Luận văn thạc sỹ phương pháp đạo hàm tăng cường tseng xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân trên không gian banach

Cấu trúccủa chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tôi sơ lược về tôpô,giải tích hàm và giải tích lồi trên các không gian Banach.. Mục 1.2 dành đểgiới thiệu một vài nội dung cơ b

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Nguyễn Song Hà

2 TS Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Song Hà và TS.Đinh Diệu Hằng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy cô,những người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu luậnvăn này.

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực

cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cũngnhư sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tậpnghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Với tình cảm chân thành, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy

cô trong khoa Toán-Tin và bộ phận sau đại học trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũngnhư tạo mọi điều kiện thuật lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tậpnghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tại luận văn

Tác giả xin chân thành cảm hơn đến Hiệu trưởng cùng toàn thể thầy, côgiáo trường PTDTBT THCS Hưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin dành tất cả sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình vàngười thân luôn là người động viên mạnh mẽ giúp tác giả thực hiện luận văn.Xin chân thành cảm ơn!

Tác giảHoàng Vĩnh Linh

Mục lục

1.1 Một số vấn đề cơ bản về không gian Banach 3

1.2 Hàm lồi, hàm khả vi, dưới vi phân 11

1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu tổng quát 15

1.4 Ánh xạ đơn điệu và liên tục 21

Chương 2 Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân 24 2.1 Mô hình bài toán 24

2.2 Phương pháp TISEGHM 28

2.3 Ví dụ minh họa 40

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

⟨x, x∗⟩ Giá trị của x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E

xk Giới hạn trên của dãy {xk}

VIP∗(A, C) Bài toán bất đẳng thức biến phân

với ánh xạ giá A : C → E∗ và miền hữu hiệu C ⊂ ESol(VIP∗(A, C)) Tập nghiệm của bài toán VIP∗(A, C)

có quán tính kết hợp phương pháp Halpern

Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính toán cho TISEGHM-2 với u = (1, 1) 422.2 Kết quả tính toán cho TISEGHM-2 với u = (1, 0) 42

đề xuất các thuật toán giải xấp xỉ bài toán này đóng vai trò vô cùng quantrọng trong việc đưa lí thuyết này vào giải quyết những vấn đề đặt ra trongthực tiễn.

Cho đến nay, đã có nhiều phương pháp hay thuật toán giải số hữu hiệu chobài toán (VIP) Phương pháp lặp điển hình là phương pháp chiếu gradient(GM) [1, 5, 6, 9, 10] Phương pháp đòi hỏi ánh xạ giá (ánh xạ mục tiêu) phải

có tính chất đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz Dưới giả thiết nhẹ hơn, chỉyêu cầu tính chất giả đơn điệu của ánh xạ giá, có thể sử dụng phương phápđạo hàm tăng cường (EGM) (còn được gọi là phương pháp kiểu Korpelevich)[9] Tuy nhiên, phương pháp này có một đặc điểm là ở mỗi lần lặp, ta cầnphải tính toán hai lần phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu (miền ràng buộc).Việc tính toán này có thể rất khó và có thể ảnh hưởng đến hiệu quả của thuậttoán khi nó có cấu trúc phức tạp Nhằm làm giảm bớt khó khăn này, Censor

và cộng sự (xem tài liệu dẫn [9,10,11,12] trong [8]) đã giới thiệu phương phápdưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường (SEGM) Ý tưởng cơ bản là thay thếphép chiếu thứ hai bởi phép chiếu lên một nửa không gian con đóng, thực tế

có thể được thực hiện dễ dàng hơn Theo đó, đã có nhiều phương pháp mới

đề xuất, cải tiến hoặc cải biên (xem chẳng hạn trong [1, 8] cùng các tài liệudẫn), nhằm gia tăng hiệu quả và phạm vi ứng dụng của các phương pháp

đã có

Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại một kết quả mới đề xuấtbởi Yoewole và cộng sự công bố năm 2022 [8] theo hướng như vậy Cụ thể,luận văn sẽ trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp

xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trênkhông gian Banach 2-lồi đều và trơn đều

Với mục tiêu như vậy, cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, hai chương,kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1, hệ thống lại những vấn đề cơ bảncủa giải tích lồi và giải tích hàm trong không gian Banach Chương 2 dành

để giới thiệu nội dung, sự hội tụ mạnh của phương pháp nêu trên cùng cáckết quả tính toán số

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục

vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúccủa chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tôi sơ lược về tôpô,giải tích hàm và giải tích lồi trên các không gian Banach Mục 1.2 dành đểgiới thiệu một vài nội dung cơ bản về hàm lồi, hàm khả vi và dưới vi phân.Các khái niệm và tính chất về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãntương đối và phép chiếu tổng quát được cụ thể hóa trong Mục 1.3 Phần cuốichương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu về ánh xạ loại đơn điệu và liên tục.1.1 Một số vấn đề cơ bản về không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, E∗ và E∗∗ tương ứng là không gian đốingẫu và không gian đối ngẫu thứ hai của E Để đơn giản, chúng tôi kí hiệuchuẩn trên các không gian này đều là ∥ · ∥

Định nghĩa 1.1 Dãy {xk} ⊂ E được gọi là

i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E nếu

lim

k →∞∥xk − x0∥ = 0,

và khi ấy ta kí hiệu là xk → x0

ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E nếu

lim

k →∞⟨xk, x∗⟩ = ⟨x0, x∗⟩, ∀x∗ ∈ E∗,

và khi ấy ta viết là xk ⇀ x0

Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk} ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E thì nó hội tụ yếutới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại là đúng nếu E là không gian hữu hạn chiều.Ngoài ra, nếu dãy {xk} ⊂ E hội tụ yếu thì bị chặn [2, 3], tức là tồn tại M > 0sao cho ∥xk∥ ≤ M với mọi k ∈ N

Nhận xét 1.2 [2] Nếu {xk} trong không gian Banach thực E có tính chất

Định nghĩa 1.2 Tập C ⊆ E được gọi là

i) đóng nếu với mọi dãy {xk} trong C mà xk → x0 thì x0 ∈ C

ii) tập compact nếu với mọi dãy {xk} ⊆ C đều tồn tại một dãy con {xk n}thỏa mãn xk n → x và x ∈ C

iii) tập compact yếu nếu với mọi dãy {xk} ⊆ C đều tồn tại một dãy con{xk n} thỏa mãn xk n ⇀ x và x ∈ C

Chú ý 1.1 [2, 4, 7] Ta có một số tính chất cơ bản sau đây:

i) Tập con đóng của tập compact là compact

ii) Một tập compact là compact yếu

iii) Một tập compact là đóng và bị chặn Tuy nhiên, một tập đóng và bị chặnkhông nhất thiết là tập compact

iv) Không gian Banach E là hữu hạn chiều khi và chỉ hình cầu đơn vị đóngtrong E là tập compact.

Ví dụ 1.3 Các nửa không gian đóng hoặc hình cầu đóng trong E tương ứngxác định bởi

Hα = {x ∈ E : ⟨x, x∗⟩ ≤ α},S[x0, r] := {x ∈ E : ∥x − x0∥ ≤ r},trong đó, x∗ ∈ E∗, x0 ∈ E, α ∈ R và số thực r > 0 cố định đã cho, là các tậphợp đóng Nếu E là không gian hữu hạn chiều thì S[x0, r] là tập compact.Tuy nhiên, nếu E = l2 thì S[x0, r] là tập compact yếu nhưng không compact.Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi

Ví dụ 1.5 Tập phần bù E\S[x0, r] là tập không lồi Một ví dụ khác về tậpkhông lồi là mặt cầu đơn vị của E có dạng

SE = {x ∈ E : ∥x∥ = 1}

Những vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của không gian Banach sẽ đượcgiới thiệu trong phần tiếp theo

Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ ε thỏa mãn thìtồn tại một số δ = δ(ϵ) > 0 sao cho

Hình 1.2 Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 lồi đều

Ví dụ 1.6 Không gian Hilbert H là không gian lồi đều

Thật vậy, trước hết để ý rằng, quy tắc hình bình hành [1, 2, 3] được bảođảm trên mọi không gian Hilbert, tức là

∥x + y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2)− ∥x − y∥2, ∀x, y ∈ H

Tiếp theo, giả sử với mọi 0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức

∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ εthỏa mãn Khi đó, ta có

∥x + y∥2 ≤ 4 − ε2.Điều này suy ra

x + y

trong đó δ(ε) = 1 −p1 − ε2/4

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọiđiểm x, y ∈ SE, x ̸= y thì

∥(1 − λ)x + λy∥ < 1, ∀λ ∈ (0, 1)

O

Hình 1.3 Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 không lồi chặt

Ví dụ 1.7 Không gian hữu hạn chiều Rn với chuẩn

thì Rn không phải không gian lồi chặt

Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1 [2, 4] Mọi không gian Banach lồi đều là lồi chặt

Ví dụ 1.8 Không gian l∞ không lồi đều và vì thế không lồi chặt

Thật vậy, trong l∞ ta lấy x = (1, 1, 1, 0, , 0) và y = (1, 1, −1, 0, , 0).Khi đó, dễ thấy rằng x ̸= y, ∥x∥ = ∥y∥ = 1 và ∥x − y∥ = 2 > 1 = ε nhưng

∥(x + y)/2∥ = 1

và vì thế không tồn tại δ > 0 nào thỏa mãn

∥(x + y)/2∥ ≤ 1 − δ

Mệnh đề 1.2 [2] Cho E là không gian Banach lồi chặt Nếu

∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ E\{0},thì tồn tại α ∈ R+ sao cho y = αx

Định nghĩa 1.6 Hàm δE(ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của khônggian Banach E nếu

Chú ý 1.2 [2, 4] Dễ thấy rằng δE(0) = 0 và δE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Hơnnữa, môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục trênđoạn [0, 2] Nếu E là không gian lồi đều thì nó là hàm tăng chặt

Ví dụ 1.9 Cho H là không gian Hilbert, khi đó mô đun lồi của H là

Nhận xét 1.3 Không gian p-lồi đều là lồi đều (suy ra từ Mệnh đề 1.3)

Ví dụ 1.10 [2]) Không gian lp(1 < p < ∞) là p-lồi đều và ta có

Thật vậy, ta có

∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ2∥x∥2 + (1− λ)2∥y∥2 + 2λ(1− λ)⟨x, y⟩,

λ(1− λ)∥x − y∥2 = λ(1− λ)∥x∥2 + λ(1− λ)∥y∥2− 2λ(1 − λ)⟨x, y⟩Cộng hai vế các đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh Và vì thế, theoMệnh đề 1.4, không gian H là 2-lồi đều

Định nghĩa 1.8 Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE

nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn sau

Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE

tồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E∗ sao cho ⟨x, x∗⟩ = ∥x∥ và ∥x∗∥ = 1

Ví dụ 1.12 [2] Các không gian lp

, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gianBanach trơn Các không gian Banach c0, l1, L1[a, b] và l∞ là không trơn.Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tính trơn của không gian và tính khả

vi Gâteaux của chuẩn

Mệnh đề 1.5 [2] Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E làkhả vi Gâteaux trên E\{0}

Độ trơn của không gian Banach E còn được biểu diễn qua môđun trơn.Định nghĩa 1.10 Cho E là không gian Banach Hàm ρE : R+ → R+ đượcgọi là môđun trơn của E nếu

ρE(t) = sup ∥x + y∥ + ∥x − y∥

t ≥ 0 Hơn nữa, ρE là hàm lồi, tăng và liên tục

Tính trơn đều của không gian Banach được định nghĩa thông qua môđuntrơn như sau

Định nghĩa 1.11 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

Mệnh đề 1.7 [2, 4] Cho E là không gian Banach Khi đó, ta có các khẳngđịnh sau đây:

i) E∗ là không gian lồi đều khi và chỉ khi E là không gian trơn đều

ii) E là không gian lồi đều khi và chỉ khi E∗ là không gian trơn đều

Định nghĩa 1.12 Cho số thực q > 1 Không gian Banach E được gọi làq-trơn đều nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho

1.2 Hàm lồi, hàm khả vi, dưới vi phân

Định nghĩa 1.13 Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không gianBanach E Hàm f : C → R được gọi là

i) lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

tổ hợp lồi như thế của hai giá trị f(x), f(y)

Về mặt hình học, phần đồ thị của hàm lồi không khi nào nằm cao hơn dâycung nối hai điểm bất kỳ của nó Tập các điểm nằm về phía trên đồ thị củamột hàm lồi, còn gọi là tập trên đồ thị của f, kí hiệu và xác định bởi

epi(f ) := {(x, r) ∈ E × R : f(x) ≤ r},luôn là một tập lồi [1, 2, 3]

Hơn nữa, không khó khăn để chỉ ra rằng, một hàm là lồi nếu tập mức dưới{x ∈ C : f(x) ≤ α} của hàm f là tập đóng lồi với mỗi số thực α ∈ R Tuynhiên, khẳng định ngược lại nói chung không đúng

Ngoài ra, dễ thấy rằng tổng của hai hàm lồi là lồi nhưng hiệu của hai hàmlồi không nhất thiết lồi Chẳng hạn, ta xét f : R → R và g : R → R tươngứng cho bởi f(x) = |x| và g(x) = 2|x| Khi đó, h(x) = f(x) − g(x) = −|x|không là hàm lồi

Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là lồi Tuy nhiên, khẳng định ngược lại nóichung không đúng

Ví dụ 1.15 [1, 3] Cho f : C → R là hàm khả vi trên khoảng mở (đóng)

C ⊂ R Nếu f′ là hàm không giảm trên C thì f là hàm lồi Thật vậy, cố định

x, y ∈ C, lấy λ ∈ (0, 1) và xét ánh xạ φ : R → R có dạng

φ(u) = λf (x) + (1− λ)f(u) − f(λx + (1 − λ)u), ∀u ∈ R

Khi đó, nếu lấy u ∈ C thì ta có

φ′(u) = (1− λ)[f′(u)− f′(λx + (1− λ)u)] và φ′(x) = 0

Rõ ràng, nếu u < x thì φ′(u) ≤ 0 và nếu u > x thì φ′(u) ≥ 0 Do đó, φ đạtcực tiểu trên C tại x Đặc biệt, ta có

ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ C

iii) khả vi Fréchet tại x ∈ C nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục x∗ ∈ E∗thỏa mãn

iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi x ∈ C

Nhận xét 1.7 Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũng khả

vi Gâteaux Tuy nhiên, một hàm f : E → R khả vi Gâteaux tại x ∈ E thì

không nhất thiết khả vi Fréchet Chẳng hạn, hàm số f : R2 → R xác địnhbởi

với mọi x = (u, v) ∈ R2 là hàm có tính chất như vậy

Định nghĩa 1.15 Cho f : E → R là hàm lồi trên E

i) Phần tử x∗ ∈ E∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm ¯x ∈ Enếu

f (x)− f(¯x) ≥ ⟨x − ¯x, x∗⟩, ∀x ∈ E

ii) Tập tất cả các dưới gradient của f tại ¯x được gọi là dưới vi phân của ftại ¯x, kí hiệu là ∂f(¯x), tức là

∂f (¯x) = {x∗ ∈ E∗ : f (x)− f(¯x) ≥ ⟨x − ¯x, x∗⟩, ∀x ∈ E}

iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f(¯x) ̸= ∅

Chú ý 1.4 Cho f, g : E → R là hàm lồi trên E và ¯x ∈ E Một số tính chấtsau có thể tìm thấy trong [1, 2] cùng các tài liệu dẫn

i) ∂f(¯x) ̸= ∅ nếu và chỉ nếu f nửa liên tục dưới tại 0

Cho f : E → R là hàm lồi Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ E với f′

G(x) = x∗ và f khả dưới vi phântại x thì

∂f (x) ={x∗}

ii) Nếu f là hàm liên tục tại x ∈ E và ∂f(x) chỉ gồm một phần tử duy nhất

x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và

fG′ (x) = x∗

Ví dụ 1.16 Cho f : R → R xác định bởi f(x) = 2022x2 Khi đó, ta có dưới

vi phân của hàm f là ∂f(x) = {4044x}

Định nghĩa 1.16 Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Banach E

và f : C → R là ánh xạ xác định trên C Khi đó, f được gọi là

i) nửa liên tục trên (yếu) tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xk} các phần tử trong

Nhận xét 1.9 Hiển nhiên một hàm nửa liên tục dưới yếu là nửa liên tụcdưới

Mệnh đề 1.10 [7] Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gianBanach E và f : C → R là hàm lồi Khi đó, f là nửa liên tục dưới yếu trên

C khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới trên C

Mệnh đề 1.11 [7] Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gianBanach phản xạ E và f : C → R là hàm lồi, khả vi Gâteaux Khi đó, f lànửa liên tục dưới yếu trên C

nếu x ̸= 0,

1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu tổng quát

Định nghĩa 1.17 Một ánh xạ J : E ⇒ E∗ (nói chung là đa trị) thỏa mãnđiều kiện

J(x) = {x∗ ∈ E∗ :⟨x, x∗⟩ = ∥x∥∥x∗∥ và ∥x∗∥ = ∥x∥},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Chú ý 1.5 Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach Khẳng định nàyđược suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach [2, 4] Đôikhi, nếu không sợ nhầm lẫn, trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơntrị ta sẽ kí hiệu là j.

Ví dụ 1.20 Trong không gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của

H là ánh xạ đơn vị I Thật vậy, trước hết để ý rằng H = H∗ và với mọi

x∈ H ta có

⟨x, x⟩ = ∥x∥∥x∥

Do đó, x ∈ J(x) Ngược lại, với mọi y ∈ J(x), từ định nghĩa của J ta thấy

⟨x, y⟩ = ∥x∥∥y∥ và ∥y∥ = ∥x∥

Kết hợp điều này với tính chất

∥x − y∥2 = ∥x∥2 +∥y∥2 − 2⟨x, y⟩,suy ra x = y Vì vậy, J(x) = {x}

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được trình bàytrong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.12 [2, 4] Cho E là không gian Banach thực và J : E → 2E ∗

làánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) J(0) = {0}

ii) Với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng

iii) J(λx) = λJ(x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R

iv) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị

Mệnh đề 1.13 [2] Cho E là không gian Banach và J là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc Khi đó, các khẳng định sau tương đương:

i) E là không gian trơn

ii) J là đơn trị

iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với ∇∥x∥ = ∥x∥−1J(x)

Các mệnh đề dưới đây cho ta những đặc trưng quan trọng của không gianBanach lồi đều và p-lồi đều.

Mệnh đề 1.14 [4] Cho s > 0 và E là không gian Banach thực Khi đó, E

là lồi đều khi và chỉ khi tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăng ngặt

⟨x − y, J(x) − J(y)⟩ ≥ C2∥x − y∥p.Mệnh đề 1.16 [4, 8] Nếu E là không gian Banach 2-trơn đều thì tồn tại

κ > 0 (hằng số 2-trơn đều) thỏa mãn

∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2⟨y, J(x)⟩ + 2∥κy∥2, ∀x, y ∈ E

Định nghĩa 1.18 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ được gọi là

i) liên tục mạnh-mạnh nếu với mọi dãy {xk} hội tụ mạnh tới điểm x thì j(xk)hội tụ mạnh tới j(x) trong E∗

ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu với mọi dãy {xk} hội tụ mạnh tới điểm x thì j(xk)hội tụ tới j(x) theo tôpô yếu∗ trong E∗

Mệnh đề 1.17 [4] Nếu không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux đềuthì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ liên tục đều mạnh-yếu∗ trên cáctập con bị chặn của E

Mệnh đề 1.18 [2] Nếu không gian Banach E là trơn đều thì ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc j : E → E∗ liên tục đều mạnh-mạnh trên các tập con bị chặncủa E.

Cho E là không gian Banach trơn Ta xét phiếm hàm Lyapunov (được giớithiệu bởi Alber và Reich năm 1994 [1, 8]) ϕ : E × E → R xác định như sau

ϕ(y, x) := ∥y∥2 − 2⟨y, J(x)⟩ + ∥x∥2.với mỗi x, y ∈ E

Nhận xét 1.10 Từ định nghĩa của hàm ϕ, các khẳng định sau bảo đảm:i) (∥y∥ − ∥x∥)2 ≤ ϕ(y, x) ≤ (∥y∥ + ∥x∥)2, ∀x, y ∈ E

ii) Với mọi x, y, z ∈ E và λ ∈ [0, 1] ta có

ϕ(y, J−1(λJ(x) + (1− λ)J(z))) ≤ λϕ(y, x) + (1 − λ)ϕ(y, z)

vi) ϕ(y, x) = ∥x − y∥∥J(x) − J(y)∥ + ∥x − y∥∥y∥

Trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn E, ánh xạ J∗ = J−1(xem [1, 4]) Ta xét ánh xạ V : E × E∗ :→ R xác định bởi

Mệnh đề 1.20 [8] Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn Cho{yk}, {zk} là các dãy tùy ý trong E Nếu ϕ(yk, zk) → 0 và ít nhất một tronghai dãy {yk}, {zk} bị chặn thì yk− zk → 0.

Chứng minh Vì ϕ(yk, zk) → 0 nên {ϕ(yk, zk)} bị chặn Do đó, nếu ít nhấtmột trong hai dãy {yk}, {zk} bị chặn thì dãy còn lại cũng bị chặn (suy ra từNhận xét 1.10) Theo Mệnh đề 1.14, tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăngngặt g : [0, ∞) → [0, ∞) mà g(0) = 0 sao cho

g(∥yk− zk∥) ≤ ∥zk + (yk − zk)∥2 − ∥zk∥2 − 2⟨yk − zk, J(zk)⟩

= ∥yk∥2 − ∥zk∥2 − 2⟨yk, J(zk)⟩ + 2∥zk∥2

= ∥yk∥2 − 2⟨yk, J(zk)⟩ + ∥zk∥2 = ϕ(yk, zk)

Điều này suy ra rằng, nếu ϕ(yk, zk) → 0 thì g(∥yk − zk∥) → 0 Từ tính chấtcủa g ta có điều cần chứng minh

Tiếp theo, cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banachphản xạ, lồi chặt và trơn E Khi đó, với mỗi x ∈ E đều tồn tại duy nhất

Hiển nhiên, nếu E là không gian Hilbert H thì khái niệm phép chiếu tổngquát trên trùng với khái niệm phép chiếu mêtric, tức là

ΠC(x) = PC(x) := x0,với x0 ∈ C chính là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ H bởi C

Mệnh đề dưới đây cho ta một đặc trưng quan trọng của phép chiếu tổngquát trên không gian Banach

Mệnh đề 1.21 [1, 8] Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach phản xạ, lồi chặt và trơn E Khi đó, với mỗi x ∈ E, ΠC(x) = x0 khi

và chỉ khi

⟨x0 − y, J(x) − J(x0)⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C