bài tập xs thống kê

a Nếu ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3 thì xác suất để chọn được sản phẩm loại B là bao nhiêu.. b Nếu ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3, hãy tính xác suất để có ít n

B không phải trúng 1 phát; B : không phải chỉ trúng hai phát 2

b) Hai biến cố A B không xung khắc vì hai biến cố này có thể cùng xảy ra 1; 1trong trường hợp cả 5 phát đều trật

a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu=E

b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu=F

c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu=G

d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu=H

Giải

5 Kiểm tra lần lượt từng sản phẩm trong kho cho đến khi nào thấy sản phẩm hỏng thì

dừng kiểm tra Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ i là sản phẩm hỏng

Biểu diễn các biến cố sau qua Ai

6 Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm Lấy 4 sản phẩm từ hộp để kiểm

tra Gọi A=”có không quá hai phế phẩm”; B=”có hơn 3 phế phẩm”

a) Mô tả A B; Chứng minh A B   Mô tả biến cố A+B; A\B

4 3 1 2 2

5 5 5 5 5

4 101

8 Trong một hộp có 15 bóng đèn trong đó có 3 bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự

không hoàn lại 3 bóng để dùng Tìm xác suất để:

A

A b)

3 12 3 15

A

A c)

3 3 3 15

1 A

A d)

2 1

12 3 3 15

A A A

9 Trong tủ có 8 đôi giày Lấy ngẫu nhiên ra 4 chiếc Tính xác suất sao cho trong các

chiếc giày lấy ra

a) Không lập thành đôi nào cả?

b) Có đúng một đôi giày?

Đáp số

a)

4 4 8 4 16

2

C

1 2 2

8 7 4 16

2

C C

10 Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm là phế phẩm Kiểm tra ngẫu

nhiên lần lượt 6 sản phẩm không hoàn lại Nếu có ít nhất một phế phẩm thì không mua lô hàng Tìm xác suất lô hàng được mua

11 Một nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem tennis của những người có gia

đình Từ số liệu thu được anh ta kết luận: 60% các ông chồng thích xem tennis; nếu chồng thích xem tennis có 40% các bà vợ cũng thích xem tennis; nếu chồng không thích xem tennis có 30% các bà vợ thích xem tennis Chọn ngẫu nhiên một cặp vợ chồng

a) Tính xác suất vợ thích xem tennis

b) Biết vợ thích xem tennis, xác suất chồng thích xem tennis là bao nhiêu

Đáp số a) 0,36 b) 2/3

12 Ba công nhân cùng làm ra một loại sản phẩm, xác suất để người thứ 1, 2, 3 làm ra

chính phẩm tương ứng là 0,9; 0,7; 0,8 Một người trong đó làm ra 3 sản phẩm thì thấy có 1 phế phẩm Tìm xác suất để người này làm 3 sản phẩm tiếp theo có 1 chính phẩm

13 Một người mua vé số cào, người đó mua liên tiếp từng vé cho đến khi nào trúng thì

ngừng Tính xác suất người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01

Đáp số P F   0 99,  3 ,0 01

14 Trong một kho chứa cam có 42% cam Trung Quốc, 24% cam Thái Lan, 26% cam

Campuchia và 8% cam Việt Nam Trong số đó có một số cam hư gồm: 20% số cam của Trung Quốc, 10% số cam của Thái Lan, 12% số cam của Campuchia và 2% số cam của Việt Nam

a Tính xác suất để một người mua phải 1 trái cam TQ hư?

b Tính xác suất để một người mua phải 1 trái cam hư?

c Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy của CPC?

d Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy không của Việt Nam?

Đáp số: Gọi Ai là biến cố cam của TQ, TL, CPC, VN

H là bc cam bị hư a) P A H 1 0 42 0 2, * , 0 084,

15 Trong một cơ quan điều tra người ta dùng máy dò tìm tội phạm, kinh nghiệm cho

biết cứ 10 người bị tình nghi thì có 7 người là tội phạm Máy báo đúng người có tội với xác suất 0,85 Máy báo sai người vô tội với xác suất 0,1 Một người được máy phân tích Hãy tìm xác suất

a Máy báo người này là tội phạm?

b Người này thực sự có tội biết rằng máy đã báo có tội?

c Máy báo đúng?

Giải Gọi A là biến cố người bị tình nghi là tội phạm

T là bc máy báo người này là tội phạm

P A P T A

P A T

P T

Lấy ngẫu nhiên 1 bình và từ bình đó lấy ra 1 bi

a Tính xác suất để lấy được bi trắng?

b Biết rằng bi lấy ra là bi trắng Tính xác suất để bình lấy ra là loại 3?

17 Kiện hàng 1 có 5 sản phẩm loại A, 1 sản phẩm loại B Kiện hàng 2 có 2 sản phẩm

loại A, 4 sản phẩm loại B Từ mỗi kiện chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm đem giao cho khách hàng Sau đó các sản phẩm còn lại dược dồn chung vào kiện hàng 3 đang trống

a) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3 thì xác suất để chọn được sản phẩm loại B là bao nhiêu?

b) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3, hãy tính xác suất để có ít nhất

1 sản phẩm loại B trong 2 sản phẩm được chọn?

18 Một nhà máy sản xuất mainboard của máy vi tính có tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng

là 85% Trước khi xuất xưởng người ta dùng một dụng cụ để kiểm tra sản phẩm đó

có đạt chất lượng hay không? Thiết bị này có khả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt chất lượng với xác suất 0,9 và phát hiện đúng sản phẩm kém chất lượng là 0,95 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và cho thiết bị này kiểm tra Tính xác suất:

a) Sản phẩm không đạt chất lượng biết rằng thiết bị đã kết luận nó đạt chất lượng

b) Sản phẩm được thiết bị kết luận đúng với thực chất của nó

c) Sản phẩm được thiết bị kết luận là đạt tiêu chuẩn

19 Biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B, AB trong cộng đồng tương ứng là: 34%;

37%; 21% và 8% Người có nhóm máu O, A, B chỉ có thể nhận được nhóm máu cùng loại với mình hoặc của người có nhóm máu O; còn người có nhóm máu AB

có thể nhận máu từ bất kì người có nhóm máu nào Chọn ngẫu nhiên một người cho máu và một người nhận máu

a) Tính xác suất việc truyền máu được thực hiện

b) Giả sử việc truyền máu đã được thực hiện Tính xác suất người cho có nhóm máu A?

c) Giả sử việc truyền máu đã được thực hiện Tính xác suất người nhận có nhóm máu B?

Đáp số.a) P T 0 5738, b) P A T 1 0 2902, c) P B T 2 0 2013,

20 Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%

Mỗi sản phẩm sản xuất ra được lần lượt qua 2 lần kiểm tra độc lập

+ Lần 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90%, và nhận biết sai một phế phẩm là 3%

+ Lần 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95%, và nhận biết đúng một phế phẩm là 98%

Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu trong cả 2 lần kiểm tra được coi

là chính phẩm Tính xác suất để:

a) Một phế phẩm được đưa ra thị trường

b) Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra

c) Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ xí nghiệp được đưa ra thị trường

d) Một sản phẩm được đưa ra thị trường là phế phẩm

P F P T F P T F

P F T T

P T T

21 Một hộp có 8 viên bi gồm 2 màu đỏ và xanh Các giả thiết về số bi xanh và đỏ

trong hộp xem như là đồng khả năng Giả sử lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp thì thấy có 3 bi đỏ và một bi xanh Hoàn lại 4 bi đã lấy vào hộp Tính xác suất khi lấy tiếp 3 viên bi nữa từ hộp thì có 1 đỏ và 2 xanh

Giải

Gọi Ai là bc có i bi đỏ trong hộp Ta có i=1,2,…7

Gọi F là biến cố lần 1 lấy ra 4 viên bi thì có 3 đỏ và một xanh

22 Tỉ lệ mắc bệnh tim ở một vùng là 6% Việc chẩn đoán một người có bị bệnh tim

hay không được thực hiện qua 2 xét nghiệm Nếu xét nghiệm 1 kết luận có bệnh thì mới tiến hành tiếp tục xét nghiệm 2 Khả năng chẩn đoán đúng của xét nghiệm 1 là 85% đối với người mắc bệnh và chẩn đoán sai với người không có bệnh là 2% Ở xét nghiệm 2, khả năng kết luận đúng với người có bệnh là 99% và chỉ có 1% người không có bệnh bị kết luận là có bệnh Một người bị kết luận là có bệnh nếu

cả 2 xét nghiệm đều kết luận có bệnh

a) Gọi biến cố và xác định các xác suất đề bài cho

b) Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng và kiểm tra như trên Biết rằng người này đã bị kết luận là có bệnh Tính xác suất người này thực sự không

có bệnh

Đáp số

Gọi T là biến cố một người trong vùng bị bệnh tim

Gọi N1; N2 là biến cố xét nghiệm lần 1; lần 2 kết luận là có bệnh

23 Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao

dịch xác suất giá tăng lên một đơn vị là p và xác suất giảm một đơn vị là (1-p) Sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập nhau

a) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch thì giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị

b) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn

vị Tính xác suất giá tăng trong phiên giao dịch thứ 2

Giải

Gọi A i là biến cố phiên thứ i tăng giá

Gọi X là số phiên tăng giá trong 3 phiên Ta có: X  B3;p

2

23

24 Bắn 3 phát đạn vào máy bay với xác suất trúng tương ứng là 0,4; 0,5; 0,7 Nếu

trúng một phát thì xác suất máy bay rơi là 0,2 Nếu trúng hai phát thì xác suất máy bay rơi là 0,6 Nếu trúng cả 3 phát thì xác suất rơi là 1 Tính xác suất máy bay rơi

Hướng dẫn Gọi A i là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng

i

S là biến cố có i viên trúng máy bay

F là bc máy bay rơi

Giải Gọi A i là biến cố ô tô thứ i bị hỏng

X là số ô tô bị hỏng trong ngày X={0,1,2}

b) Tìm số sản phẩm loại 1 tin chắc nhất, số sản phẩm loại 1 trung bình trong 4 sản phẩm sản xuất ra

Giải

Gọi X1; X2 là số sản phẩm loại một do máy 1; máy 2 sản xuất ra

Gọi Y là số sản phẩm loại một trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất ra

a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X?

b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?

c) Tìm xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ phận bị hỏng?

6 Sản phẩm của một nhà máy khi sản xuất xong được đóng thành kiện 5 sản phẩm

Gọi X là số sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm X có bảng phân phối như sau:

a) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ một kiện ra 2 sản phẩm để kiểm tra Tìm

phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra

b) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất ra lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản

phẩm thì thấy có một sản phẩm loại A Tính xác suất để trong kiện này còn lại

2 sản phẩm loại A

c) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản

phẩm thì thấy có 1 sản phẩm loại A Tìm phân phối xác suất cho số sản phẩm

loại A có trong 2 sản phẩm còn lại của kiện

Giải

a) Gọi Y là số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra

Y=0,1,2 Y phụ thuộc vào X

Gọi Z là số sản phẩm loại A còn lại trong kiện

7 Một hộp có 10 sản phẩm Gọi X là số phế phẩm trong hộp, X có bảng phân phối xác suất như sau:

Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm Tìm luật phân phối xác suất của số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra

8 Có 2 lô sản phẩm Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lô 2 có 7 chính phẩm và

3 phế phẩm Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô 2 sau đó từ lô thứ 2 lấy

ra 2 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm được lấy ra

a) Tìm qui luật phân phối của X?

b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?

9 Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng Xác suất ném trúng của từng người tương ứng là 0,3 và 0,4 Người thứ nhất ném trước

a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ của mỗi người?

b) Tìm qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của hai người?

Giải

Gọi X là số lần ném rổ của người 1 Ta có: X=1,2,3…

Y là số lần ném rổ của người 2 Ta có: Y=0,1,2,…

Gọi A Bi; i là biến cố người 1, người 2 ném trúng rổ ở lần thứ i

10 Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác suất của X Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và P(X≥1)?

Giải Ta có: X  H100,90,3

11 Tung đồng xu 4 lần Nếu sấp thì được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng Gọi X là số tiền thu được sau 4 lần tung Tính E(X); Var(X)?

Giải Gọi Xilà số tiền thu được ở lần tung thứ i

Bảng phân phối xác suất của Xi là:

13 Có hai hộp sản phẩm: H1 có 7 tốt và 3 xấu, H2 có 8 tốt và 2 xấu

a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tìm xác suất để sai lệch giữa số sản phẩm tốt được lấy ra và kỳ vọng của nó nhỏ hơn 1

b) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 2 sản phẩm Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra Lập bảng phân phối xác suất của Y Tính Mod(Y), E(Y), Var(Y)

Giải

a) Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra Ta có: X=0,1,2,3

Bảng phân phối xác suất của X:

P

Giá trị kỳ vọng của X: E(X)=

Xác suất cần tìm:

b) Gọi Z1; Z2 là số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm lấy ra từ hộp 1; 2

Bảng phân phối xác suất:

15 XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A,

B một cách độc lập Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như sau:

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?

b) Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?

c) Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:

a Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?

b Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?

Giải

a) Ta có: E(XA)=9 E(XB)=7,5

b) Var(XA)= Var(X)=31,25

c) Gọi x là tỉ lệ đầu tư vào công ty A

Tỉ lệ đầu tư vào công ty B: (1-x)

Gọi Z là lãi suất thu được sau một năm Ta có: Z=x.XA+(1-x).XB

Sinh viên chú ý: Y là tổng của 250 biến ngẫu nhiên độc lập chứ không phải là tích của

250 với X, trong đó X là số tiền thu được của một xe qua cầu

17 Thống kê hàng năm cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông là 0,0055 vụ/năm Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 600 ngàn/năm và họ chi trả trung bình cho một vụ tai nạn xe máy là 50 triệu đồng Hỏi công ty kỳ vọng thu được bao nhiêu tiền trên mỗi hợp đồng bảo hiểm Biết rằng chi phí quản lý và các chi phí khác chiếm tới 30% số tiền bảo hiểm

18 Cho X1; X2; X3 là ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng ppxs như sau:

Tìm x 1 ,x 2 và p 1 biết E(X)=2,7 và V(X)=0,21 Biết x2  x1

23 Một người đi từ nhà đến cơ quan phải đi qua 3 ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư đó như sau: 0,2; 0,4 và 0,5 Hỏi thời gian người đó phải ngừng trên đường

là bao nhiêu Biết mỗi lần gặp đèn đỏ người đó phải đợi khoảng 3 phút

Giải

X là thời gian ngừng trên đường X=0,3,6,9 Đơn vị tính: phút

Ai là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 1,2,3 P(A1)=0,2 P(A2)=0,4 P(A3)=0,5

Ta có: P X   0   P A A A  1 2 3    1 0,2 1 0,4 1 0,5        0,24

Tương tự ta có:

450 1

b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình?

c) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút?

Giải

a) Do F(x) là hàm phân phối xác suất của bnn liên tục nên F(x) liên tục trên R

Thử lại với a=2 ta thấy F(x) thỏa mãn các tính chất của hàm phân phối xác suất Vậy a=2

Giải Xem chương 3 phần phân phối đều

27 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất như sau:

 



11

arctan2

Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên này?

Giải Xem phân phối lũy thừa chương 3

30 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

y y

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

1 Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng Nếu chào hàng

12 lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo qui luật gì? Tại sao?

Giải

X có qui luật phân phối nhị thức Vì:

+ Các lần chào hàng độc lập nhau

+ Xác suất bán được hàng là như nhau mỗi lần

2 Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm của nhà máy là 5% Lấy ngẫu nhiên lần lượt, có hoàn lại 100 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản phẩm

a) X có luật phân phối gì?

b) E(X), Mod(X)?

Giải a) X có phân phối Nhị thức Vì:

+ Lấy 100 sản phẩm lần lượt, có hoàn lại là 100 phép thử độc lập

+ Vì có hoàn lại nên xác suất lấy được phế phẩm mỗi lần đều không đổi

3 Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2 Lấy ngẫu nhiên

5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được

a) X tuân theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của qui luật?