PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy toán học phổ thông trung học ,để giúp học sinh say mê sáng tạo trong học toán cần phải làm cho học sinh hiểu rõ ,toán học không những là công
Trang 1PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy toán học phổ thông trung học ,để giúp học sinh say mê sáng tạo trong học toán cần phải làm cho học sinh hiểu rõ ,toán học không những là công cụ cho các môn khoa học tự nhiên mà còn được ứng dụng trong đời sống hàng ngày.Bên cạnh đó học toán giúp cho các em học sinh hình thành và phát triển tư duy lôgic, khả năng tìm tòi, tư duy sáng tạo, khả năng phân tích trong toán học và đời sống Từ đó giúp cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.Bài toán tích phân là một trong những bài toán nằm trong chương trình toán học phổ thông, là một dạng toán có ứng dụng thực tiễn cao.Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp hàng năm thường có các bài toán về tích phân hoặc sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể ngoài ra tích phân còn được sử dụng ở một số bài toán đại số tổ hợp.Tích phân là một trong những bài toán khó đối với học sinh và có bài cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính tích phân.Vì vậy khi gặp bài toán tích phân học sinh thường rất ngại, hoặc lúng túng không biết cách giải.Trong phạm vi nghiên cứu đề tài tôi chỉ đề cập đến vấn đề :Khi nào thì giải bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số (Đổi biến số về hàm số và ngược lại hàm số về biến số),hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần Qua đó giúp cho các em say mê sáng tạo
trong học toán ,hình thành và phát triển tư duy toán học.Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng và phát triển tư duy toán học qua việc giải một số bài toán tích phân”.Từ đó giúp các em biết cách giải tốt hơn, hiểu sâu hơn các bài toán
về tích phân nhằm nâng cao kết quả học tập của học sinh
PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN
1 Thực trạng vấn đề:
Khi gặp một số bài toán về tích phân học sinh còn lúng túng về cách giải quyết bài toán, các em không biết nên đổi biến như thế nào? Nên chọn cách giải nào cho phù hợp đối với các bài toán liên quan đến dùng phương pháp đổi biến số và bài toán về tích phân từng phần.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và kết quả học tập của học sinh?
2 Phương pháp nghiên cứu:Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:Học sinh trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp,
Đại học, Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp
4 Cách thực hiện:
- Đưa ra hệ thống lý thuyết tích phân
- Phân loại bài tập và phương pháp giải
5 Nội dung:
A CƠ SỞ KHOA HỌC:
1.Cơ sở lý thuyết:
1.1, Định nghĩa tích phân:
1.2, Các tính chất:
Trang 21.3, Bảng nguyên hàm:
1.4, Các phương pháp tính tích phân:
a Phương pháp biến đổi số
b Phương pháp tích phân từng phần
Trên đây là các kiến thức cơ bản trong chương trình trung học phổ thông
Ngoài ra cần trang bị thêm cho các em một số kết quả tích phân của hàm số chẵn,hàm
số lẻ:
* Hàm s ố chẵn :
Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số chẵn khi đó :
a a
a
dx x f dx
x f
0
) ( 2 ) (
* Hàm s ố lẻ:
Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số lẻ khi đó : ( ) 0
dx x f
a
a
Phương pháp chứng minh: Đặt t = - x
2.Cơ sở thực tiễn
Trong một số năm học trước đây khi chưa sử dụng đề tài thì kết quả học tập của học sinh phần này tương đối thấp.Qua quá trình dạy học ,tôi đã áp dụng đề tài vào các lớp mà tôi được phân công giảng dạy kết quả đáng khích lệ Từ chỗ các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này ,sau khi được học chuyên đề này học sinh không còn thấy lo ngại khi làm các bài tập về tích phân nữa ,mà các em lại say mê ,có hứng thú hơn,tự tin hơn khi làm bài
B.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
1 Phương pháp đổi biến số :
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức:
) (
) ( )
)].
( [
b u
a u x
b
a
du u f dx u x u f
Trong đó u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K Hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo 2 dạng sau đây:
Dạng 1: Đặt f(x) = t (Đổi hàm số về biến số)
Dạng 2: Đặt x = g(t) (Đổi biến số về hàm số)
Dạng 1:Sử dụng cách đặt t = f(x)
Trước khi làm bài học sinh cần nhận dạng bài tập để lựa chọn cách đặt Sau khi lựa chọn phương pháp đặt thì bài toán sẽ đưa về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn nhưng học sinh cần lưu ý đổi cận Sai lầm thường mắc phải của học sinh là sau khi đặt các em quên không đổi cận.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Tính tích phân : I x dx
2
0
3 8 4
Hướng dẫn giải
Trang 3Đặt 3 8 4x t x t3 dx 3t2dt
4
1 4
Đổi cận: x 0 t 2 ; x 2 t 0
16
3 4
0 4 3
2
0
t dt t
2
0
* Học sinh có thể dùng cách đặt: 8 4x t Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm Điều quan trọng là học sinh thành thạo sử dụng phép vi phân d[af(x)] f (x)dx
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1 I x x dx
0
sin cos 2 dx
x x I
e
1
1 ln
3 I 6 1 4sinxcosxdx
0
4 dx
x
x x
I
e
1
3 2 ln 2
ln
Ví dụ 2: Tính tích phân :
1
0
3
x
Hướng dẫn giải
Đặt 1 x 3 t 1 x3 t2 3x2dx 2tdt
Đổi cận x = 0 t 1; x=1 t 0 Khi đó
5
1 3
1 ( 3
2 ) 5 3
( 3
2 ) (
3
2 ) 1
(
3
2 1
0
1 0
5 3 1
0
4 2
t t tdt t t dt t t
1
0
3 5
x x dx
* Có thể giải theo cách khác như đặt 1 x 3 t.Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1 I 2 x x2dx
0
3 3 8
2
1
0
2
3 1 x dx x
3
2
0
3
2 1 x dx x
I 4 I x x 2xdx
2 /
0
6 1 cos 3 sin cos
Trang 4Ví dụ 3: Tính tích phân :
1
xdx
I
Hướng dẫn giải
Đặt 2x1 t 2x 1 t2 2dx 2tdt dxtdt
Đổi cận: x = 0 t 1 ; x =1 t 3
Khi đó:
2
3 3
1 ) 3
( 2
1 ) 1 ( 2
1
3
1
3 1
3 2
1 2
1
0
xdx x
*Có thể giải theo cách khác như đặt 2x + 1 = t Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm
Bài tập: Tính các tích phân sau:
x
x
3
0
2
1
1
2 dx
x
x
I
2
1 3
2
2 3 dx
x x
I
2
1 3 1
1
4
dx x x
I
4
6
2 cot
sin
1
5
3 ln
2 ln
2
1
x x
e
dx e
I 6
4
7x x2 9
dx
I 7
3
2
5 x x2 4
dx
I 8
3
1
2
1 ln
ln
e
x x
dx x
3
2 x2 1
dx I
Những tích phân có biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn ở mẫu nhưng sử dụng cách đặt ở trên không được thì ta cần chọn cách đặt khác như:
Ví dụ 4: Tính tích phân :
1
0 x2 4
dx
I
Hướng dẫn giải
t
dx x
dt dx x
x x dt dx x
4
1 4
4 )
4 1
(
2 2
2
Đổi cận x 0 t 2 ; x 1 t 1 5
Khi đó
2
5 1 ln
ln 1 5 2
5 1
2
dt t t
4
1
x dx
Bài tập: Tính các tích phân sau:
Trang 51
3
2 x2 1
dx
I 2
1
2
1
x
dx x
3
1
0 x2 a
dx
I ( a > 0) 4
1
dx I
Ví dụ 5: Tính tích phân :
a I x x x dx
0
2
cos sin b I x x dx
2
0
3
x x
x
I
2
0 sin cos
cos
Hướng dẫn giải
a Đặt t x dx dt Đổi cận x 0 t ;x t 0 Khi đó :
I dx x x dt
t t t dt t t dt
t t t
0
2 0
2 0
2 0
cos sin
)
(
3
1 cos
cos cos
sin
0
2 0
3
I
b Đặt t 2 x dx dt Đổi cận x 0 t 2 ;x 2 t 0
Khi đó I t t dt t dt t t dt x dx I
2
0 3 2
0 3 2
0 3 2
0
cos ) 2 (
3 (
sin ) sin 1 (
0 3 2
0
2 2
0
c Đặt x t dx dt
2
Đổi cận x 0 t / 2 ;x / 2 t 0
x x
x dt
t t
t
2
0
2
sin cos
sin sin
.Do đó
4 2
cos sin
sin cos
sin
cos
2 0
2 0
2
0
I
* Đối với những bài tập dạng này cần nhắc học sinh chú ý dựa vào cận của tích phân
để lựa chọn cách đặt cho phù hợp.Sau khi đặt xong thường đưa về tích phân ban đầu hoặc tích phân đơn giản hơn,dễ giải hơn
Bài tập: Tính các tích phân sau:
Trang 61 dx
x x
x x
I
2
0
3
) sin (cos
sin 4 cos
5 2 I 2( cosx sinx)dx
0
3 I 4ln(1 tanx)dx
0
4 I xf x dx
2
0
)
x
x I
x
2
0
cos 1
cos 1
) sin 1 ( ln
Ví dụ 6: Tính tích phân : dx
x
x x
2
0 cos 1
2 sin cos
Hướng dẫn giải
Đặt 1 cosxt dt sinxdx Đổi cận x 0 t 2 ;x / 2 t 1
t
t
I
2
1
2
) 1 (
1 2
2
1
Bài tập: Tính các tích phân sau:
x
x
I
4
0
2
1 2
sin
sin
2
1
2 I x e x x dx
4
0
sin cos ) (tan
3 I x x dx
3
0
2 tan
sin
4 dx
x x
x
2 cos
x x
x
x
4
0 sin 2 2 ( 1 sin cos )
) 4 sin(
Ví dụ7: Tính tích phân : I x x dx
3 1
sin 2
Hướng dẫn giải
* Ta có f(x) sin 2 xlà hàm số chẵn Đặt x t dx dt Đổi cận
I dt t dt
t dt
t dt
t dt
t
2 2
2 2
2
sin 2 1 3
sin sin
1 3
sin 3 1
3
) (
sin
Trang 7
0
) 2 sin 2
1 ( ) 2 cos 1
(
* Hoặc đặt x t dx dt Đổi cận x t ;x t Khi đó:
I dt t dt
t dt
t dt
t dt
t
t
) 2 cos 1 ( 2
1 1 3
sin sin
1 3
sin 3 1
3
) (
2 2
2
(1 cos2 ) (21 41sin2 )
2
1
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.I x x dx
2
/
2
/
2
1 5
2 sin
2 I x x x dx
4 /
4 /
6 6
1 6
cos sin
3.Bài tập tổng quát: Tính tích phân dx
a
x f I
b
b x
1
) (
f(x) liên tục và chẵn [-b;b]
a > 0 ; a khác 1
* Thông qua một số bài tập trên học sinh trở nên thành thạo hơn trong việc tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng này
Dạng 2:Sử dụng cách đặt x = g(t)
* Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa căn bậc 2 mà biểu thức trong căn là 1-x2
hoặc a 2 x2(a>0) Phương pháp chung là:
+ Đặt x = sint hoặc x = asint với
2
; 2
t
+ Đặt x = cost hoặc x = acost với
2
; 2
t
Vì mối quan hệ trong hệ thức:cos 2 sin 2 1
x ,từ bài toán liên quan đến biểu thức đại số chuyển về bài toán liên quan đến biểu thức lượng giác đơn giản hơn dễ giải hơn.
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
1
0
2
x
Hướng dẫn giải
Trang 8Cách 1:Đặt x= sint
2
; 2
t dx costdt Đổi cận x = 0 t 0;x=1
2
t
2
0
2
0 2 2
0
2 2
2
4 cos 1 4
1 2
sin 4
1 cos
sin
dt
t tdt
tdt
16 )
4 sin 32
1 8
1 ( ) 4 cos
1
(
8
1 2
0
1
0
2
x x dx
Cách 2: Đặt x= cost
2
; 2
t học sinh tự làm,vì các em đã nhận biết được cách đổi biến số dạng này
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
2
2
1 x dx
x
I 2 dx
x
x
2
1 2
2
4
3
1
0
2
3 1 x dx
x
I 4
4
0
2
sin 1 cos tan
dx x x
x I
* Nếu hàm số dưới dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a 2 x2
hoặc căn bậc hai của a 2 x2 (a > 0)Phương pháp chung là :
+ Đặt x = a tant với )
2
; 2 (
t
+ Đặt x = a cott với )
2
; 2 (
t
Vì mối quan hệ trong hệ thức:
2
sin
1 cot
1
; cos
1 tan
quan đến đa thức phức tạp các em sẽ chuyển về bài toán dạng lượng giác đơn giản hơn ,dễ hiểu hơn,dễ giải hơn.
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
2
0
x
dx
I b
0
1
2 2x 2
x
dx
Hướng dẫn giải
Trang 9a
2
0
x
dx
I Đặt x 2 tant ; )
2
; 2 (
t ; dx 2 ( 1 tan 2t)dt
Đổi cận: x = 0 t 0; x 2 t4
Khi đó
8
2 2
2 2
2 )
tan 1 ( 2
) tan 1 (
0 4
0
4
0
2
2
0
1
2 0
1
2 2 2 (x 1 ) 1
dx x
x
dx
2
; 2 (
Đổi cận: x 1 t 0; x 0 t4
Khi đó
4 tan
1
) tan 1
0
4
0
2
2
* Thông qua ví dụ a,b từ bài toán với các biểu thức đa thức phức tạp các em học sinh
dễ dàng chuyển về bài toán dạng lượng giác đơn giản hơn,dễ giải hơn Đôi khi giáo viên có thể hướng dẫn để các em tìm ra quy luật từ đó có thể tự ra các đề bài tương tự
và tự làm
Bài tập:Tính các tích phân sau:
1
1
0
4
x
xdx
I 2
1
0 2
2
1
) 1 (
x
x
e
dx e
I
x
x x
x
1 sin
(
1
0
3 2
4
1
1
2 2 5
) 1 2 (
x x
dx x
* Có những bài tập các em phải dùng đổi biến hai lần như:
Ví dụ 3: Tính tích phân sau:
2
2x x2 1
dx I
Hướng dẫn giải
Đặt x2 1 y Đổi cận: x 2 y 1 ;x 2 y 3 Ta có:
3
1 2 3
1
dy y
y ydy
Trang 10Đặt y tant với )
2
; 2 (
Đổi cận: y 1 t4
3
3
y
.Khi đó
12 tan
1
) tan 1
4 3
4
3
4
2
2
*Với học sinh khá , giỏi ở ví dụ này các em có thể đặt gộp một lần
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1
6
2 x x2 3
dx
I 2
2
2x x2 1
dx I
Ví dụ 4: Tính tích phân sau:
2 6 2
1
4
2
1
) 1 (
x
dx x
I
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2 4
2
1
1 1 1
1
x x
x x
x
x dt
t x
x 1 ( 1 12)
Khi đó
2
0
t
dt
I Trở về ví dụ 2a
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1
0
6
2
1
x
dx
x
I 2 dx
x
x
1
0 6
4
1
1
3
2 5 1
1
2 4 2
1
) 1 (
x x
dx x
I
2.Phương pháp tích phân từng phần
Cơ sở của phương pháp tính tích phân từng phần là công thức:
b
a
b a b
a
dx x u x v x
v x u dx
x
v
x
u( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) Trong đó các hàm số u(x);v(x) có đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K
Vấn đề đặt ra là khi nào thì sử dụng tích phân từng phần ?,các em học sinh thường hay lúng túng Vì vậy tôi đã chỉ ra cho các em nhận xét sau để các em khéo léo đặt và
sử dụng đưa bài toán về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn,tạo cho các em say mê
Trang 11Nhận xét Khi gặp tích phân dạng
b
a
dx x Q x P
* Nếu P(x) là đa thức của x ,Q(x) là một trong các hàm số cosx; sinx ; a x thì ta thường đặt
dx x Q dv
x P u
) ( ) (
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a
1
0
2 2
) 1
( x e dx
b.I e x x 3xdx
2 /
0
sin
cos sin
2
c.
dx x x
x
I
4
0
2 2 3 ) sin 2
(
d I x x x dx
2 /
2 /
2
1 2
sin
Hướng dẫn giải
a Đặt
dx e dv
x u
x
2 2
) 1 (
x
e v
dx x
du
2 2
) 1 ( 2
4
1 4
1 2
1 2
1 2
1
0 2 1 0 2 1
0 2 1
0
b Đặt t sin 2x dt 2 sinxcosxdx
2
x
dt t
e
1
0
dt e dv
t u
t
1
e v
dt du
Khi đó e22
I
c Đặt
xdx dv
x x
u
2 sin
3 2
2
x v
dx x
du
2 cos 2
) 2 2 (
4
0
4 0
2
1 2
cos ) 3 2 (
2
1
I x x dx
4
0
2 cos ) 1 ( 2 3
Đặt
xdx dv
x
u
2 cos
1 1
1
x v
dx du
2 sin 2 1 1
4
1 8 1 2
sin 2
1 2
sin ) 1 ( 2
1 2
0
x xdx
x x
I
Vậy I 843
Trang 12d Ta có f(x) x2 sinx
là hàm số chẵn , đặt x = - t thì I t t dt t t t dt
2 /
2 /
2 2
/
2 /
2
1 2
sin sin
I dx x x I
dx x x dx
x x dx
x
2 /
0 2 2
/
2 / 2 2
/
2 /
2 2
/
2
/
1 2
sin sin
Do đó
dx x x dx x
x
2 /
0 2 2
/
0
Đặt
xdx dv
x
u
sin
2
x v
xdx du
cos 2
Khi đó I x x x x dx x x dx
2
0
2
0
2 0
2 cos 2 cos 2 cos
Đặt
xdx dv
x
u
cos
1
1
x v
dx du
sin 1
1
Ta tính được I 2
Bài tập:Tính các tích phân sau:
1
1
0
3
2 ) 1
( x e dx
2.I x dx
4
0
sin
3
8
0
4 cos 3
xdx x
I 4
dx x x
x
I
6
0
2 4 3 ) sin 2
2
(
5 I x x dx
4 0
2
sin
6
e
dx x x I
1
2
) ln (
7 I x x x dx
4
/
4
/
2
1 6
2 sin
* Nếu P(x) là đa thức của x hoặc x n
1
(n là một số hữu tỷ tuỳ ý),Q(x) = lnx thì ta thường đặt
dx x P dv x u
) ( ln
Ví dụ : Tính các tích phân sau:
a
2
1
ln ) 1 2
I b
2
1 2
ln
x
xdx
I
c
e
xdx x
x
I
1
2 2 3 ) ln
( d
3 /
6 /
2
cos
) ln(sin
dx x I
Hướng dẫn giải
a Đặt
dx x dv
x u
) 1 2 (
ln
x
du 1