Khóa luận tốt nghiệp toán Một số bài toán về đa thức

Lý do chọn đề tài Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là mộtđối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giảitích, lý thuyêt xấp xỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

MÔT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC

KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI

HOC • • • • Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học GVC Vương Thông

tới thầy V ư ơ n g T h ô n g đã tận, tình chỉ bảo, hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành

đề tài nghiên cứu này

Em xin chân thảnh cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo ừong tổ Đại

Số nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 nói chung, sự động viêngiúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành

đề tài

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian vànăng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận của emđược hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Nguyễn Thị Phượng

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa luận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tìnhcủa các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy V ư ơ n g T h ô n g Những nội dung này không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

LỜI CẢM ƠN

Nguyễn Thị Phượng

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là mộtđối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giảitích, lý thuyêt xấp xỉ, lý thuyết nội suy và lý thuyết tối ưu Ngoài ra các định

lý và các đặc trưng cơ bản của đa thức còn sử dụng nhiều trong toán cao cấp,toán ứng dụng

Các bài toán về đa thức được xem như những dạng toán khó ở trung học

cơ sở, được đề cập nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức chưa nhiều Các dạng về đathức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hóa đầy đủ cũng như đưa raphương pháp giải một cách tường minh

Với những lý do trên cùng vói sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy

V ư ơ n g T h ô n g , em xin chọn đề tài “Mợí s ố b à i t o á n v ề đ a t h ứ c ” làmkhóa luận tốt nghiệp

Trong khóa luận này có các nội dung sau:

Chương 1 : Một số kiến thức liên quan đến đa thức

Chương 2: Một số bài toán về đa thức

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những bài toán về đa thức trong Đại số sơ cấp

3 Đổi tượng nghiên cứu

Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp liên quan đến đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC 1.1 Vành đa thức môt ẩn

•

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

5

* Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị, kí hiệu là 1.

p = {(ao>ai>a n, ) , ừong đó C L ị G A , V i = 0,1, và a t = 0 hầu hết}

Nếu a n Ф 0 ( n > 0)thìn được gọi là bậc của /(%) Kí hiệu 7 1 = deg

f { x ) Đa thức không là đa thức không có bậc hoặc có bậc là: —00 Vành p

được gọi là vành đa thức ẩn JC trên A Kí hiệu: p = A [ x ]

1.1.2 Phép chia có dư Định lý 1

6

Cho A [ x ] là vành đa thức, A là một vành giao hoán Với hai đa thứcbất kì/(x), g ( x ) G A [ x ] và g ( x ) ф 0 luôn tồn tại duy nhất q ( x ) , r ( x ) €

A [ x ] sao cho:

/00 = g(pỏ.qOd+r(pc)

—Nếu r(x) = 0 thì f(x) : g(x) ữong A[x].

—Nếu r ( p c ) Ф 0, ta có deg r ( x ) < deg g ( x ) ; ta gọi q ( x ) là tìiương ; r ( x ) là dư trong phép chia f ( x ) cho g ( x ) ữong A

+) m = 1 thì а là nghiệm đơn của f { ọ c )

+) m = 2 thì а là nghiệm kép của f ( x )

Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bội củacác nghiệm (nếu có)

a) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên

Định lý 3 Nếu phân số tối giản ĩ - ( ( p , q ) = l ) là nghiệm của đa thức với

Nhận xét rằng các hệ số b 0 , b n là những số nguyên YÌ m là một số nguyên.

Ta có: f ( r r i ) = b n thay X bởi — ta được đẳng thức:

Я

Do đó:

p ~ m q là nghiệm của ф(х)

Theo định lý 3 thì p — m q là ước của B 0 = /(ш)

ii) Theo câu i) thì:

—Vói m = 1 thì(p — q ) / /(1)

8

—Với m =—1 thì (p + q) //(—1)

b) Nghiệm của đa thức hệ số

đối xứng Định nghĩa

Một đa thức/ộc) = a 0 x n + a ^ x 7 1 - 1 - í -1- C L n ^ x + a n được gọi là đa thức

đối xứng nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách hệ số đầu và hệ

số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là:

c a

a a

1.1.4 Đa thức bất khả quy

a) Định nghĩa

Cho T là một ừong các trường số c, M, Q Đa thức P(jt) G T[jc] được gọi

là đa thức bất khả quy (đa thức không phân tích được) ưên T nếu P(x) khác đathức 0 ; P(x) không khả nghịch và các ước của P(x) khả nghịch hoặc liên kếtvới Pộe)

Định lý 7

Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành hai đa thức hệ

số nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số hữu tỷ

c) Tiêu chuẩn Eisentein

Định lý 8

Cho P(x) = a 0 x n + a^x 7 1 - 1 Л -1- a n _ 1 x + CLn là một đa thức hệ số

nguyên Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

i) a0 không chia hết cho p

ii) Tất cả các hệ số khác a l t a 2, , C L n chia hết cho p

iii) C L n không chia hết cho p 2 .

Khi đó đa thức Pộe) không phân tích được ưong Ж [ х ]

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn

1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Bằng phương pháp qui nạp ta xây dựng được vành đa thức nhiều ẩn trên

1

Nói cách khác một đa thức đối xứng, nếu nó không thay đổi khi thay đổi các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.

b) Ví dụ

Một số đa thức đối xứng cơ sở:

Định lý 9 (Định lý cơ bản cho những đa thức đối xứng)

Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đốixứng cơ bản và sự biểu diễn này là duy nhất

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VÈ ĐA THỨC

13

2.1 Môt số bài toán về đa thức môt ẩn

2.1.1 Bài toán chia hết

* Phương pháp 2: Phương pháp quy nạp

* Phương pháp 3: Phương pháp đồng dư

Vậy khẳng định được chứng minh đúng với mọi 71

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với 3 số nguyên không âm m , n , k

Đa thức p ( x ) = x 3 m + x 3 n + 1 + x 3 k + 2 chia hết cho ( p ( x ) = X 2 + X + 1

1

=> Đa thức p ( p c ) = %3m + x3n+1 + %3fe+2 chia hết cho < р ( х ) = X 2 + X +

1 Cách 2: Ta biến đổi để xuất hiện nhân tử X 2 + X + 1 Ta có:

* Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa phép chia hết, đồng nhất các hệ số

* Phương pháo 3: Phương pháp đồng dư

b) Ví dụ minh họa

15

Ví du 1: Cho hai đa thức

Ví dụ 2: Trong Q[x] tìm những số tự nhiên n sao cho đa thức P(jc)

=(x + l)n — x n — 1 chia hết cho đa thức < p ( x ) = X 2 + X + 1

- Với 1 = 2 : P(x) = — X 2 + X — l=2x(mod ( p ( x ) ) nghĩa là P(x)) khôngchia hết cho (pipe)

- Với 1 = 3 : P(x) = 1 — 1—1=—l(mod ự?(%)) nghĩa là P(x) không chia hếtcho

<pO)

- Vói l = 4: P(x) = X 2 — X — 1=—2 ( x + l)(mod < p ( x ) ) nghĩa làP(x)) không chia hết cho ( p ( x )

- Với l = 5: P(x) = — x 2 — X — l=0(mod ç>(x)) nghĩa là P(jc) : ( p ( x )

=> Đa ứiức Р(л:)=(л: + l)n — x n — 1 chia hết cho đa thức ( p ( x ) = X 2 + X +

1 khi và chỉ khi n có dạng 7 1 = 6 k + 1 hoặc dạng 7 1 = 6 k + 5

Ví dụ 3: Cho F = X 3 + y3 + z3 + m x y z Xác định chia 772 để F chia hết CHO ( X

+ Y + Z ).

Giải

Ta coi F là một đa thức vói ẩn JC, kí hiệu F ( x )

Vì(% + y + z ) = x — (—y — z ) và F : ( p c + y + z ) nên F : [ x — (—y — z)]

=> F ( — y — z ) = 0 <=> (—y — z ) 3 + y 3 + z 3 + m(—y — z)yz = 0 <=> —

3 y z ( y + z) + m(—y — z)yz = 0 « — y z ( y + z)(3 + ш) = 0 Đẳng thức trên đúng vói mọi y , z khi m = — 3

Vậy m = —3 là giá tri cần tìm

17

Ví dụ 4: Tìm A , B biết rằng f ( x ) = a x 4 + b x 3 + 1 chia hết cho ( x — l) 2

Giải

Cách 1: Đăt f ( x ) = ( x — ĩ ) 2 ( a x 2 + m x + 1) Ta có: a x 4 + b x 3 = ax4 + (m — 2a)x3 + (n — 2m + à ) x 2 + (m — 2n)x + 72 Đồng nhất hệ số ta

1 Tìm a , b biết rằng /(x) = axn+1 + b x n + 1 chia hết cho (x — l)2

2 Tìm số tự nhiên n sao cho p ( x ) = x 4 n — x 3 n + x 2 n — x n — 1 chia hết cho đa thức < P ( X) = %4 — X 3 + X 2 — X + 1

3 Tìm số tự nhiên n sao cho P(jc) = ((% — l)n — x n — 1 chia hết cho đathức ( P { X) = X 2 — X + 1

2.1.2 Nhận biết đa thức không phân tích được

a) Cơ sở lý luận

Định nghĩa và tính chất của đa thức bất khả quy

b) Thuật toán

* Phương pháp 1: Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein

* Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của đa thức bất khả quy:

Một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích hai đa thức hệ sốnguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số hữu tỷ c

V í d ụ m i n h h ọ a

Ví dụ 1: Chứng minh đa thức p ( x ) = X 4 — 3 x 3 + 2 x 2 + 2 x — 6 bất khả quy trên Q

Giải

Giả sử Pộc) không là đa thức bất khả quy trên Q

Khi đó tồn tại đa thức Q(x), Rộc) € T L \ x \ sao cho P(x) = Q(x) Rộc)

Trong đó: 1< deg Q(JC) < deg Rộc) <4 Khi đó deg Q(JC) =1 hoặc 2

*) Trường hợp 1: deg Q(x) =1 Khi đó Pột) có nghiệm hữu tỷ có thể là những số sau: ±1; ±2; ±3; ±6 Mặt khác kiểm tra trực tiếp bằng lược đồ Homer ta thấy không một số nào là nghiệm của đa thức đang xét

=> Không xảy ra trường họp deg Qộc)

=1 *) Trường hợp 2: deg Q(JC) =2 Khi

Vậy đa thức P(x) bất khả quy

Ví dụ 2: Trong QỊx], n e Q xét tính bất khả quy của đa thức: X3 — 3n 2 x + n 3

-3b + 2q = 2^>5b = -8 (vô lý)

Chọn u , V sao cho u v — 1 = 0 => w V =1 => u 3 v 3 = l Khi đó u 3 + V 3 = —1

lu 3 + V 3 = — 1

2.1.3 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

= y2— 9 + y — 3 = ( y - 3)(y + 3) + (y- 3)

Ta có: g ( h ) =b 3 (Ь — с) + b 3 ( с — b ) + с 3 (Ь — Ь)

#(с) = С3(Ь — с) + ь3(с — с) + с3 (с — Ь) = О

Suy ra b , с là nghiệm của g ( a )

Do đó g { à ) = ( b — c)(a — Ь)(а — c) (a — X ) với JC là nghiệm thứ 3

của g ( à ) Khai triển g { à ) so sánh hệ số tự do 2 vế ta được:

Suy ra с là nghiệm của /i(a)

Do đó: /i(a) = [b(c + d) — c(b + d)](a — b)(a — c)

Nghiệm (nếu có) của đa thức luôn xác định trên một tập nào đó hoặc khoảng hoặc nằm trong một giới hạn nào đó.

b) Thuật toán

Dựa vào điều kiện của bài toán và sử dụng một số tính chất sau:

-Tính chất chia hết

-Tính chất của giá tri tuyệt đối

-Điều kiện có nghiệm của đa thức bậc hai

Định lý Roll: Nếu hàm số y = f i x ' ) liên tục trên [ a , b ] và /(a)./(b) < 0 thì tồntại ít nhất một điểm с thuộc vào (a, TÍ ) sao cho /(c) = 0

Từ đó tìm ra số nghiệm thực, ước lượng khoảng nghiệm của đa thức

c) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đa thức Pộc) = 1 + X 2 + X 9 + x U l H -f x U s + X1992 với

п г , n s là các số tự nhiên thỏa mãn 9 < Щ < ••• < n s < 1992 Chứng minhrằng nghiệm của đa thức (nếu có) không thể lớn hơn

Do đó nếu đa thức có nghiệm thì nghiệm của đa thức không thể lớn hơn

Vậy phương trình trên có 5 nghiệm X mà bcl <11

Ví dụ 3: Cho cặp số dương a , b với a > b \ ầ a + b = 1 Gọi U n , v n là các

nghiệm của tam thức bậc hai:

Nên U n r V n £ (—1; 1) Vn G №

Ví dụ 4: Cho /(%) là đa thức hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu các số /

(0),/(l), /(m — 1) đều không chia hết cho m ( m E T L * , m > 2) thì phương trình f i x ) = 0 không có nghiệm

Giải

Giả sử phương trình F(X) = 0 có một nghiệm nguyên là c

2

Khi đó: f ( x ) = ( x — c ) g ( x ) trong đó g ( p c ) là đa thức với hệ số nguyên.

Ta có:

/(0) = (0 - c M 0)/(1) = (1 - c M 1)

f ( m — 1) = (m — 1 — c ) g ( m — 1)

Vì 0 — c , 1 — c , , m — 1 — c là m số nguyên liên tiếp nên phải có một số

nhất một số chia hết cho m Điều này trái với giả thiết

Vậy phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm nguyên

d) Bài tập áp dụng

1 Cho al5a2, , a n là các số thực > 0, không đồng thời bằng 0.

Chứng minh rằng phương trình x n — di*71-1 -C L n _ 1 x — a n =0 có

đúng một nghiệm duy nhất

2 Chứng minh rằng vói mọi số nguyên A đa thức:

p(x) = X 4 — 2003%3 + (2002 + À ) X 2 — 2001% + A không thể có 2 nghiệm nguyên

3 Đa thức a x 1 1 — axn_1 + c 2 x n ~ 2 - ị -1- c n _ 2 x 2 — n 2 b x + b có đúng7 1

nghiệm dương Chứng minh tất cả nghiệm này đều bằng nhau

2.1.5 Bài toán sử dụng công thức Viéte

a) Cơ sở lý luận

Dựa vào công thức Viéte để xác định đa thức

b) Thuật toán

—Xác định dạng tổng quát của đa thức cần xác định

—Sử dụng định lý Viéte để xác định mối liên hệ giữa các nghiệm của đathức vói các hệ số của nó

27

—Từ điều kiện của bài toán ta xác định được hệ số.

Ví dụ 2: Hãy tìm giá tri của tham số я sao cho những nghiệm a l t a 2 , a 3 ,

a 4 của đa thức P(jc) = X 4 + 3 X 3 + 6 X 2 + Ả X + 4 thỏa mãn điều kiện:

2

С С л —-

1 -1 -a 2 a 3 a 4

Giải

Do a l f a 2 , a 3 , a 4 là nghiệm của đa thức P(x) Theo công thức Víete yà

điều kiện bài toán ban đầu ta có hệ sau:

= (1-12)«! - 4

4

(Xi =

2 Ả-12 Nghĩa là Ắ thỏa mãn phương trình:

Ví dụ 3: Hãy lập đa thức bậc ba

mà nghiệm của nó thỏa mãn

những đẳng thức sau:

1 1 1

— h

— Ị -

—

—

—

— 2

^ 1

^ 2

1 1 1

+

3.-+

—T+

—T

= 1

1 1 1

—

T

+

— - +

— -

= 1

a i

Giải

Gọi đa thức cần tìm là: Pộc) = X 3

+ a%2 + BX + C Theo công thức Viéte ta có:

a 1 a 2 + aiCÍ3 + (*2 a 3 = b

1 6

С = —

6x2 + Ả x

+ 11 Tìmgiá tri của tham số Ả

+ a 2 = a 3 +

a 4Giải

Theo công thức Viéte ta có:

( а

г

+ a

2

+ a

+ a

4

=

— 2 a

1

a

2

+ а

t

=

1 1

Cùng với điều kiện củabài: a ± + a 2

Từ (1) và (2)suy ra Я = 7Vậy đa thứcPột) = X 4 +

2 X 3 + 6 X 2 +7x + 11

tương tự

3 Tìm giátri của

tham số Ẵ

sao cho những

các nghiệm

1 Hãy

lập

đa thứ

c

a) Cơ sở lý luận

—

Biểu diễn biểu thức К

về

biểu thức của các đa thức đối xứng

cơ

bản

—Áp dụng công thức Viéte

bậc hai

mà nghiệm

a mã

để tínhgiá tri của các đa thức đối xứng

cơ bản, thay vào ta tìm được K

n nhữ

ng đẳn

g thứ

c sau:

b) Thuật toán

* Bướ

c 1:Thiế

t lậphệthứcViétegiữacácnghiệmcủaphươngtrìnhđểtìmcác

S ị

* Bướ

c 2:Biểudiễnthông

g cơbảnđốivớicácnghiệmcủaphươngtrình

c) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Hãy tìmdiện tíchcủa tamgiác mà bađường caocủa nó là

y 1 , y 2 , y 3 là

độ dài cácđường cao hạxuống cạnhtương ứng

s là diệntích tamgiác

Khi đó ta có:

S = ^ Ể y Ể

(i 1,2,3) 25

<=>y £ =

7-0

= 1

X 2 — 2 x —

2 = 0

Hãy tính

-3 ^X 2 ]

Do x 1 } x 2

là nghiệm của

phương trình X 2

— 2 x —

2 = 0 Ápdụng côngthức Viéte

Ví dụ 3: Cho

x 1 , x 2 , x 3 lànghiệm củaphươngtrình:

X 3 + px 2 +

qx + r = 0

Hãy biểudiễn thông

qua p , q , r

những hàmcủa các biến

x 1 , x 2 , x 3 .

Theo công thức (1) ta nhận được:

X 3 + p x 2 +

q x + r = 0nên ta có: Xị 3

+ pXi 2 + qXị + r

= 0 (i = 1,2,3)

Để tính B ta cộng những đẳng thức

2 2 +X 3 ) +

X

1 Cho ,x2^3,^4

là nghiệm của phương trình: