Tinh chất nén và phản chùm trạng thái SU(2)

Tinh chất nén và phản chùm trạng thái SU(2) tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH VŨ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN BẬC CAO VÀ TÍNH PHẢN CHÙM

CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ

Chuyên ngành :Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu vàkết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả chophép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứunào khác

Tác giả luận văn

Huỳnh Vũ

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường ĐHSP Huế, tôi đãnhận được sự dạy dỗ, hướng dẫn nhiệt tình, sự giúp đỡ quý báu của thầy cô giáo,gia đình cùng bạn bè

Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS TrươngMinh Đức đã tận tình giúp đỡ, góp ý, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật Lý và phòng Đào tạosau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tận tình giảng dạy, hướngdẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè, các anh chị học viêncao học khóa 22 đã luôn động viên, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện

đề tài

Huế, tháng 5 năm 2015Tác giả luận văn

Huỳnh Vũ

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục 1

Danh sách hình vẽ 4

MỞ ĐẦU 5

NỘI DUNG 9

CHƯƠNG 1 TRẠNG THÁI KẾT HỢP, TRẠNG THÁI NÉN 9

1.1 Phương sai, trạng thái kết hợp và toán tử dịch chuyển 9

1.1.1 Tính chất của toán tử dịch chuyển 11

1.1.2 Các toán tử biên độ trực giao của hạt boson 13

1.1.3 Các tính chất của trạng thái kết hợp 15

1.1.4 Các trạng thái kết hợp chẵn và lẻ 18

1.2 Trạng thái nén 21

1.2.1 Ý tưởng về trạng thái nén 21

1.2.2 Các kiểu nén bậc cao 23

1.2.3 Tính phản kết chùm 25

CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ 29

2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) 29

2.1.1 Trạng thái momen xung lượng góc kết hợp 30

2.1.2 Trạng thái kết hợp SU(2) 31

2.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 31

2.3 Các tính chất của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 33

2.3.1 Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết

hợp SU(2) lẻ 33CHƯƠNG 3 NÉN BẬC CAO TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT

HỢP SU(2) LẺ 443.1 Nén kiểu Hong - Mandel 443.2 Nén kiểu Hillery 473.3 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 533.4 Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 55KẾT LUẬN 59TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

PHỤ LỤC P.1Chứng minh một số công thức chương 1 P.1Chứng minh một số công thức chương 2 P.4Chứng minh một số công thức chương 3 P.9

Danh sách hình vẽ

2.1 Sự phụ thuộc của Rab(1, 1) vào r với N = 7, 5, 3 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 362.2 Sự phụ thuộc của Rab(2, 1) vào r với N = 7, 5, 3 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 372.3 Sự phụ thuộc của Rab(2, 2) vào r với N = 9, 7, 5 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 382.4 Sự phụ thuộc của Rab(3, 1) vào r với N = 9, 7, 5 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 392.5 Sự phụ thuộc của Rab(3, 2) vào r với N = 9, 7, 5 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 402.6 Sự phụ thuộc của Rab(3, 3) vào r với N = 11, 9, 7 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 412.7 Sự phụ thuộc của Rab(4, 2) vào r với N = 11, 9, 7 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 422.8 Sự phụ thuộc của Rab(4, 3) vào r với N = 11, 9, 7 (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 43

3.1 Sự phụ thuộc của M2(ϕ) vào r cho trường hợp N = 5 463.2 Sự phụ thuộc của H2(ϕ) vào r cho trường hợp N = 5 503.3 Sự phụ thuộc của H3(ϕ) vào r cho trường hợp N = 5 533.4 Sự phụ thuộc của D vào r cho trường hợp N = 21, 15, 11.(Các tham

số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu

xanh lục và đường màu xanh lam.) 57

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan trọng trongviệc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để nghiên cứu và áp dụngvào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử và máytính lượng tử Do đó, các tính chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất đượccác nhà khoa học quan tâm Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạngthái kết hợp [1-7] Trạng thái phi cổ điển lần đầu tiên được đưa ra trong tiêu đề củacác công trình bởi Helstrom, Hillery và Mandel vào đầu thập kỷ 80 của thế kỷ XX[4,10] Từ đó các trạng thái phi cổ điển được đề suất và các nhà vật lý thực nghiệmcũng như lý thuyết quan tâm nghiên cứu Trạng thái kết hợp tuân theo phân bốPoisson, là phân bố mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt củachúng Nếu phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thìhàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson Các trạng thái tuân theo thống

kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố xác suất P ứng vớitrạng thái đó là âm [1-3] Một tính chất nữa thuộc tính chất phi cổ điển đó là tínhchất phản chùm [1,9] Nếu một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất

rõ tính chất phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson Trạng thái phi cổ điểnđược nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén [1-5] Tuy nhiên, khái niệm trạng thái nénmãi đến năm 1970 mới được đưa ra bởi Stoler và sau đó được Hollenhorst đặt tên.Trong trạng thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thănggiáng mà trạng thái kết hợp cho phép Khi trạng thái nén được khám phá nó mở ramột phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy ra từ hệ thức bất định.Trạng thái này được khẳng định bằng thực nghiệm năm 1987 Sau đó Dodonov vàcác cộng sự xây dựng thành công trạng thái kết hợp chẵn và lẻ bằng lý thuyết và

trạng thái này được tạo ra bằng thực nghiệm vào năm 1992 [2, 5] Sau đó một loạtcác trạng thái phi cổ điển khác được đưa ra dựa trên lý thuyết như trạng thái kếthợp phụ thuộc tham số biến dạng, trạng thái kết hợp chẵn và lẻ phụ thuộc tham sốbiến dạng Gần đây Agarwal đã đề xuất một trạng thái lượng tử gọi là trạng tháikết hợp cặp [2] Trạng thái kết hợp cặp được xác định là trạng thái riêng của toán

tử hủy photon trong các cặp Đây là trạng thái phi cổ điển nên nó tuân theo thống

kê Sub-possion, sự tương quan trong sự thăng giáng photon, hiệu ứng nén và sự viphạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trạng thái kết hợp cặp là nền tản trong việcxây dựng lý thuyết thông tin lượng tử Một số mô hình thực nghiệm để tạo trạngthái kết hợp cặp đã được đề xuất và nghiên cứu Bên cạnh đó trong quang họclượng tử cũng có nhiều sự quan tâm đến trạng thái con mèo chrodinger Năm 1997hai nhà vật lý Gerry và Grobe đã nghiên cứu về trạng thái con mèo Schrodingerhai mode SU(2) và SU(1,1) về sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tínhchất nén bậc thấp [7] Để biết được trạng thái này ở trạng thái nén bậc cao tínhchất của nó như thế nào và đồng thời hiểu rõ tính chất này là bước đầu thuận lợi đểnghiên cức các lý thuyết thông tin lượng tử và nghiên cứu nhiều vấn đề khác Dovậy tôi chọn đề tài “Nghiên cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạngthái hai mode kết hợp SU(2) lẻ” làm đề tài luận văn của mình

rõ tầm quan trọng này nên nhiều tác giả trong và ngoài nước đã đi sâu nghiên cứu

Ở ngoài nước, năm 1997 hai nhà vật lý Gerry và Grobe đã nghiên cứu tínhchất nén bậc thấp trạng thái SU(2) chẵn lẻ [7] Bên cạnh đó, ở nước ta năm 2011,học viên Nguyễn Thị Thu Thúy đã nghiên cứu trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [3].Năm 2014, học viên Lê Đình Nhân đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển củatrạng thái hai mode SU(1,1) [1] Cùng chung trạng thái chẵn lẻ, tuy nhiên chưa có

đề tài nào nghiên cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạng thái haimode kết hợp SU(2) lẻ

3 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu và nén biên độtrực giao bậc cao của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ theo hai kiểu Hong -Mandel và Hillery Đồng thời nghiên cứu tính phản chùm bậc cao của trạng thái 2mode kết hợp SU(2) lẻ

4 Phạm vi nghiên cứu

Vì thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu tínhchất nén của trạng thái 2 mode kết hợp SU(2) lẻ bậc 2, 3 và tính chất nén tổng, nénhiệu và tính phản chùm

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ, tìm hiểu về nén biên độ bậccao kiểu Hong - Mandel và Hillery

- Tiến hành khảo sát điều kiện có tính chất phản chùm trong trạng thái haimode kết hợp SU(2) lẻ

- Tiến hành khảo sát điều kiện để có nén biên độ trực giao bậc cao, nén tổng

và nén hiệu trong trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

- So sánh kiểm chứng

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng quan tài liệu

- Nghiên cứu lý thuyết dựa trên lý thuyết cơ học lượng tử

- Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị

7 Bố cục luận văn

Ngoài mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo, Luận văn gồm ba phần

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiêncứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn nghiên cứu và bố cục luận văn

Phần nội dung: Gồm 3 chương

Chương một: Trình bày kiến thức tổng quan về trạng thái kết hợp trạng thái nénChương hai: Trình bày về trạng thái hai mode kết hợp SU(2) và khảo sát tính phảnchùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

Chương ba: Khảo sat tính chất nén bậc cao trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻPhần kết luận: Trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và đề xuất các hướng

mở rộng của đề tài

NỘI DUNGCHƯƠNG 1TRẠNG THÁI KẾT HỢP, TRẠNG THÁI NÉN

Trong nội dung của chương này, trước khi trình bày về các tính chất phi cổ điển,chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về trạng thái kết hợp Trạng thái kếthợp, kí hiệu |αi đã được Glauber và Sudarshan đưa ra vào năm 1963 để mô tảtính chất của chùm sáng laser Sau đó, chúng tôi đề cập đến trạng thái nén đã đượcđưa ra bởi Stoler vào năm 1970 và Hollenhorst đặt tên năm 1979 Tiếp đến, chúngtôi trình bày trạng thái kết hợp chẵn lẻ và một số tính chất phi cổ điển cụ thể nhưtính phản kết chùm và tính chất nén bậc cao kiểu Hillery và Hong - Mandel.1.1 Phương sai, trạng thái kết hợp và toán tử dịch chuyển

Cho hai toán tử Hermitic ˆA và ˆB theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật

lý A và B Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo được đồngthời thì về mặt toán học hai toán tử ˆA, ˆBcũng không giao hoán với nhau, nghĩa làgiao hoán tử

[ ˆA, ˆB] = ˆA ˆB− ˆB ˆA= i ˆC6= 0 (1.1)Với trường hợp này ta có được hệ thức bất định trong trạng thái lượng tử bất kỳ

|ψ

của hệ

trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được X quanh

Xcủa đại lượng X = A, B là phương sai V X được địnhnghĩa như sau

với giá trị trung bình của đại lượng X ở trạng thái |ψ

ˆX

Z

ψ∗(x) ˆXψ(x)dx, (1.4)được lấy trên toàn bộ giá trị có thể có của các biến độc lập x của hệ lượng tử Bâygiờ ta xét hệ hạt boson có toán tử sinh hạt ˆa+và toán tử hủy hạt ˆa, chúng tuân theocác hệ thức giao hoán

[ ˆa, ˆa+] = ˆaaˆ+− ˆa+aˆ= 1,[ ˆa, ˆa] = [ ˆa+, ˆa+] = 0 (1.5)Xét một trạng thái |α như sau

ˆ

a+n

√n!|0i

n|0 = 1 −α∗aˆ+α∗2

2! aˆ

2+
|0 = |0,nên biểu thức (1.8) có thể viết dưới dạng

số kết hợp α = r exp(iϑ ), trong đó các số thực r và ϑ theo thứ tự được gọi là biên

độ kết hợp, pha kết hợp Trước khi làm rõ ý nghĩa của thuật ngữ “kết hợp” hãy tìmhiểu một số tính chất của toán tử dịch chuyển [2, 3]

1.1.1 Tính chất của toán tử dịch chuyển

a) Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu ˆA và ˆBlà hai toán tử bất kỳ có

Aˆ, ˆB , ˆA =  ˆA, ˆB , ˆB = 0,

exp ˆA
exp ˆB

= exp



A, ˆˆ B

2

exp ˆB
exp ˆA

Dˆ−1

a (α) ˆDa(α)

0E

= h0|0i = 1 (1.15)

Vì đối với hai toán tử bất kỳ ˆA và ˆB luôn có (phụ lục A.2)

exp −α ˆA
Bˆexp α ˆA
= ˆB− α[ ˆA, ˆB] +α

D+a(α) ˆa+Dˆa(α) = ˆa++ α∗ (1.18)Các vế phải của (1.17) và (1.18) theo thứ tự bị dịch đi một lượng bằng α và α∗ sovới các vế trái tương ứng Do vậy, toán tử ˆDa(α) được gọi là toán tử dịch chuyển.Các tính chất (1.17) và (1.18) được dùng nhiều trong các tính toán lý thuyết

1.1.2 Các toán tử biên độ trực giao của hạt boson

Các toán tử ˆa, ˆa+không hermitic do đó không đo được trong vật lý Đại lượng

đo được trong trường hạt boson là các toán tử biên độ Xét toán tử biên độ trườngboson ˆA

ˆ

A ∝ 1

2 ˆaexp[−i(ωt + ϕ)] + ˆa+exp[i(ωt + ϕ)]

= 1

2 ˆa+exp(iϕ) + ˆaexp(−iϕ) cosωt + i

2 ˆa+exp(iϕ) − ˆa exp(−iϕ) sin ωt,

(1.19)trong đó ϕ là góc pha ban đầu

ˆ

A ∝ ˆXa(ϕ) cos ωt + ˆXa(ϕ + π/2) sin ωt (1.22)

Từ biểu thức (1.20) dễ dàng nhận thấy từ rằng ˆXa(ϕ) là toán tử Hermitic do đó nó

là toán tử tương ứng với đại lượng đo được nào đó trong trường hạt boson Từ biểuthức (1.22) ta thấy ˆXa(ϕ) và ˆXa(ϕ + π/2) lệch pha nhau π/2 nên chúng được gọi

là toán tử biên độ trực giao của trường boson ˆA Việc đo biên độ trường thườngquy về việc đo các biên độ trực giao

Dựa vào (1.20) và (1.21) có thể rút ra công thức biến đổi ngược lại:

ˆ

a= exp (iϕ) ˆXa(ϕ) + i ˆXa(ϕ + π/2)
, (1.23)ˆ

a+= exp (−iϕ) ˆXa(ϕ) − i ˆXa(ϕ + π/2)
(1.24)

Từ (1.20), (1.21) và hệ thức giao hoán [a, a+] = 1 ta suy ra

hˆ

Xa(ϕ) , ˆXa



ϕ +π2

i

−2i =

i22i = i

V Xa(ϕ) = hα| ˆXa2(ϕ)|αi − hα| ˆXa(ϕ)|αi2

= hα|14[ ˆa+exp(iϕ) + ˆaexp(−iϕ)]2|αi

− hα|12[ ˆa+exp(iϕ) + ˆaexp(−iϕ)]|αi2

= hα|14[ ˆa+2exp(2iϕ) + ˆa+aˆ+ ˆaaˆ++ ˆa2exp(−2iϕ)]|αi

− hα|12[ ˆa+exp(iϕ) + ˆaexp(−iϕ)]|αi2

= hα|14[ ˆa+2exp(2iϕ) + 2 ˆa+aˆ+ 1 + ˆa2exp(−2iϕ)]|αi

− hα|12[ ˆa+exp(iϕ) + ˆaexp(−iϕ)]|αi2

= 1

4{α∗2exp(2iϕ) + 2|α|2+ 1 + α2exp(−2iϕ)

− [α∗exp(iϕ) + α exp (−iϕ)]2} = 14,theo đó, ở trạng thái này

V Xa(ϕ)V Xa(ϕ + π/2) = 1

Vậy trạng thái |α định nghĩa ở (1.10) thực hiện dấu bằng trong hệ thức bất định,

do đó chúng được gọi là các trạng thái có độ bất định tối thiểu [5]

1.1.3 Các tính chất của trạng thái kết hợp

Để hiểu rõ trạng thái kết hợp ta tìm hiểu các tính chất của trạng thái này[1, 3].Tính chất 1: Số hạt boson trung bình của trạng thái kết hợp |αi chính bằng bìnhphương biên độ kết hợp r nghĩa là h ˆni = r2

1π

trong đó α = r exp(iϕ) Chuyển sang tọa độ cực ta được

d2α = rdrdϕ Suy ra

Z

|αihα|d2α =

∞ Z

0

rdr

2π Z

2π Z

0

ei(n−m)ϕdϕ = 2πδnm,nên

Z

|αihα|d2α =

∞ Z

∞ Z

0

e−r2r2n+1dr

Ta nhận thấy rằng

∞ Z

1π

Z

|αihα|d2α = 1 Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nghĩa là hα|αi = 1nhưng chúng lại không trực giao với nhau

(α∗)n

√n! hn|mi

√n! δnm

= exp(−12|α|2) exp(−12|β |2) exp(β α∗)

= exp(−12|α|2−12|β |2+ β α∗) 6= 0

Hệ quả của tính chất không trực giao của trạng thái kết hợp là bất kỳ một trạngthái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, cụthể là

Để chứng tỏ trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu ta đưavào hai đại lượng không thứ nguyên X, P và được biểu diễn thông qua hai toán tửtương ứng là ˆX, ˆPđược định nghĩa

ˆ

X = 12

ˆ

a†+ ˆa

, ˆP= i

2

ˆ

a†− ˆa.Mặt khác, ˆX và ˆP là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượngvật lí đo được Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng

Phương sai của ˆX

hα|(∆X)2|αi = hα| ˆX2|αi − (hα| ˆX|αi)2

hα|(∆P)2|αi = hα| ˆP2|αi − (hα| ˆP|αi)2

= −14hα|( ˆa†− ˆa)2|αi +14[hα|( ˆa†− ˆa)|αi]2

= −14(α∗2+ α2− 2|α|2− 1) +14(α2+ α∗2− 2αα∗) = 1

4Vậy ta thu được

hα|(∆X)2|αihα|(∆P)2|αi = 161 Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg Như vậy, trạngthái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu, có nghĩa là ta có thể đo đượcđồng thời hai đại lượng X và P với sai số ít nhất ứng với giới hạn lượng tử chuẩn

1.1.4 Các trạng thái kết hợp chẵn và lẻ

Trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ đã được Dodonov và cộng sựđưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973 Bắt đầu từ biểu thức của trạngthái kết hợp |α = ˆDa(α)|0

, với ˆDa(α) là toán tử dịch chuyển đã biết ở trên, tađịnh nghĩa trạng thái kết hợp chẵn

Nếu biểu diễn theo các trạng thái Fock, ta có:

|αch = Cch

hexp

∞

∑

n=0

−αnp(n)!|n

Ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết hợp chẵn (lẻ)

là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là chẵn (lẻ)

Tiến hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được

Cl = (1/2)

qexp(|α|2)/ sinh(|α|2)/2

= Cch(α)Cch(β ) exp(−1

2|α|2) exp(−1

2|β |2) cosh(α∗β )

Tiến hành tương tự ta được

l l = Cl(α)Cl(β ) exp(−12|α|2) exp(−12|β |2) sinh(α∗β ),

α∗2np(2n)!

Điều này có nghĩa là toán tử hủy ˆa có tác dụng như là một toán tử quay giữa | αch

p2n(2n − 1) | 2n − 2

a†+ ˆa

, i2

ˆ

a†− ˆa



= i4

nhˆ

a†, ˆa†i−haˆ†, ˆai+ha, ˆaˆ †i− [ ˆa, ˆa]o= i

2.Đối với các trạng thái Fock ta lại có

4(hn| ˆa†2|ni + hn| ˆa2|ni + hn| ˆa†aˆ|ni + hn| ˆa ˆa†|ni)

−14(hn| ˆa†|ni + hn| ˆa|ni)2

= 1

4(n + n + 1) = 1

4(2n + 1) Tương tự ta có

h(∆P)2i = h ˆP2i − h ˆPi2

= −14hn|aˆ†− ˆa2|ni +14[hn|aˆ†− ˆa|ni]2

= −14(hn| ˆa†2|ni + hn| ˆa2|ni − hn| ˆa†aˆ|ni − hn| ˆa ˆa†|ni)+1

4(hn| ˆa†|ni − hn| ˆa |ni)2 = 1

kết hợp thì dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra Chính vì vậy mà các trạng thái kếthợp được gọi là trạng thái ứng với độ bất định tối thiểu.

Mặt khác, hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích của cácthăng giáng h(∆A)2

ih(∆ B)2i Hệ thức này hoàn toàn không vi phạm nếu một tronghai thăng giáng là rất bé và thăng giáng còn lại trở nên lớn hơn Như vậy chúng ta

có thể tìm cách tạo ra các trạng thái mà có thể đo được một đại lượng với độ chínhxác cao Nếu xét về mặt toán học, một trạng thái được gọi là nén với đại lượng Anếu thỏa mãn

đó có thể coi là trạng thái nén lý tưởng

Hong-Mandel đã sử dụng đồng nhất thức Campbell-Bake-Hausdorff

Xa(ϕ)x) a(ϕ)x) : exp(1

2x

2C), (1.42)trong đó : : ký hiệu N-tích Khai triển các hàm mũ trong (1.42) dưới dạng chuỗitheo x và đồng nhất hai vế, ta có

Fa(k) = ˆak, ˆa+k = ∑k

q=1

k!k(q)(k − q)!q!aˆ

+(k−q)aˆ(k−q), (1.50)

với k(q)= k(k − 1) (k − q + 1) Từ (1.49) ta rút ra được hệ thức bất định đối vớicác phương sai V Xa,k(ϕ),V Xa,k(ϕ + π/2)

V Xa,k(ϕ)V Xa,k(ϕ + π/2) ≥ 161 | Fˆa(k)|2 (1.51)Điều kiện để có nén biên độ lũy thừa k kiểu Hillery theo phương ϕ là

V Xa,k(ϕ) < 1

Khi N = k = 1, nghĩa là khi cả hai kiểu nén bậc N kiểu Hong-Mandel và nén biên

độ lũy thừa k kiểu Hillery trở về bậc nhất thì chúng trùng nhau và trở thành kiểunén thông thường như đã trình bày trong tiểu mục 1.2.1

1.2.3 Tính phản kết chùm

Tính phản kết chùm còn có nghĩa là phản kết hợp, hay chúng ta có thể hiểurằng các photon phản kết chùm là các photon độc lập, cách xa nhau và chúng khôngthể kết hợp với nhau Khái niệm photon phản kết chùm được đưa ra bởi Kimble

và Mandel, Carmichael và Walls năm 1976 và kiểm chứng bằng thực nghiệm bởiKimble, Dagenrus và Mandel vào năm 1977 [10] Các photon phản kết chùm tuântheo thống kê sub-Poisson nên trạng thái có phân bố số photon loại này cũng tuântheo thống kê này Điều này có nghĩa là hàm phân bố xác suất tương ứng với trạngthái đó là âm Đối với lý thuyết cổ điển thì hàm phân bố xác suất luôn có giá trịdương Do đó, các trạng thái có hàm phân bố xác suất mang giá trị âm không cònmang tính chất cổ điển mà chúng là các trạng thái phi cổ điển Hay tính phản kếtchùm là một tính chất phi cổ điển Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này chúngtôi chỉ khảo sát tính phản kết chùm cho hai mode nhưng để hiểu rõ bản chất của

nó ta xét tính phản kết chùm đơn mode và sau đó mở rộng cho hai mode

Tiêu chuẩn tính phản kết chùm đơn mode

Các photon phản kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poissonian nên phương sai củaphân bố số hạt nhỏ hơn trạng thái số hạt của nó [3]

Mặt khác ta luôn có

(|α|4+ |β |4− 2|α|2|β |2) > 0 (1.57)

Kết hợp (1.56) và (1.57) ta thấy rằng P(α, β) nhận giá trị âm Đây là một lập luậnhợp lý cho ta thấy rõ tính phản kết chùm là một tính chất phi cổ điển Năm 1903,bất đẳng thức (1.57) đã được Muirhead khái quát hóa dưới dạng

|α|2l+2|β |2p−2+ |α|2p−2|β |2l+2≤ |α|2l|β |2p+ |α|2p|β |2l, (1.58)với l, p là các số nguyên dương thỏa mãn l ≥ p

Điều kiện để một trạng thái thể hiện tính phản kết chùm trong trường hợp đơnmode là

Dựa vào tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trường hợp đơn mode,Lee mở rộng tiêu chuẩn này cho trường hợp hai mode [9]

D

ˆ

n(l+1)a nˆ(p−1)b

E+Dnˆ(p−1)a nˆ(l+1)b

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode trong trường

bức xạ thể hiện qua tham số R (l, p) được viết dưới dạng

R(l, p) =

Dˆ

n(l+1)a nˆ(p−1)b

E+Dnˆ(p−1)a nˆ(l+1)b

E

Dˆ

n(l)a nˆ(p)b

E+Dnˆ(p)a nˆ(l)b

Như vậy, một trạng thái bất kỳ thể hiện tính phản kết chùm khi tham số R (l, p) < 0.Nếu tham số R (l, p) càng âm thì tính phản kết chùm của trạng thái mà ta đang xétthể hiện tính phản kết chùm càng mạnh

Tóm lại, trong nội dung của chương này, chúng tôi đã trình bày về trạng tháikết hợp, trạng thái nén và một số tính chất phi cổ điển Chúng tôi đã nêu ra điềukiện cụ thể một số tính chất phi cổ điển như nén bậc N kiểu Hong-Mandel và nénbiên độ lũy thừa k kiểu Hillery, tính chất phản chùm hai mode để tiến hành khảosát trong các chương sau

CHƯƠNG 2TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺTính phản chùm hay còn được biết đến là tính chất phản kết hợp Chúng ta có thểhiểu một cách đơn giản là các trạng thái có tính chất phản chùm thì các photoncủa chúng là độc lập với nhau, cách xa nhau và không thể kết hợp với nhau Trongnội dung của chương này, chúng tôi tìm hiểu về trạng thái hai mode kết hợp SU(2)

lẻ và khảo sát tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

2.1 Trạng thái hai mode kết hợp SU(2)

Trạng thái SU(2) được thiết lập theo Schwinger [7] dựa trên các toán tử bosonhai mode

ˆ

J3 ≡ 12( ˆa+aˆ− ˆb+ˆb),ˆ

J+≡ ˆa+ˆb,ˆ

J−≡ ˆaˆb+,

(2.1)

trong đó (theo phụ lục B.1)

[ ˆJ3, ˆJ±] = ± ˆJ±,[ ˆJ+, ˆJ−] = 2 ˆJ3

ˆ

J2 = ˆJ32+1

2( ˆJ+Jˆ−+ ˆJ−Jˆ+) = ˆJ0( ˆJ0+ 1) (2.4)

2.1.1 Trạng thái momen xung lượng góc kết hợp

Trạng thái momen xung lượng góc kết hợp còn gọi là trạng thái kết hợp spinhay trạng thái kết hợp nguyên tử, trạng thái này rất quan trọng trong các mô hìnhquang học lượng tử, đặc biệt là trong các trạng thái kích thích của nguyên tử Tađịnh nghĩa hàm riêng của momen xung lượng góc là | j,mi trong đó j nhận giá trịnguyên hoặc bán nguyên và m = − j,− j +1, , j −1, j Tác dụng của các toán tửmomen xung lượng góc ˆJ3, ˆJ+, ˆJ−, ˆJ lên trạng thái | j,mi cho bởi

ˆ

J| j, mi = j( j + 1)| j, mi,ˆ

J3| j, mi = m| j, mi,ˆ

J+| j, mi =p( j −m)( j +m+1) | j,m+1i,ˆ

trong đó j = 1

2(na+ nb) và m = 12(na− nb), với N = na+ nb là tổng số hạt photoncủa hai mode j = N/2

2.1.2 Trạng thái kết hợp SU(2)

Trạng thái kết hợp SU(2) được định nghĩa

|ζ , ji = exp(β ˆJ+− β∗Jˆ−) | j, − ji, (2.8)trong đó β = γ/2 exp(−iψ) (0 ≤ γ ≤ π, 0 ≤ ψ ≤ 2π) và ζ = tan(γ/2)exp(−iψ).Trạng thái kết hợp SU(2) được đưa ra (theo phụ lục B.4)

Trạng thái SU(2) không trực giao với nhau ( theo phụ lục B.5)

h j, ζ1|ζ2, ji = (1 + ζ1∗ζ2)

2 j

(1 + |ζ1|2)j(1 + |ζ2|2)j (2.11)2.2 Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

Chúng ta định nghĩa trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chẵn lẻ là sự chồngchập trạng thái hai mode kết hợp SU(2) của biểu thức (2.9) khác nhau về pha của

ζ một lượng eiφ Chúng ta xây dựng sự chồng chập trạng thái dưới dạng

|ζ , j, φi ≡ N[|ζ , ji+ eiφ|−ζ , ji], (2.12)trong đó 0 ≤ φ ≤ 2π là một góc điều chỉnh và N là hệ số chuẩn hóa

Bây giờ ta chuẩn hóa hàm sóng để tìm N

mà ta có

h j, ζ |ζ , ji = h j, −ζ |−ζ , ji = 1, (2.14)mặt khác theo biểu thức (2.11)

|α−i = N−[|ζ , ji− |−ζ , ji], (2.17)trong đó

∑

n=0



N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

1 2

ζ2n+1|2n + 1, N − 2n − 1i

Vì đề tài này chúng tôi chỉ nghiên cứu về trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ nênsau đây chúng tôi chỉ kháo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái này cụthể là tính phản chùm và tính chất nén bậc cao

2.3 Các tính chất của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

2.3.1 Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ

Tính phản chùm hay còn được biết đến là tính chất phản kết hợp [9] Chúng

ta có thể hiểu một cách đơn giản là các trạng thái có tính chất phản chùm thì cácphoton của chúng là độc lập với nhau, cách xa nhau và không thể kết hợp vớinhau Để khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(2) lẻ, chúng tôi

sử dụng tiêu chuẩn để tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode đã được

đề cập đến trong nội dung chương 1

R(l, p) =

Dˆ

n(l+1)a nˆ(p−1)b

E+Dnˆ(p−1)a nˆ(l+1)b

E

Dˆ

n(l)a nˆ(p)b

E+Dnˆ(p)a nˆ(l)b

E − 1 < 0 , (2.19)với l ≥ p > 0 và

h ˆA(K)i = h ˆA( ˆA − 1) ( ˆA − K + 1)i = h ˆa†KaˆKi, (2.20)trong đó ˆA = ˆa†a Từ biểu thức (2.20) chúng tôi có thể viết cho hai mode a và bˆnhư sau

h ˆn(l)a i = h ˆa†lali, (2.21)

h ˆn(l)b i = hˆb†lbli (2.22)Đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chúng tôi có một số kết quả sau

N −1 2

∑

n=0



N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

1 2

(ζ∗)2n+1

×

N −1 2

∑

m=0



N!(2m + 1)!(N − 2m − 1)!

1 2

(ζ )2m+1

× hN − 2n − 1, 2n + 1| ˆa†laˆlˆb†pˆbp

|2m + 1, N − 2m − 1i

= 4|N−|2(1 + |ζ |2)N

N −1 2

∑

n=0



N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

1 2

(ζ∗)2n+1

×

N −1 2

∑

m=0



N!(2m + 1)!(N − 2m − 1)!

1 2

N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

Rab(l, p) =

"N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!



|ζ |22n+1 (2n + 1)!

(2n − l)!

(N − 2n − 1)!(N − 2n − p)!



|ζ |22n+1

Rab(l, p) =

"N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

tan2r

2n+1 (2n + 1)!

(2n − l)!

(N − 2n − 1)!(N − 2n − p)!

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

tan2r

2n+1 (2n + 1)!

(2n − 1)!

(N − 2n − 1)!(N − 2n − 1)!

tan2r

thấy tính phản chùm chỉ xảy ra khi tổng số photon hai mode N = 3 và giảm khi rtăng.

Hình 2.1: Sự phụ thuộc của R ab (1, 1) vào r với N = 7, 5, 3 (Các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh lục và đường màu xanh lam.)

2.3.1.2 Trường hợp l=2, p=1

Trong trường hợp này, ta thay l = 2, p = 1 vào biểu thức (2.26) ta được

Rab(2, 1) =

"N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

tan2r2n+1 (2n + 1)!

(2n − 2)!

(N − 2n − 1)!(N − 2n − 1)!

thấy tính phản chùm chỉ xảy ra khi N = 3 và giảm khi r tăng.

Hình 2.2: Sự phụ thuộc của Rab(2, 1) vào r với N = 7, 5, 3 (Các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh lục và đường màu xanh lam.)

2.3.1.3 Trường hợp l=2, p=2

Trong trường hợp này, ta thay l = 2, p = 2 vào biểu thức (2.26) ta được

Rab(2, 2) =

"N −1 2

∑

n=0

N!(2n + 1)!(N − 2n − 1)!

tan2r

2n+1 (2n + 1)!

(2n − 2)!

(N − 2n − 1)!(N − 2n − 2)!