chuyên đề ôn thi phần hình hoc

Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng ADD1A1 và ABCD bằng 600.. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng c

Ví dụ 1 (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD

là hình chữ nhật AB a AD a = , = 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng

(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến

mặt phẳng (A1BD) theo a.

Giải.

Phân tích: Do B1C // (A1BD) nên nên thay vì việc tính d B A BD ta đi tính ( 1,( 1 ) )

( , 1 )

d C A BD

* Gọi O là giao điểm của AC

và BD ⇒ AO1 ⊥( ABCD)

Gọi E là trung điểm AD

1

&

A EO

·

3 tan

2

a

AO OE= A EO=

2 3

ABCD

S = a

3 1

3

2

a

V = AO S =

* Tính d B A BD( 1;( 1 ) ):

Cách 1: Do B1C // (A1BD) ⇒d B A BD( 1;( 1 ) ) =d C A BD( ;( 1 ) )

;

2

CB CD a

d C A BD CH

CB CD

+

Cách 2:

1

3

A BD

V

d B A BD d C A BD d A A BD

S

Trong đó:

1

3

1

A ABD lt

a

K

H E

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

2 1

A BD

S∆ = AO BD= × × =a

3

4

;

2 3 2

a a

d B A BD

a

×

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có

cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

)

'

'

(AB D và ( BD C' )

Giải

Cách 1:

Vì (AB’D’)//(C’BD) nên

(( ' '),( ' )) ( ,( ' '))

d AB D C BD =d A AB D

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ AH ⊥C’O

Ta có:

C BD ACC A

C BD ACC A C O AH C BD

AH ACC A AH C O

⊥







( ,( ' ))

d A C BD AH

+ Tính AH:

2

2

' 2

2

4

2

AOC

a

AH







V

V

Vậy (( ' '),( ' ))

3

a

d AB D C BD =

Cách 2:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyz như sau : O≡ A(0;0;0) ; A'(0;0;a)

)

0

;

0

;

(a

B ; B'(a;0;a) ; C ( a a; ;0) ; C'(a;a;a)

; D ( a0; ;0) ; D'(0;a;a)

Tính d((AB'D'),(C'BD))

Ta có : (AB'D'):x+ y−z =0

(C'BD):x+ y−z−a=0

⇒(AB'D') // ( BD C' ) ⇒ (( ' '),( ' )) ( ,( ' ))

3

a

d AB D C BD =d A C BD =

Ví dụ 3 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD

có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD= 4cm ; AB 3= cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)

Giải

Cách 1: Vì AC=4cm ; AB 3= cm; BC = 5cm

nên tam giác ABC vuông tại A

Do đó tứ diện ABCD vuông tại A

Vậy nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên mp(BCD) thì d A BCD( ,( )) = AH

AH = AB + AC + AD = + + = ⇒ =

Vậy ( ,( )) 6 34

17

d A BCD =

Cách 2: ∆ABC có : AB2 +AC2 = BC2 =25 nên vuông tại A

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O ≡ A(0;0;0);B(3;0;0);C(0;4;0)

)

4

;

0

;

0

(

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD): 1 4 3 3 12 0

3 4 4

x y z

x y z

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

17

34 6 34

12 9 9 16

12 )

(

+ +

−

=

BCD

A

d

Ví dụ 4 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

Giải

Cách 1:

Ta có:

/ /

1 2

MP AD

MP AD





/ / 1 2

NC AD

NC AD







nên tứ giác MNCP là hình bình hành

/ /

MN SAC

⇒

Do hình chóp S.ABCD đều

( )

BO SO

BO SAC

BO AC

⊥



⊥



a

d MN AC d N SAC d B SAC BO BD

Cách 2: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒SO ⊥(ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau: O(0;0;0); S(0;0;h)

;

2

a

−

2

;0;0 2

a









0

;

2

2

;









2

2

;

Toạ độ trung điểm P của SA P

2

; 0 ;

−

h

−

2

ah

uuuur uuur

a h

uuuur

Vì , 2 0

4

a h

MN AC AM

uuuur uuur uuuur

nên MN và AC chéo nhau

2

2 2

4

2

a h

d MN AC

uuuur uuur uuuur uuuur uuur

Cách 3:

Đặt : OA a OB b OS c→ =→ →, =→ →, =→

Ta có : a c→ →=0, b c→ →=0, a b→ →=0

MN MA AC CN= + + = SD AC+ + CB

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2 a 2 c

= − r − r

2

AC→ = − a→

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có:

1 2

PQ PM= +MA AQ xMN+ = + SD y AO+

x a c c b ya

( )

1

= −  + ÷ − + −

( )

2

3 3

2

PQ MN

y







uuur uuuur

2

Ví dụ 5 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a= = , cạnh bên

AA =a Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

AM, B’C

c

b a P

N

M E

O

S

D

C B

A

Cách 1: Gọi E là trung điểm BB’

Khi đó (AME)//B’C nên

(d AM B C, ' )=d B C AME( ' ,( ))=d C AME( ,( ))=d B AME( ,( ))

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên:

h = BA +BM + BE = a +a +a = a

7

a

7

a

d AM B C =

Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau: B(0;0;0); A(0; ;0a ) ; C(a;0;0) ; B’

2

a

; ;0

2

a

AM = −a 

uuuur

; B Cuuuur' =(a;0;−a 2);

AB = −a a

uuuur

,

2

2

a

AM B C a a 

uuuur uuuur

Vì

3

2

a

AM B C AB

uuuur uuuur uuuur

nên AM và B’C chéo nhau

, '

AM B C AB

d AM B C

AM B C

=

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

3

4 4 4

7 2

7 1

2 2

a

a

a a a

Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang · ABC BAD = · = 90 ,0 BA BC a = = ,

2

AD = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a = 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD )

Giải.

Cách 1: Đặt uuur r uuur r uuur r AB a AD b AS c = ; = ; =

Ta có: a c r r × = 0; b c r r × = 0; a b r r × = 0

1

2

SB a c SC a = − = + b c SD b c − = −

uur r r uuur r r r uuur r r

Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H

lên mặt phẳng (SCD)

( ;( ))

Dễ dàng tính được 2

3

SH

SB =

3

HN = HS SN + = − SB xSC ySD + +

uuur uuur uuur uur uuur uuur

x

=  − ÷ +  + ÷ +  − − ÷

Ta có:

0

1 2

3

x

HN SC

x

 −  +  +  −  − −  = 

=

 × =

× =





uuur uuur

2

a

Cách 2:

Gọi d d1, 2 lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD),

2

BSCD BSCD

d = SB = ⇔ = = × S∆ = S∆

Trong đó

3

a

V = SA S × ∆ = SA S × ∆ = SA × AB ID × =

CD SA

⊥



2

SCD

3

a d

⇒ =

Ví dụ 7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′có cạnh bằng 1 Gọi M là trung điểm của

BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A MD′ ) .

Q

P

N E H

K

M

D

C B

A S

Cách 1:

Gọi K là hình chiếu của A trên MD ⇒ AK ⊥MD (1)

Gọi H là hình chiếu của A trên A K′ ⇒AH ⊥A K′ (2)

Có AA′⊥(ABCD)⇒ AA′⊥MD (3)

Từ (1) và (3) ⇒MD⊥(AA K′ )⇒MD⊥AH (4)

Từ (2) và (4) ⇒ AH ⊥(A MD′ ) ⇒d A A MD( ,( ′ ) ) =AH

Xét ∆AMB vuông tại B

1

AM AB BM

Xét ∆CMD vuông tại 1 1 5

C⇒DM = + =

Chu vi tam giác AMD là 2 5 1 5 1

2

Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích tam giác AMD là

AMD

S∆ p p AM p MD p AD +  +  +  + 

Mặt khác ta có:

1 2

2

2

AMD AMD

S

S AK MD AK

MD

∆

Xét tam giác vuông A AK′ có 1 2 1 2 12 1 5 9 4 2

′

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(A MD′ ) là ( ( ) ) 2

,

3

d A A MD′ =AH =

Cách 2: Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, có

0; 0; 0 , 1; 0; 0 , 0; 1; 0 ,

0; 0; 1 , 1; 1; 0

Kéo dài DM cắt AB tại E, do MB AD// và MB MC= ⇒BA BE= ⇒E(2;0;0)

Phương trình mặt phẳng (A DE′ ) theo đoạn chắn là: 1 2 2 2 0

2 1 1

x y z

x y z

Ta có: M∈ED⇒M∈(A ED′ ) (⇒ A MD′ ) (≡ A ED′ )

3

1 4 4

d A A MD′ d A A ED′ −

+ +

Vậy khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A MD′ ) bằng 2

3

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2 a 3và SBC · = 300 Tính thể

tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Bài 2 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

0

60

BAD = Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD

Bài 3 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OC = = = 1 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB OA , Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN

Bài 4 (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 5 (Đề thi Đại học khối D năm 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C

Bài 6 (Đề thi Đại học khối D năm 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C

Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)

Bài 7 (Đề thi Đại học khối A năm 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

vuông tại A, ABC 30· = 0, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Bài 8 (Đề thi Đại học khối B năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

6

a

7

a

Bài 9 (Đề thi Đại học khối D năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

đáy, BAD· =1200, M là trung điểm cạnh BC và SMA· =450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)

4

a

= d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1 1 3 2 6

Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, ∆A’AC vuông cân, A’C =

a Tính

a)

3 ' '

2 48

ABB C

a

=

( ,( '))

6

a

=

Bài 11 (Đề thi Đại học khối A năm 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, h.c.v.g của S lên (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600 Tính

a)

3

7 12

S ABC

a

=

  b) d SA BC ( , ) ( =

42 8

a

)