Luận văn thạc sỹ phương pháp dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường có quán tính cải biên xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ CHU THỊ HỒNG NHUNG PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM - ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG CÓ QUÁN TÍNH CẢI BIÊN XẤP XỈ NGHIỆM CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

CHU THỊ HỒNG NHUNG

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM - ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG CÓ QUÁN TÍNH CẢI BIÊN XẤP XỈ NGHIỆM CHO MỘT LỚP

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Song Hà và Tiến sĩ ĐinhDiệu Hằng Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của Thầy và Côtrong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thànhhơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy và Cô.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các Thầy Cô Khoa Tin, Bộ phận sau Đại học thuộc Phòng Đào tạo, gia đình cùng các bạn họcviên đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thànhkhóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này!

Toán-Tác giảChu Thị Hồng Nhung

1.3 Ánh xạ đơn điệu 13Chương 2 Phương pháp xấp xỉ nghiệm cho một lớp bài toán

2.1 Mô hình bài toán 192.2 Phương pháp MISEGM 252.3 Ví dụ minh họa 37

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

và miền hữu hiệu C

có quán tính cải biên

Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính toán cho Phương pháp MISEGM với α = 0.03 382.2 Kết quả tính toán cho Phương pháp MISEGM với α = 0.2 382.3 Kết quả tính toán cho Phương pháp MISEGM với α = 0.003 39

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân là mô hình tổng quát của nhiều lớp bài toán xuấthiện trong lí thuyết và ứng dụng (trong kinh tế, tài chính, giao thông, tối ưuhóa và lí thuyết trò chơi, ) Bài toán này được Lion, Stampacchia và đồng

sự đưa ra vào giữa những năm 60 thế kỉ XX (xem trong [1, 4, 5, 6] cùng cáctài liệu dẫn) Từ đó đến nay, bất đẳng thức biến phân đã và đang thu hútđược sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới Hai bàitoán cơ bản về lí thuyết này là: Thiết lập các điều kiện tồn tại nghiệm và xâydựng các phương pháp để tìm nghiệm Theo đó, việc đề xuất các thuật toángiải xấp xỉ bài toán này đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc đưa líthuyết này vào giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn

Cho đến nay, đã có nhiều phương pháp hay thuật toán giải số hữu hiệucho bài toán nêu trên Một số phương pháp phổ biến như phương pháp chiếugradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp chiếu lai ghép, phươngpháp chiếu co hẹp, phương pháp kiểu Korpelevich, phương pháp kiểu Tseng,phương pháp chiếu co Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm khácnhau và chưa có phương pháp nào là tối ưu Vì lẽ đó, vấn đề cải tiến hiệu quảcủa các phương pháp đã có cùng với việc đề xuất các phương pháp mới dựatrên việc kết hợp các phương pháp cổ điển (bao gồm cả các phương pháp giảicho các bài toán khác như bài toán điểm bất động, bài toán xác định khôngđiểm, bài toán tối ưu, ) vẫn là một chủ đề có ý nghĩa khoa học và tính thời

sự cao

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một kết quả mới đề xuất bởiYang công bố năm 2021 [6] theo hướng như vậy Cụ thể, luận văn sẽ trìnhbày phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường có quán tính cải biênxấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitztrên không gian Hilbert

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tàiliệu tham khảo Chương 1 dùng để hệ thống lại những kiến thức cơ bản vềgiải tích lồi và giải tích hàm trên không gian Hilbert thực nhằm phục vụ choviệc trình bày nội dung chính ở phần sau Chương 2 dành để trình bày nộidung và sự hội tụ mạnh (yếu) của phương pháp nêu trên dưới các giả thiếtthích hợp Bên cạnh đó, các ví dụ số sẽ được chúng tôi xây dựng và chi tiếthóa nhằm làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục vụcho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúc củachương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày một số ướclượng, khái niệm và tính chất cơ bản thường dùng trên không gian Hilbertthực Mục 1.2 dành để nhắc lại khái niệm cùng vài tính chất cốt yếu về ánh

xạ liên tục Lipschitz và phép chiếu mêtric Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng

để giới thiệu về lớp ánh xạ loại đơn điệu

1.1 Một số ước lượng, khái niệm và tính chất cơ bản

Giả sử H là không gian Hilbert thực có tích vô hướng và chuẩn sinh bởitích vô hướng lần lượt được kí hiệu là ⟨·, ·⟩ và ∥ · ∥

Dưới đây là một số đẳng thức và bất đẳng thức cốt yếu thường được sửdụng trong các chứng minh ở phần sau Những kiến thức cơ bản ở phần nàychủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1, 3]

Chú ý 1.1 [1, 3] Cho H là một không gian định chuẩn thực Nếu quy tắchình bình hành bảo đảm đối với chuẩn, tức là

gian Hilbert là không gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bìnhhành

Chú ý 1.2 Chúng ta biết rằng, một không gian Hilbert là không gian nach, nhưng một không gian Banach không nhất thiết là không gian Hilbert.Chẳng hạn, không gian C[0, 10] các hàm số liên tục trên [0, 10] ⊂ R, với chuẩn

Chuẩn này không thỏa mãn quy tắc hình bình hành và vì thế C[0, 10] không

là không gian Hilbert Thật vậy, chọn x = x(t) := 1 và y = y(t) := t/10 vớimọi t ∈ [0, 10] Khi đó, ta có

Mệnh đề 1.3 [3] Giả sử x và y là các phần tử trong không gian Hilbert H.Khi đó, ta có

Chứng minh Để ý rằng, với mọi α ∈ R ta có

Do đó, nếu ⟨x, y⟩ ≤ 0 thì từ đẳng thức trên suy ra

Ngược lại, nếu với mỗi α ∈ (0, 1] (hoặc α ∈ R+) và ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ thì cũng

từ đẳng thức trên dẫn đến

Cho α ↓ 0 ta có điều cần chứng minh

Mệnh đề 1.4 [3, 6] Trong không gian Hilbert H ta luôn có

Chứng minh ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có

(i) hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n → +∞ nếu

Chú ý 1.3 [3] Một dãy hội tụ mạnh là hội tụ yếu Tuy nhiên, khẳng địnhngược lại nói chung không đúng Chẳng hạn, hệ trực chuẩn trong không gianHilbert vô hạn chiều bất kì là một dãy có tính chất như vậy.

Tuy nhiên, nếu không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnhtương đương với sự hội tụ yếu

Chú ý 1.4 [3] Giới hạn mạnh (yếu) nếu có của một dãy là duy nhất

Mệnh đề 1.6 [3] (Điều kiện Opial)

lim inf

bất đẳng thức cần chứng minh là tồn tại hữu hạn Mặt khác, ta có

Cho n → +∞ ta có điều cần chứng minh

Định nghĩa 1.2 Tập con C trong không gian Hilbert thực H được gọi là(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao cho

tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất

Chú ý 1.8 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.7 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhấtcủa x ∈ H bởi C

1.2 Ánh xạ liên tục Lipschitz và phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.4 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.Cho A : C → H là ánh xạ xác định trên C Ánh xạ A được gọi là L-liên tục

Lipschitz trên C nếu tồn tại L > 0 sao cho

Nếu (1.1) đúng với L = 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ không giãn cònnếu (1.1) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ co

Ví dụ 1.4 Xét tập C ⊆ R và ánh xạ A : C → R xác định trong các trườnghợp sau đây:

(i) Nếu C = R và A(x) = |x| thì A là 1-liên tục Lipschitz

(ii) A là ánh xạ co khi và chỉ khi ∥A∥ < 1

Ví dụ 1.6 Cho T : H → H là ánh xạ không giãn Khi đó, ánh xạ

cũng là ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.5 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert

được gọi là hình chiếu của x trên C

Khi C có cấu trúc đặc biệt, ta có thể xác định được dạng giải tích củaphép chiếu mêtric như dưới đây

Ví dụ 1.7 [3] Giả sử C := {x ∈ Rn : ⟨x, u⟩ ≤ ν} là nửa không gian đóng

của x trên C nếu và chỉ nếu

Hệ quả 1.2 Phép chiếu mêtric PC từ không gian Hilbert H lên tập con lồiđóng khác rỗng C là ánh xạ không giãn, tức là

Chứng minh Với mọi u, v ∈ H, từ Mệnh đề 1.8 ta có

và

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được

Bất đẳng thức này suy ra

Ta có điều cần chứng minh

Hệ quả 1.3 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian H Khi

đó, ta có ước lượng sau

(ii) liên tục yếu theo dãy trên C nếu nó liên tục yếu tại mọi x ∈ C.

(iv) h-liên tục trên C nếu nó h-liên tục tại mọi x ∈ C

Ví dụ 1.9 [1, 3] Cho A : H → H là ánh xạ tuyến tính trên không gianHilbert H Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu A liên tục thì nó là liên tục yếu theo dãy

(ii) A là h-liên tục

không gian Hilbert H là ánh xạ liên tục yếu theo dãy

Chú ý 1.9 [2, 3] Mọi ánh xạ liên tục là là h-liên tục nhưng khẳng địnhngược lại nói chung không đúng

Chú ý 1.10 [2, 3] Mọi ánh xạ liên tục yếu theo dãy đều bị chặn

1.3 Ánh xạ đơn điệu

Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài khái niệm và tính chất cơbản về ánh xạ (toán tử) loại đơn điệu

Định nghĩa 1.7 Cho C ⊆ H là tập con khác rỗng và A : C → H là ánh xạxác định trên C Ánh xạ A được gọi là:

(i) giả đơn điệu trên C nếu

(ii) đơn điệu trên C nếu

(iii) đơn điệu chặt trên C nếu

(iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương η sao cho

Nhận xét 1.1 Nếu ánh xạ A là η-đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặttrên C, nếu ánh xạ A đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C, nếu ánh xạ

các khẳng định trên nói chung không đúng

điệu mạnh trên C = [1, 4] nhưng không là ánh xạ đơn điệu trên C = R.Ánh xạ A : R → R xác định bởi

là ánh xạ đơn điệu chặt trên R nhưng không đơn điệu mạnh

điệu nhưng không đơn điệu

Ví dụ 1.12 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.

(i) Nếu T : C → H là ánh xạ không giãn trên C thì ánh xạ A := I + αT làánh xạ đơn điệu với mọi α ∈ [−1, 1]

Thật vậy, với mọi x, y ∈ C ta có

⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = ⟨(I + αT )(x) − (I + αT )(y), x − y⟩

≥ ∥x − y∥(∥x − y∥ − |α|∥T (x) − T (y)∥) ≥ 0.(ii) Nếu T : C → H là ánh xạ không giãn trên C thì ánh xạ A := αT +(1−α)I

là ánh xạ đơn điệu với mọi α ∈ (0, 1/2]

(iii) Nếu A : C → H là ánh xạ đơn điệu trên C thì ánh xạ B := I + A là ánh

xạ 1-đơn điệu mạnh

Thật vậy, với mọi x, y ∈ C ta có

⟨B(x) − B(y), x − y⟩ = ⟨(I + A)(x) − (I + A)(y), x − y⟩

(iv) Cho A : H → H là ánh xạ tuyến tính Khi đó, A đơn điệu khi và chỉ khi

⟨A(x), x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ H

Định nghĩa 1.8 Cho C là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.9 Cho C là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực

Nhận xét 1.3 Một hàm lồi chặt là lồi nhưng một hàm lồi không nhất thiết

là lồi chặt Chẳng hạn, hàm số f : R → R xác định bởi f(x) = |x| là hàm cótính chất như vậy

Ví dụ 1.13 Hàm ∥ · ∥ là một hàm lồi nhưng không lồi chặt Tuy nhiên, hàm

Định nghĩa 1.10 Cho f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H

Định nghĩa 1.11 Cho f : C → R là hàm xác định trên C ⊆ H Khi đó,hàm f được gọi là

(ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ C

(iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ C

Nhận xét 1.4 [2, 3] Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũngkhả vi Gâteaux Khẳng định ngược lại nói chung không đúng

Mối liên hệ giữa dưới vi phân và tính khả vi Gâteaux (hoặc khả vi Frétchet)được phát biểu trong các mệnh đề dưới đây Các chứng minh chi tiết có thểtìm thấy trong [2, 3]

Mệnh đề 1.9 [2, 3]

Cho f : H → R là hàm lồi Khi đó, ta có các khẳng định sau:

Phương pháp xấp xỉ nghiệm cho một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường có quán tính cải biên (MISEGM) xấp xỉ nghiệm cho bấtđẳng thức biến phân giả đơn điệu trên không gian Hilbert thực Cấu trúc củachương gồm ba phần: Mục 2.1 chúng tôi phát biểu mô hình bài toán nghiêncứu cùng một số bài toán liên quan Nội dung và sự hội tụ yếu (mạnh) củaphương pháp nêu trên sẽ được cụ thể hóa trong Mục 2.2 Phần cuối chương,Mục 2.3, chúng tôi dành để xây dựng các ví dụ số nhằm minh họa và làm rõhơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập

-2.1 Mô hình bài toán

Bất đẳng thức biến phân được hình thành từ những công trình nghiên cứucủa Lion, Stampacchia và Minty (xem [4, 5] cùng tài liệu dẫn) vào nhữngnăm 50 của thế kỉ trước Bài toán này có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán

lí thuyết như: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động, bàitoán minimax, bài toán điểm yên ngựa, phương trình với toán tử đơn điệu,bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng và đóng vai trò rấtquan trọng trong nghiên cứu nhiều lĩnh vực thực tiễn như: công nghệ thôngtin và truyền thông, giao thông, kinh tế, y học, quân sự Vì lẽ đó, trongsuốt hơn 70 mươi năm qua, bài toán này đã và đang thu hút được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Mô hình bàitoán bất đẳng thức biến phân (VIP) có dạng:

trong đó, C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H(miền hữu hiệu hoặc miền ràng buộc) và A : C → H là ánh xạ xác định trên

C (ánh xạ giá hoặc ánh xạ mục tiêu).

Phần tử x ∈ C thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bài toán (VIP) Tậptất cả các nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(VIP(A, C)), nghĩa là

Nhận xét 2.1 Dễ thấy rằng x ∈ C là một nghiệm của bài toán (VIP) khi

nên suy ra 0 ∈ Sol(VIP(A, C))

Bây giờ, nếu x = (1, 1) ∈ C thì N(x, C) chỉ gồm duy nhất một phần tử{0} Trong trường hợp này, ta thấy

Nhận xét 2.2 [1, 4, 5] Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbertthực H và f : C → R là hàm số khả vi Gâteaux trên C với đạo hàm Gâteaux

Khi đó, ta có mối quan hệ giữa hai bài toán (2.1) và (2.2) được phát biểutrong các khẳng định sau:

(i) Nếu x là nghiệm của bài toán (2.2) thì x ∈ Sol(VIP(A, C))

Thật vậy, ta có z = x + t(y − x) ∈ C với mọi y ∈ C và t ∈ [0, 1] Nếu x

là nghiệm của bài toán (2.2) thì φ(t) = f(x + t(y − x)), t ∈ [0, 1] đạt cựctiểu tại t = 0 Do đó, ta có

Vì vậy, x là nghiệm của bài toán (VIP)

(ii) Nếu f là hàm lồi và x ∈ Sol(VIP(A, C)) thì x cũng là nghiệm của bàitoán (2.2)

Thật vậy, vì f là hàm lồi khả vi trên C (Mệnh đề 1.10) nên ta có

Mặt khác, vì x là nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên nên

⟨A(x), y − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C

Do đó

Vì thế, x là nghiệm của bài toán (2.2)

của A chỉ gồm một phần tử là {−1} Vì thế, bài toán (2.1) và bài toán (2.2)không tương đương nhau theo nghĩa nêu trên Chú ý rằng, tính lồi của ánh

xạ A không bảo đảm trong trường hợp này

Nhận xét 2.3 Cho C := Rn

Khi đó, bài toán (2.1) trùng với bài toán (2.3), theo nghĩa "x là nghiệm củabài toán (VIP) khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán (CP)"

Năm 1962, Minty đã đưa ra một đặc trưng về nghiệm của bài toán (VIP)thông qua nghiệm của bài toán sau đây:

Bài toán trên còn được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân Minty (MVIP).Tập nghiệm của bài toán được kí hiệu là Sol(MVIP(A, C))

Bổ đề Minty dưới đây là một công cụ hữu ích và quan trọng cho các nghiêncứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán (VIP) khi ánh xạ mục tiêu có tính chấtđơn điệu và miền ràng buộc có tính lồi

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H Cho A :

là tập đóng lồi

Chứng minh Theo Bổ đề Minty ta có tập nghiệm của hai bài toán (VIP) và(MVIP) trùng nhau Do đó, thay vì chứng minh Sol(VIP(A, C)) là tập đónglồi ta sẽ chứng minh Sol(MVIP(A, C)) có tính chất này

Giả sử u, v là hai phân tử tùy ý thuộc Sol(MVIP(A, C)) và λ ∈ [0, 1] Vì

và

Cộng hai vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

⟨A(y), y − (λu + (1 − λ)v)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C

Do đó, λu + (1 − λ)v ∈ Sol(MVIP(A, C) hay Sol(MVIP(A, C) là tập lồi

là tập đóng nên x ∈ C Mặt khác, với mọi y ∈ C ta có

có thể tìm thấy trong [1, 4, 5]

Mệnh đề 2.2 [1, 4, 5]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh

xạ A : C → H Khi đó, x ∈ C là một nghiệm của bài toán (2.1) nếu và chỉnếu với mọi γ > 0 ta luôn có

Mệnh đề 2.3 [1, 4, 5]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H và

toán (2.1) có duy nhất nghiệm

Mệnh đề 2.4 [1, 4]

Cho C là tập con lồi compact của không gian Hilbert thực H và A : C → H

là một ánh xạ giả đơn điệu và h-liên tục Khi đó bài toán (2.1) có nghiệm.Mệnh đề 2.5 [1, 4]

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H Cho

bức sau được thỏa mãn: Tồn tại một tập con lồi compact D của C thỏa mãnvới mỗi x ∈ C\D đều tồn tại u ∈ D sao cho ⟨A(x), x − u⟩ > 0 Khi đó bàitoán (2.1) có nghiệm