sang kien TI SO LUONG GIAC

Để giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán tỉ số lượng giác trong năm học này tôi đã cố gắng phân dạng bài tập và đúc rút cho học sinh phương pháp giải từng dạng để học sinh nắm vững c

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong sách giáo khoa Toán 9 mỗi tác giả đã chú trọng hơn về phần tỉ số lượng giác của góc nhọn Vì đó là cơ sở để học tốt bộ môn lượng giác vào lớp

11 Tuy nhiên, đa số học sinh gặp nhiều khó khăn khi gặp loại toán này

Để giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán tỉ số lượng giác trong năm học này tôi đã cố gắng phân dạng bài tập và đúc rút cho học sinh phương pháp giải từng dạng để học sinh nắm vững các bí quyết thành công cho họ khi gặp các bài toán cụ thể

Một trong những mục đích quan trọng nhất của Toán học phổ thông là phát triển ở học sinh bãn lĩnh giải toán Bài tập ôn luyện toán rất đa dạng Sự thành công của dạy học môn Toán là cung cấp được cho học sinh các phương pháp suy nghĩ và thao tác tư duy

Sau đây tôi xin được trình bày kinh nghiệm đã thực hiện có hiệu quả trong giảng dạy toán cho học sinh lớp 9 với một số dạng toán sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn Rất mong được đồng nghiệp gần xa giúp những ý kiến cho tôi để công tác dạy và học được tốt hơn

II THỰC TRẠNG CỦA HỌC SINH VÀ GIÁO VIÊN

1 Đối với giáo viên

Khi giảng dạy nhất là tiết luyện tập nhiều giáo viên còn chủ yếu là giải toán chứ chưa phân dạng và chốt lại các phương pháp giải từng dạng cho học sinh ghi nhớ và vận dụng

2 Đối với học sinh

Khối lượng kiến thức của lớp 9 tương đối lớn nhưng nhiều em chưa nắm bắt vận dụng được những kiến thức đó để giải toán nhất là bộ môn Hình học Do đó chất lượng đại trà của 2 lớp 9A, 9B năm học 2011 – 2012 như sau:

- Học sinh lười học bài cũ

- Các dạng bài tập ở SGK mới ít hướng dẫn và gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu và nghiên cứu

- Học sinh thường chỉ học vẹt các định lý, công thức, quy tắc, không biết vận dụng sinh động chúng vào việc giải bài tập

III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

Từ những nguyên nhân trên tôi càng cố gắng hơn trong phương pháp lên lớp cũng như việc đầu tư soạn giáo án ở nhà

Trong phần hình tôi đã đưa ra các dạng toán cơ bản rồi nhưng thấy rằng nếu trong đó cho học sinh nhận biết và chia nhỏ thành những loại yếu tố đặc biệt cụ thể hơn từ đó học sinh sử dụng các phương pháp phù hợp với từng bài

Vì vậy, trong khi dạy học sinh làm toán “Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn” nhất thiết mỗi học sinh phải có suy nghĩ về định hướng cho lời giải thích hợp Muốn làm được điều đó học sinh phải ghi nhớ các kiến thức sau:

- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc

mà không phụ thuộc vào từng tam giác vuông có góc nhọn đó Nói cách khác mỗi góc nhọn đều có một tỉ số lượng giác xác định

- Học sinh cần nhớ các tỉ số lượng giác của α với α là 3 góc đặc biệt là

300, 450 và 600 bằng cách sin300; sin450; sin600 lần lượt là 1

Để có kỹ năng vận dụng và biến đổi thành thạo các tỉ số lượng giác học sinh cần nhớ định nghĩa và một số hệ thức cơ bản sau có trong bài tập ở SGK:

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

A

a

IV NỘI DUNG

Các dạng toán tỉ số lượng giác thường gặp và các phương pháp giải nó với một số ví dụ minh họa

Dạng 1: Vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác phương pháp chứng minh.

Để tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong một tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh ta dùng định lý Pitago để tính cạnh còn lại Sau đó dùng định nghĩa để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn còn lại theo định lý

tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Ví dụ 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm, BC = 6cm Tính các tỉ số

lượng giác của góc B và góc C

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BH và CK.

a) Hãy biểu thị cosA bằng hai cách để chứng minh ∆AHK ∾∆ABC

C

46

b) Biết ˆA 45= 0, chứng minh SAHK =SBCHK

Giải

a) Xét tam giác HAB vuông tại H có:

AHcos A

AB

=Xét tam giá KAC vuông tại K có:

AKcos A

C

2abab

a2- b2

Nhận xét: Ta thấy để tính giá trị một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng định

nghĩa ta phải tạo ra một tam giác vuông có góc bằng góc α Trong nhiều trường hợp ta thường vẽ thêm đường vuông góc làm xuất hiện tam giác vuông

để có điều kiện tính các tỉ số lượng giác

Chú ý: Ví dị trên có thể giảitheo cách khác bằng cách vận dụng các công thức

Ví dụ 5: Tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh rằng nếu

tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = a Chứng minh các công thứca) sin2α = 2sinα cosα

a

Từ (1) và (2) suy ra: 2sin2α = −1 cos2α

Dạng 2: Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Phương pháp

Nhờ có định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau mà ta có thể so sánh sin và cosin của hai góc, tang và cotang của hai góc bằng cách đưa về so sánh cùng tỉ số sin hoặc cùng tỉ số tang của hai góc khác nhau

Ta có thể đưa sin của một góc về cos của một góc phụ nó Sau đó sử dụng các công thức để tính nhanh kết quả

Ví dụ 6: Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác

sau theo thứ tự tăng dần: cot 40 ; sin 50 ; tan 70 ; cos550 0 0 0

Giải

Theo định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

cos55 =sin 35 ; cot 50 =tan 70

Vì sin 350 <sin 500 <tan 500 <tan 700

Lưu ý: Sinα < tanα

Ví dụ 7: Không dùng bảng tính số hoặc máy tính, tính nhanh giá trị của biểu

thức:

a) M sin 10= 2 0 +sin 202 0 +sin 452 0 +sin 702 0 +sin 802 0

b) N tan 35 tan 40 tan 45 tan 50 tan55= 0 0 0 0 0

Giải

a) M (sin 10= 2 0 +sin 80 ) (sin 202 0 + 2 0 +sin 70 ) sin 452 0 + 2 0

= (sin 102 0 +cos 10 ) (sin 202 0 + 2 0 +cos 20 ) sin 452 0 + 2 0

b) N (tan 35 tan 55 ).(tan 40 tan 50 ).tan 45= 0 0 0 0 0

= (tan 35 tan 35 ).(tan 40 tan 40 ).tan 450 0 0 0 0 =1.1.1 1=

Vì tan600 > tan200 nêntan600 – tan200 > 0

- Nếu α = 100 thì sin100 = sinα ⇒ sin100 – sinα = 0 ⇒ Α = 0

- Nếu α > 100 thì sin100 < sinα ⇒ sin100 – sinα < 0 ⇒ Α < 0

Dạng 3: Biết tỉ số lượng giác của một góc tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc đó

+ Biết sin hoặc cosin của một góc

13

α = , hãy tính cosα, tanα, cotα

Giải

Phân tích, biết sinα sẽ tồn tại được cosα nhờ hệ thức cơ bản

Biết tang hoặc cotang của một góc

Trước hết ta bổ sung thêm hai hệ thức cơ bản

1369 37

53sin

Phương pháp:Tạo một tam giác vuông có một góc bằng góc cần tính tỉ số

lượng giác từ đó ta suy ra các tỉ số về cạnh để tính

Giải

Xét tam giác ABC có A 90 ; B 15 ,ˆ = 0 ˆ = 0 AC = 1

Đường trung trực của BC cắt AB ở I

Ta có : ·AIC 30= 0 nên IC = 2AB = 2

B

I

15 0

30 0

Vẽ đường phân giác CDx

Ta có ∆ADC cân tại D

Dạng 5: Chứng minh hệ thức

Phương pháp: Để chứng minh hệ thức lượng giác chủ yếu ta dùng các phép

biển đổi và các công thức lượng giác đã biết để biến đổi vế này thành về kia hoặc biến đổi Tương đương đồng thời 2 vế về 1 đẳng thức đúng

sin cos

=

α − α với α ≠ 450a) chứng minh rằng: A sin cos

sin cos

α − α

=

α + αb) tính giá trị của A biết tanα = 1

(Vì α ≠ 450 nên sinα – cosα ≠ 0)

b) chia cả tử và mẫu của A cho cosα ta được:

Lưu ý: Sau khi rút gọn, biểu thức A chỉ chứa sinα và cosα Ta đã chia cả tử và

mẫu cho cosα để khử sinα, cosα và làm xuất hiện tanα, do đó có thể tính được giá trị của biểu thức A nếu đề bài cho giá trị của cotα thì phải chia cả tử và mẫu cho sinα, cosα và làm xuất hiện cotα

Ví dụ 15: Chứng minh các đẳng thức.

a) sin6α + cos6α = 1 – 3sin2αcos2α

b) sin cos 1 2cos

Giải:

a) ta có: sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3

= (sin2α + cos2α)[(cos2α)2 – cos2αsin2α + (sin2α)2]

= (cos2α)2 – cos2αsin2α + (sin2α)2

= (cos2α + sin2α)2 – 3sin2αcos2α

= 1 – 3sin2αcos2α

sin cos 1 sin cos 1 2 1 cos cos

Phương pháp: Muốn tính được giá trị của một góc ta phải tìm được giá trị

của 1 tỉ số lượng giác của góc đó

Ví dụ 16: Tìm x biết rằng tanx + cotx = 2

sin x cos x 2sin x cos x

0sin x cos x

sinx cos x 0

Suy ra: sinx = cosx

Do đó: t anx sinx 1 tan 450

sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 2

2sinx

2sinx sin 45

Tìm hướng giải: Diện tích tứ giác ABCD

bằng tổng diện tích của cao tam giác ABC

và AKC Đã biết AC, cần biết thêm chiều

cao ứng với AC Do đó cần vẽ BH ⊥ AC;

AC OB OD sin2

0

1AC.BDsin2

Nhận xét: Nếu tứ giác có độ dài hai đường chéo là m và n góc nhọn

Xen giữa hai đường chéo là α thì diện tích tứ giác là: S 1.m.n.sin

2

đường phân giác của bốn góc cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ Tính dienj tích tứ giác MNPQ

Phương pháp giải: Thường vẽ đường cao để vận dụng hệ thức về cạnh và

góc trong tam giác vuông để tính các yếu tố

Hãy giải tam giác ABC (Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân)

b

CB

MQN

P

giải ∆ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

hBCsin

α

Vẽ AK ⊥ BC thì Xét ∆AKC có:

A

0 12,25

Tôi đã báo cáo chuyên đề này ở tổ và buổi sinh hoạt chuyên môn cụm được nhiều người biểu dương, khen ngợi.

VI ĐỀ XUẤT

1 Đối với giáo viên

Giáo viên phải nhận thức đúng vị trí của bộ môn Toán trong toàn bộ kiến thức hình học của THCS Xác định tầm quan trọng của toán nâng cao trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu, phải học tập, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ và có kinh nghiệm trong giảng dạy đối tượng học sinh giỏi

2 Đối với nhà trường.

Trước hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc tin cậy cho giáo viên trong việc trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, cần phải tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên về các điều kiện giảng dạy như có đủ sách tham khảo và các thiết bị dạy học cần thiết để nghiên cứu

Để tạo điều kiện thực hiện tốt được giải pháp đã nêu thì đòi hỏi phải có thêm thời gian và phù hợp với tứng đối tượng Cho nên ngoài các giờ chính kháo, trên lớp nhà trường nên tổ chức thêm các buổi học bồi dưỡng và phụ đạo cho học sinh

3 Đối với các cấp quản lý giáo dục

- Thường xuyên tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên giảng dạy

bộ môn Toán có điều kiện tiếp xúc, học hỏi kinh nghiệm

- Hàng năm phòng giáo dục nên in những sáng kiến kinh nghiệm tốt gửi về các trường để giáo viên tham khảo và học tập

VII KẾT LUẬN

Như chúng ta đã biết toán học là công cụ cho mọi khoa học, là chìa khóa trí thức cho mọi ngành học Cho nên là giáo viên dạy toán thiết nghĩ việc phân dạng bài tập chốt lại phương pháp giải cho từng dạng là việc làm cần thiết và thường nhật của mỗi người giáo viên Đồng thời rèn luyện cho học sinh tình tự học, sáng tạo, suy luận linh hoạt trong các bài toán để vận dụng và tiếp thu kiến thức tốt hơn góp phần thực hiện nhiệm vụ trọng trách của giáo dục trong thời kỳ đất nước hội nhập toàn cầu hóa