 0 suy ra hàm số lồi trên (0; +∞)

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3]) Giả sử x1, x2, , xn làcác số không âm Khi đó

x1 + x2 + · · · + xn

x1x2 xn.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1]) Cho hai dãy số

xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n, thỏa mãn các điều kiện

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn)

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1]) Cho hàm số y = f (x) liêntục và lồi trên [a, b] Cho các số k1, k2, , kn ∈ R+; k1 + k2 + · · · + kn = 1.Khi đó với mọi xi ∈ [a, b]; i = 1, 2, , n, ta luôn có

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Schur) Với các số thực dương a, b, cvà k ∈ R+bất kỳ ta luôn có

Phương pháp đổi biến p, q, r

Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm

ta có thể đổi biến như sau Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc Ta

• r ≥ (4q − p

2)(p2 − q)6p

1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức dạng Katamata) Giả thiết cho ba bộ số dương(αi), (ui), (xi) thỏa mãn các điều kiện sau

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông thường.Với n = 2 tức là

Do giả thiết nên ta chỉ cần xét hai trường hợp

Khi đó x1d1 + x2d2 = x3d3 và từ đó ta thu được

Vậy định lý đúng với n = 3.

Giả sử định lý đúng với n Ta chứng minh định lý đúng với n + 1

Theo giả thiết thì

- Nếu x = x0 ta được đẳng thức.

- Xét x > x0 ta được khoảng (x0; x) và bất đẳng thức (2.1) có dạng

f (x) − f (x0)

x − x0 ≥ f0(x0)hay f0(x1) ≥ f0(x0) với x0 < x1 < x

Điều này là hiển nhiên vì hàm số f (x) = ax có f00(x) = (ln a)2.ax > 0 vớimọi a > 0, a 6= 1, x ∈ R nên f0 là hàm đơn điệu tăng trên R

- Xét x < x0 ta được khoảng (x; x0) và bất đẳng thức (2.1) có dạng

f (x) − f (x0)

x − x0 ≤ f0(x0)hay f0(x1) ≤ f0(x0) với x < x1 < x0

Điều này hiển nhiên vì f0 là hàm đơn điệu tăng trên R Vậy ta thu được bấtđẳng thức (2.1), đpcm

Từ kết quả của định lí 2.1 ta thu được kết quả của một số bài toán cựctrị trong lớp hàm mũ với tổng không đổi

Hệ quả 2.1 Với a > 1 và x + y + z = α + β + γ thì hàm f (x) = ax luônthỏa mãn bất đẳng thức

xxyyzz ≥ (xyz)x+y+z3 Bài toán 2.2 Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh tam giác Chứng minh

(x + y − z)x(y + z − x)y(z + x − y)z ≤ xxyyzz.Bài toán 2.3 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1 Chứng minh

xx2yy2zz2

3√

3 ≥ xy2+1yz2+1zx2+1.Bài toán 2.4 Cho x, y, z ∈ [0; 1] Chứng minh

(2x + 2y + 2z)(2−x+ 2−y + 2−z) < 81

8 .

Bài toán 2.5 Cho x, y, z > 0 Chứng minh

y

1 + 1y

z

1 + 1z

x

xy + yz + zx.Bài toán 2.9 Cho a1, a2, , an > 0; x ≥ 1 Chứng minh rằng

(y + z)x+ (z + x)y + (x + y)z > 2

Bài toán 2.13 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác và α ≥ β ≥ 1 Chứngminh

 3a2b + c

α

+ 3b2c + a

α

+ 3c2a + b

α

≥  3a2b + c

β

+ 3b2c + a

β

+ 3c2a + b

β

- Nếu x = x0 ta được đẳng thức.

- Xét x > x0 ta được khoảng (x0; x) và bất đẳng thức (2.4) có dạng

f (x) − f (x0)

x − x0 ≤ f0(x0)hay f0(x1) ≤ f0(x0) với x0 < x1 < x

Điều này là hiển nhiên vì hàm số f (x) = logax có f00(x) = −1

x 2 ln a < 0 vớimọi a > 1, x ∈ R+ nên f0 là hàm đơn điệu giảm trên R+

- Xét x < x0 ta được khoảng (x; x0) và bất đẳng thức (2.4) có dạng

f (x) − f (x0)

x − x0 ≥ f0(x0)hay f0(x1) ≥ f0(x0) với x < x1 < x0

Điều này hiển nhiên vì f0 là hàm đơn điệu giảm trên R+

Vậy ta thu được bất đẳng thức (2.4), đpcm

Tương tự, ta cũng có

Định lý 2.3 Với 0 < a < 1 thì hàm f (x) = logax luôn thỏa mãn bất đẳngthức

f (x) ≥ f (x0) + f0(x0)(x − x0), ∀x, x0 ∈ R+ (2.5)Chứng minh Thật vậy, chứng minh hoàn toàn tương tự đinh lý 2.2 nhưngvới 0 < a < 1 hàm số f (x) = logax có f00(x) = −1

x 2 ln a > 0 nên f0 là hàmđơn điệu tăng trên R+

Do đó ta thu được bất đẳng thức (2.5),đpcm

Từ các kết quả của các định lí 2.2 và 2.3 ta thu được kết quả của một số bàitoán cực trị trong lớp hàm mũ với tổng không đổi

Hệ quả 2.3 Với a > 1 và các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z =

α + β + γ thì hàm f (x) = logax luôn thỏa mãn bất đẳng thức

Hệ quả 2.4 Với 0 < a < 1 và các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z =

α + β + γ thì hàm f (x) = logax luôn thỏa mãn bất đẳng thức

logxy ≥ logx+z(y + z)với 1 < x < y, z ≥ 0

Bài toán 2.15 Chứng minh

logy+z x + logz+xy + logx+y z > 3

4, ∀x, y, z ∈ (

√2; 2)

Bài toán 2.16 Cho x, y > 0 Chứng minh

(x + 1)ln (x + 1) + ey ≥ (x + 1)(y + 1)

Bài toán 2.17 Cho x, y, z > 1 Chứng minh rằng

xlogy z + ylogz x+ zlogx y ≥ 3√3

xyz

Bài toán 2.18 Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 4 Chứngminh rằng

Bài toán 2.19 Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 13 Chứngminh rằng

log3(x2y6) ≤ 42 − 9 log3z2.Bài toán 2.20 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh

log2(xyz) ≤ x + y + z − 3

ln 2 .Bài toán 2.21 Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1 Chứngminh

Q = (1 + x2)x(1 + y2)y(1 + z2)z.

Bài toán 3.3 Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x + y + z = 9

4 Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

s = xx+ yy + zz.Bài toán 3.5 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức

S = √

4x+ 9y + 16z +√

4y + 9z + 16x+√

4z + 9x + 16y

Bài toán 3.6 Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

S = px1−xy1−yz1−z.Bài toán 3.7 (Xem [1]) Cho a, b, c là các số không âm, sao cho b + c = d,

x ≥ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S = 2x+2+ 2y+1 + 2z.Bài toán 3.9 Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 8 Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức

S = e1−x + e3−y + e4−z.Bài toán 3.10 Cho x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 3 Tìm giátrị lớn nhất của biểu thức

S = (1 + x)(1 + y)(1 + z)

Trong phần này ta sẽ sử dụng thêm một số định lý sau

Định lý 3.1 (Nguyên lý Cauchy, Xem [8-9]) Dãy {an}+∞n=1 hội tụ nếu và chỉnếu

∀ε > 0, ∃n0 sao cho ∀n > n0, ∀p nguyên dương ta có |an+p − an| < ε

Định lý 3.2 (Định lý phủ định của nguyên lý Cauchy, Xem [8-9]) Dãy{an}+∞n=1 phân kỳ nếu và chỉ nếu

∃ε0 > 0 sao cho ∀n0, ∃n1, m1 > n0 ta có |an1 − am1| ≥ ε0

Định lý 3.3 (Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu bị chặn, Xem [8-9])

1 Nếu dãy {an}+∞n=1 đơn điệu tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

lim

n→+∞an = sup an

2 Nếu dãy {an}+∞n=1 đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

lim

n→+∞an = inf an.Định lý 3.4 (Định lý kẹp về giới hạn của dãy số, Xem [8-9]) Cho 3 dãy số{an}+∞n=1, {bn}+∞n=1, {cn}+∞n=1 Nếu với mọi ∈ N+

an ≤ bn ≤ cnVà

Bài toán 3.12 Cho dãy

btCho

xn = 1 + 1

2

1 + 1

Bài toán 3.13 Cho

Bài toán 3.14 Chứng minh rằng với α > 0 và a > 1

Bài toán 3.16 (Xem [7]) Chứng minh lim

n→∞

n

√n! = +∞ và lim

n→∞

n

√ n!

n = e−1.Bài toán 3.17 (Xem [7]) Chứng minh

lim

x→+∞



1 + 1x

Bài toán 3.23 Giải phương trình

3x2 − 2x3 = log2(x2 + 1) − log2x.Bài toán 3.24 Giải phương trình

log3 x

2 + x + 32x2 + 4x + 5 = x

2 + 3x + 2.Bài toán 3.25 Giải phương trình

21+x + 21−x + 31+x+ 31−x = 51+x + 51−x.Bài toán 3.26 Giải hệ phương trình

z)log5z = log3(4 +√

2 Vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức cổ điển và giải một số bài toánbất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit thông qua các bài toán

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáodục

[2] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phươngtrình, NXB Giáo dục

[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn,

2006 Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc NXB Giáo dục.[4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông ViệtNam, 1990 - 2014, NXB Giáo dục

[5] D.S Mitrinovic (1970), Analytic Inequalities, Springer

[6] Rajendra Bhatia (2008), The Logarithmic Mean, Indian Statistical stitute

In-[7] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems

in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer

[8] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, 2005, Giáo trìnhgiải tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[9] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,Nguyễn Viết Triều Tiên, HoàngQuốc Toàn, 2001, Bài tập giait tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội