CHUYEN DE HINH HOC LOP 10 THPT

Vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.. Trục tọa độ trục số là một đường thẳng trên đó đã

Chương I VEC-TƠ

I CÁC ĐỊNH NGHĨA

1.Định nghĩa

Vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối

Kí hiệu: MN

Trong đó M là điểm đầu, N là điểm cuối

Vec-tơ -không

Vec-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vec-tơ –không

2 Hai vec-tơ cùng phương, cùng hướng

Hai vec-tơ cùng phương: Hai vec-tơ cùng nằm trên hai đường thẳng trùng nhau hoặc

hai đường thẳng song song

Hai vec-tơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng

Lưu ý: Ta quy ước vec-tơ –không cùng hướng với mọi vectơ

3 Hai vec-tơ bằng nhau

Hai vec-tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Nếu vec-tơ a và b bằng nhau thì ta viết ab

Lưu ý : Vectơ-không kí hiệu 0

II TỔNG CỦA HAI VECTƠ

1 Định nghĩa

Cho vec-tơ a và b Lấy một điểm A nào đó rồi xác định điểm B và C sao cho ABa,

BCb Khi đó vec-tơ AC được gọi là tổng của hai vec-tơ a và b

Kí hiệu : c a b

2 Các tính chất của phép cộng vectơ

Tính giao hoán : a b  b a

Tính kết hợp :  a b    c a  b c

Tính chất của vectơ-không : a 0 a

3 Quy tắc

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P bất kì ta luôn có MNNPMP

Quy tắc hình bình hành

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA OC OB

4 Kiến thức bổ sung

M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA MB 0

M là trung điểm đoạn thẳng AB và O là một điểm bất kì thì 2OM OA OB

G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GC  0

G là trọng tâm tam giác ABC và O là một điểm bất kì thì 3OGOA OB OC 

G là trọng tâm tứ giác ABCD và O là một điểm bất kì thì 4OGOA OB OC  OD

5 Bài tập áp dụng

1 Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C D ta có ACBD AD BC

2 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính độ dài của vec-tơ tổng ABAC

3 Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh MA MB 0

Giải

0MM MA AM MA MB ( Vì AM , MB là hai vec-tơ cùng hướng, cùng độ lớn)

4 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GA GB GC  0

III TỔNG HAI VECTƠ

1 Vec-tơ đối của một vectơ

Nếu tổng hai vec-tơ a và b là vectơ-không, thì ta nói a là vec-tơ đối của b, hoặc b là vec-tơ đối của a

Nhận xét :

- Hai vec-tơ đối nhau là hai vec-tơ ngược hướng và cùng độ lớn

- Vec-tơ đối của vec-tơ 0 là vec-tơ 0

- Vec-tơ đối của vec-tơ AB là vec-tơ BA

2 Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vec-tơ a và b là tổng của vec-tơ a và vec-tơ đối của vec-tơ b

Kí hiệu : a b

3 Quy tắc hiệu hai vectơ

MNON OM

4 Bài tập áp dụng

Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB CD  AD CB

Giải

Cách 1 AB CD AD DB CB BD   AD CB DB DB   AD CB

Cách 2 AB CD OB OA OD OC   OB OC OD OA CB    AD

IV TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

1 Định nghĩa tích của một số với một vectơ

Tích của vec-tơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu ka, được xác định như sau:

- Nếu k0thì vec-tơ ka cùng hướng với vec-tơ a

- Nếu k0thì vec-tơ ka ngược hướng với vec-tơ a

Độ dài vec-tơ ka được kí hiệu k a

Phép lấy tích của một số với một vec-tơ với một số gọi là phép nhân vec-tơ với một số

Nhận xét: a1 ; a   a 1.a

2 Tính chất của phép nhân vec-tơ với một số

Với hai vec-tơ a b, bất kì và mọi số thực k, l ta có

   

0

k ka

a





  





Bài tập áp dụng

1.Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M

bất kì, ta có MA MB 2MI

Giải

- I là trung điểm AB Chứng minh: Điểm M bất kì, MA MB 2MI

Áp dụng quy tắc hình bình hành , ta có MA MB MD; mà MD2MI ( tính chất hình bình hành ) Suy ra MA MB 2MI

- Điểm M bất kì, MA MB 2MI Chứng minh: I là trung điểm AB

Ta có: MA MB MIIA MI IB2MIIA IB ; mà MA MB 2MI (gt)

Suy ra IA IB 0

Vậy: I là trung điểm của AB

3 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có

3

MA MB MC   MG

Giải

MA MB MC  MG GA MG GB MG GC      MG GA GB GC    MG

3 Điều kiện để hai vec-tơ cùng phương

Vectơb cùng phương với vec-tơ a  a0 khi và chỉ khi có số k sao cho bka

Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Điều kiện để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho ABk AC

Bài tập áp dụng

1.Cho tam giác ABC có trực tâm h, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

a Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AH2OI

b Chứng minh OHOA OB OC 

c Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng

Giải

a Kẻ đường kính AK

Ta có: BH // CK ( cùng vuông góc KC )

CH // BK ( cùng vuông góc AB )

Suy ra BHCK là hình bình hành

Mà I là trung điểm của BC

Suy ra I là trung điểm IK

Mà O là trung điểm AK

Suy ra OI là đường trung bình tam giác AKH

1

2 2

b Ta có : OB OC 2OI ( tính chất hình bình hành )

Suy ra : OB OC  AHOB OC OA  AHOAOB OC OA   AHAOOH

c OA OB OC  3OG GA GB GC   OA OB OC  3OGOH 3OG

Vậy ba điểm O, G, H thẳng hàng

Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơ-le

2 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho 1

5

AK  AB

a Hãy phân tích AI AK CI CK, , , theo aCA b, CB

b Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng

Giải

a Kẻ trung tuyến AD của tam giác ABC

ADCD CA  CB CA  b a

AI  AD b a

b ( tự giải )

4 Biểu thị một vec-tơ qua hai vec-tơ không cùng phương

Cho a và b là hai vec-tơ không cùng phương Khi đó mọi vec-tơ xđều có thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vec-tơ a và b , nghĩa là có duy hất cặp số m và n sao cho

xna mb

V TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1.Trục tọa độ

Trục tọa độ ( trục số ) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một

vec-tơ i có độ dài bằng 1

Trong đó :

Điểm O gọi là góc tọa độ, vec-tơ i gọi là vec-tơ đơn vị

Trục tọa độ được kí hiệu O i;

Tọa độ của vec-tơ trên trục

Cho vec-tơ u nằm trên  O i; Khi đó vec-tơ uaithì số a được gọi là tọa độ của u

trên  O i;

Tọa độ của điểm trên trục

Cho điểm M nằm trên  O i; Khi đó vec-tơ OM mi thì số m được gọi là tọa độ của

điểm M trên  O i;

Độ dài đại số của vec-tơ trên trục

Nếu hai điểm A và B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vec-tơ AB được kí hiệu là AB

và được gọi là độ dài đại số của vec-tơ AB trên trục Ox

Trên trục số :

ABCDABCD

AB BC  ACAB BC AC

2 Hệ trục tọa độ

Hai hệ trục Ox và Oy vuông góc với nhau

Vec-tơ đơn vị trên trục Ox là i , vec-tơ đơn vị trên trục Oy là j

Điểm O được gọi là góc tọa độ, trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là

trục tung

Hệ trục tọa độ được kí hiệu Oxy hay O i j; ; 

Trong một mặt phẳng đã cho ( đã chọn ) một hệ trục tọa độ ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ

3 Tọa độ của vec-tơ đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu a xi y j thì cặp số  x y; được gọi là tọa độ của vec-tơ a

Kí hiệu : a x y; hay a x y ;

Ví dụ : Đối với hệ trục tọa độ O i j; ;  ; hãy chỉ ra tọa độ của các vec-tơ

1 0; ; ; ; 2 ; 3 ; 3 0.14

3

Hai vec-tơ bằng nhau

Cho a x y ;  và b x y  ;  a b x x







    



4 Biểu thức tọa độ của các phép toán vec-tơ

Cho a x y ;  và b x y  ; 

a b  xx y y ; a b xx y; y

 ; 

k a kx ky

Điều kiện hai vec-tơ cùng phương

Cho a x y ;  và b x y  ;  khác vec-tơ 0

Vec-tơ a cùng phương với vec-tơ b khi và chỉ khi x kx

 



  



Bài tập áp dụng

1 Cho a3; 2 và b4; 5

a Hãy biểu thị vec-tơ a b; qua hai vec-tơ i; j

b Tìm tọa độ của các vec-tơ c a b ; d 4 ; a u4a b

2 Xét mỗi cặp vec-tơ sau có cung phương không?

a a0; 5 ;  b1; 7

b e4; 8 ;   f 0.5; 1

5 Tọa độ của điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của vec-tơ OM được gọi là tọa độ của điểm M Cặp số  x y; được gọi là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM  x y;

Ta viết: M x y ; hoặc M  x y;

Số x được gọi là hoành độ của điểm M, số y được gọi là tung độ của điểm M

Tọa độ của vec-tơ

Cho điểmA x y A; A và điểm B x y B; B thì ABx Bx A;y By A

6 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

2

B A M

;

2

B A M

Tọa độ trọng tâm của tam giác

G là trọng tâm của tam giác ABC thì

3

A B C G

;

3

A B C G

Bài tập

1 Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M7; 3  qua điểm A 1; 1

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A  1; 0 ; B 0; 4 ;   C 1; 3

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A2; 0 ;  B 0; 4 ;   C 1; 3

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

c Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của tam giác ABC

4 Cho a1; 1 ,   b2; 1 Hãy phân tích c4; -1 theo a và b

Giải

2 ;

1

m n

 



          



Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG

I TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ

1 Định nghĩa

Nửa đường tròn đơn vị

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vể phía tung độ dương, ta vẽ đường tròn tâm O, bán kính

1

R , đường kính thuộc trục x Ox Nửa đường tròn ấy được gọi là nửa đường tròn đơn vị

Tỉ số lượng giác của một góc bất kì

Với mỗi góc  0 o   180o, xác định điểm M sao cho MOx Giả sử điểm

 ; 

M x y , ta có

sin y cos x tg y x 0 cotg x y 0

Chen hình vào

Ví dụ Tìm giá trị lượng giác của góc 135o

2 Hệ thức cơ bản

sin

tan

cos









2

2

1

cos

Chú ý: 0sin1; 1 cos  1

cos cot

sin







 tan cot 1 sin cos 0

2

2

1

1 cot sin 0

sin

3 Tỉ số lượng giác một số góc đặc biệt



o

2

2 2

3

2

2 2

1

4 Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau và bù nhau

Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau

sin 180 sin cos 180 cos tan 180 tan cot 180 cot

o o o o

o o o

o

Bổ sung

Hai góc hơn kém 180o Hai góc hơn kém 90o

sin 180 sin cos 180 cos tan 180 tan cot 180 cot

o o o o

o o o

o

  

  

  

5 Bài tập áp dụng

1 Chứng minh rằng

a sin2cos2 1

2 Cho tanx 5, tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc x

3 Tính giá trị biểu thức

1 2 4 5 87 88 89

cos10 cos 20 cos30 cos 40 cos150 cos160 cos170

cos1 cos 2 cos3 cos 4 cos178 cos179 cos180

o o o o o o o

Q

R





II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ

1 Góc giữa hai véc-tơ

Cho a0; b0 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OAa OB; b

Khi đó  a b, AOB với 0oAOB180o;  a b, gọi là góc giữa hai véc-tơ a và b

Chú ý:

b a

b

a

O

B A

 a b, 90o  a b

 a b, 0o a b, cùng hướng

 a b, 180o a b, ngược hướng

   a b,  b a,

2 Tích vô hướng của hai véc-tơ

Định nghĩa a b  a b cos a b,

Đặc biệt: a a a2  a2

Tính chất

Với a b c, , và  k

 

  

2 2

2 2

 

a b  a b nhọn a b  0  a b, tù a b  0  a b, vuông

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho aa a1, 2; bb b1, 2 Khi đó

 

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2



Cho A x y A; A, B x y B; B Khi đó   2 2

B A B A

4 Kiến thức bổ sung

4.1.Trong ABC:

BC ACABBC  ACAB khai triển hằng đẳng thức ta được

1

2

4.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A x y A; A, B x y B; B; C x y C; C không thẳng hàng

- Điểm I x y I; I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC AI BI CI

Giải hệ phương trình AI BI





 

?

?

I I

x y





 



D M H

C B

A

- Điểm H x H;y H là trực tâm của ABC . 0

AH BC

BH AC



 





AH BC

BH AC







?

?

H H

x y





 



- Điểm K x K;y K là chân đường cao AKcủa ABC AK BC. 0



 





Giải hệ phương trình ẩn số k ? tìm ?

?

K K

x y





 



- Điểm D x D;y D là chân đường phân giác hạ từ đỉnh A Ta có BD AB

AC

kiến thức hai véc –tơ bằng nhau để tìm ?

?

D D

x y





 



III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC có BCa ABc ACb AHh BHc HC b

Ta có:

2 2 2

Tỉ số lượng giác

2 Hệ thức lượng trong tam giác thường

Cho ABC có

-BC a ABc ACb

- Ba đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt là: h A, , h B h C

- Ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là: m A, m B, m C

- Ba đường phân giác kẻ từ A, B, C lần lượt là: l A, , l B l C

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác lần lượt là: R, r

- Đường trong bàng tiếp ABC: Đường tròn có tâm nằm trên đường phân giác của một góc và tiếp xúc ngoài với ba cạnh của tam giác Trong đó r A, , r B r C là bán kính đường tròn bàng tiếp có tâm nằm trên đường phân giác góc A, góc B, góc C

- Chu vi : P Nửa chu vi : pP: 2

Định lí côsin

2 2 2 2 cos 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 cos

Định lí sin

H

C B

A

R

Độ dài đường trung tuyến

Một số công thức bổ sung

tan tan tan

cot cot  cot cot  cot cot 

Diện tích tam giác

abc

R

S pr p a r  p b r  p c r  p p a p b p c

 2

2 2 1

2

ABC

Hệ thức lượng trong đường tròn

Cho đường tròn ( O, R ) và điểm M cố định

- Từ điểm M vẽ hai cát tuyến MAB và MCD

M O MA MBMC MDMO R

P

- Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MT

 

2 2 2

/

M O MT MO R

P

Chương III PHƯƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Định nghĩa véc-tơ

Véc-tơ chỉ phương

a được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng khi và chỉ khi a 0 và a có giá trùng hoặc song song với đường thẳng

Véc-tơ chỉ phương

n được gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng khi và chỉ khi n 0 và giá của véc-tơ n vuông góc với đường thẳng

Lưu ý: n a b; a b a; a b; a

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

Ax By C 0

trong đó: 2 2

0

Định lí

o o

Lưu ý:

i qua M x y o; o và có VTPT n A;0 :x x o

ii qua M x y o; o và có VTPT n 0;B :y y o

iii Hai đường thẳng vuông góc thì tọa độ vec-tơ chỉ phương của đường thẳng này là tọa độ vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia

Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình đường thẳng Tính chất đường thẳng

0

0

0

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

;0 0 ;

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc ( hsg ) k

+ Hệ số góc k

k tan với là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox theo chiều dương- ngược

chiều kim đông hồ

tan a

k 0 là góc tù và 180o tan 1a

k 0 0o khi đó // Ox Ox

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ Lập phương trình đường thẳng Biết đi qua A 2;0 và B 1;4

Giải

Ví dụ Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 1 , B 1;3 , A 2; 4

a Viết phương trình tổng quát ba cạnh của tam giác

b Viết phương trình tổng quát của ba đường cao trong tam giác tam giác

c Viết phương trình tổng quát của ba đường trung tuyến trong tam giác tam giác

( tự giải)

Ví dụ Cho A 1;2 , B 3;4 Tìm điểm C trên đường thẳng d :x 2y 1 0sao cho

tam giác ABC vuông tại C

Giải

Gọi C x y c; c

Tam giác ABC vuông tại C CACB 0

4

5

Vậy 3;2 3 4;

5 5

Ví dụ Lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C 4; 1 , đường cao và đường trung tuyến lần lượt có phương trình là 2x 3y 12 0;