PT mũ và Logarit luyen thi ĐH THPTQG

Sau mỗi một bài toán cần rút ra những điểm lưu ý cho riêng mình. Những lưu ý đó có thể là các kỹ thuật đặc biệt của bài toán hoặc là những công thức hoặc các lỗi bản thân hay mắc phải. Có thể viết thành một chú ý hoặc viết vào tờ giấy ghi nhớ dán vào bài tập hoặc dạng bài vừa làm. Học trong SGK là chưa đủ Kiến thức trong sách giáo khoa chỉ là những kiến thức nền tảng, cơ bản của môn học. Muốn học giỏi cần tập thói quen tự đọc sách giáo khoa và tham khảo để biết thêm về những kiến thức nâng cao, các dạng bài tập mở rộng từ đó có thể rút ra phương pháp học tập và cách thức làm bài cho riêng mình.

402

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

403

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

( )

0( ) log

+ Nếu aa x( )là hàm phụ thuộc vào biến xthì rõ ràng a  cũng có thể là nghiệm 1

Khi đó phương trình tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Bài 2 Giải phương trình: 82 11 0, 25 2 7

Khi đó phương trình tương đương với

2 2

22

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Bài 4 Giải phương trình:    

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x   5

Bài 5 Giải phương trình:  

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 9.

Bài 6 Giải phương trình:  2sinx  22 3 cos

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 4;5 

Bài 8 Giải phương trình: 2  8

Chỉ có nghiệm x  thỏa mãn điều kiện (*) 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

x  thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 5

Chỉ có nghiệm x  thỏa mãn điều kiện (*) 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Bài 11 Giải phương trình: log 2x 2 log2x4log 2x8

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

x  thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 17

+ Với  4 x  phương trình trở thành 1

2

x  x  x 

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x2,x 2 24

Bài 14 giải bất phương trình: log 1 2

2

2log 3

2 2

12;

log x  x 1 log x  x 1 log x x 1 log x x 1

Bài 5 Giải phương trình: log9x12 log34xlog34x

Bài 6 Giải phương trình:

2

2log 3

Bài 12 Giải phương trình:  2 





Bài 13 Giải phương trình: log4log2 xlog2log4x2

Bài 14 Giải phương trình:

Bài 16 Giải phương trình: log9x8log3x2620

log x x 1 log x x 1 log x x 1

Bài 19 Giải phương trình:  

 

1 2 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2.

3 Phương trình tương đương với

Bài 1 Giải phương trình : 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x  0;1

Bài 2 Giải phương trình

Bài 1 Giải bất phương trình: 4x2 x.2x213.2x2 x2.2x2 8x12

Bài 2 Giải phương trình:  2 1  

2 x 3x 3x 1 4.3 x 1

Bài 3 Giải phương trình: 2 1  1 1

x     x   

Bài 4 Giải phương trình: 1 2  2

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x  1

Bài 3 Giải bất phương trình :    

  1 1

vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; 2

Bài 4 Giải phương trình: log 42 log 22 log 42

Cùng tìm hiểu qua một số ví dụ sau

Dạng 1: loga f x( )logb g x( ), đặt tloga f x( )

Bài 1 Giải phương trình: log7 xlog3 x2

Lời giải:

+ Điều kiện x  , khi đó đặt 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 49

Dạng 3: s ax b clogsdx e  x ,d ac ;e bc 

Khi đó đặt ay b logsdxe, và chuyển về hệ phương trình

Bài 1 Giải phương trình: 1  

Bài 2 Giải phương trình: 33 3 x33 3 x34x34x1000

x

x x

f x ta có f x '( ) 3 ln 3 2x   , do đó ( )0 f x là hàm số đồng biến mặt khác ta nhận thấy

(1) 0

f  Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x  1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 2 Giải phương trình: 2      

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x2,x8

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Giải phương trình: 2  

3 x 2x 9 3x 9.2x 0

Bài 2 Giải phương trình: 2  2  2 2

9x  x 3 3x 2x  2 0

Bài 3 Giải phương trình: 9xx12 3 x11x0

Bài 4 Giải phương trình: 2   2

3.25x  3x10 5x x3

Bài 5 Giải phương trình: 42x23x12x3 16

Bài 6 Giải phương trình: 2  2  2 2

Tính chất 1: Nếu hàm số f x liên tục trên khoảng ( ) a b;  và có f a f b  thì phương trình ( ) ( ) 0( ) 0

f x  có nghiệm x0a b; 

Tính chất 2: Nếu hàm số f x tăng hoặc giảm trên một miền ( ) Dthì phương trình f x  chỉ ( ) 0

có tối đa một nghiệm trên D

Tính chất 3:Nếu hàm số f x tăng hoặc giảm trên một miền ( ) Dthì với 2 số

u vD f u  f v u v

Tính chất 4: Nếu hàm số f x tăng và hàm số ( )( ) g x là hàm hằng hoặc hàm giảm trên miền D

thì phương trình f x( )g x( )có tối đa một nghiệm trên D

Định lý Lagrange: Nếu hàm số F x liên tục trên đoạn [ ; ]( ) a b và có đạo hàm F x trên khoảng '( )( ; )a b , khi đó tồn tại số c a b; /F c'( ) F a( ) F b( )

Các tính chất 1, 2,3, 4 được sử dụng trực tiếp khi làm bài

Định lý Lagrange và định lý Rolle chúng ta sử dụng gián tiếp thông qua việc lập bảng biến thiên của hàm số f x ( Xem các bài tập mẫu 6) ( )

Bài 1 Giải phương trình: log 2

2.3 x   Nhận thấy vế trái là hàm số đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến Mặt khác 3 x

nhận thấy x  là nghiệm của phương trình 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 2 Giải phương trình: 2 1  2

Bài 3 Giải phương trình:  

2

2 3

Bài 5 Giải phương trình: 3 2x x3x2x 1

Vế trái của phương trình (*) là một hàm đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;

    phương trình có tối đa 1 nghiệm

Nhận thấy x   thỏa mãn phương trình 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x   1

Bài 6 Giải phương trình: 4x6x 25x2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x  có tối đa 2 nghiệm ( ) 0

Nhận thấy x0,x thỏa mãn phương trình 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 0; 2 

log x  x 1 log x2xx 0

Vậy phương trình có nghiệm x  1

Bài 8 Giải phương trình:

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2

Bài 9 Giải phương trình:

Kí hiệu vế trái của phương trình là f x , vế phải của phương trình là ( )( ) g x

Ta có vế trái là hàm đồng biến; vế phải là hàm nghịch biến Mặt khác nhận thất f(1)g(1) 13 Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình 1

Bài 3 Giải phương trình: 9 5 4 2 20

Bài 5 Giải phương trình:2x3x 5

Bài 6 Giải phương trình: 3x  x 4 0

Bài 7 Giải phương trình;  3 2 x 3 2  x  5 x

Bài 8 Giải phương trình: 8x3 1 4

x  

Bài 9 Giải phương trình: x2.3x13x2

Bài 10 Giải phương trình: 8x.2x23x x 0

Bài 11 Giải phương trình: 3 2  2 3

2 x3 2x x 1 3 x 2xx   x 2 0

Bài 12 Giải phương trình: 3x5x 6x2

Bài 13 Giải các bất phương trình sau:

1.2  1 2 log5 11 2 

03

Với các bất phương trình có dạng sau, ta biến đổi như dưới đây

2 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ; 4  1;

Bài 4 Giải bất phương trình :

Vậy tập nhiệm của bất phương trình là S    4; 3  8;.

Bài 5 Giải bất phương trình: logxlog39x72 1

logx log 9x72  1 log 9x72 x9x723x 9x3x720

Xét hàm số f x ( ) 9x3x72 đồng biến trên  Vậy bất phương trình

f x   f  x

Kết hợp với điều kiện suy nghiệm của bất phương trình là S log 73; 2 3 

Bài 6 Giải bất phương trình:    2 

x x

Bài 10 Giải bất phương trình:

 

2

1 1

3 3

2

31

232

x x

x x

Kết hợp với trường hợp đang xét suy ra x 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Với x  , bất phương trình trở thành 1 log51 1 0

5  luôn đúng

Với x  , bất phương trình trở thành 3 log53 1 0

53  vô lý

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 12 Giải bất phương trình: x3 log2x29 log2 x2

Lời giải:

+ Điều kiện x  , khi đó bất phương trình tương đương với 0

3 x3 log x2 x1

Nhận thấy x  không là nghiệm của bất phương trình 3

+ Nếu x  , khi đó bất phương trình trở thành 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 0;1  4;

Bài 13 Giải bất phương trình: 2 2 5 1

2

x

x x

Vậy nếu x 1 f x( )0;x   bất phương trình có nghiệm với 2 0 x 1

Nếu 1 x 2 f x( )0;x   bất phương trình vô nghiệm 2 0

Nếu x 2 f x( )0;x   bất phương trình có nghiệm với 2 0 x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;1  2;.

Bài 14 Giải bất phương trình :  2log 2 log 2 6







Bài 2 Giải bất phương trình: 22x24x216.22x x 21 2 0

Bài 3 Giải bất phương trình : 32x122x15.6x0

Bài 4 Giải bất phương trình:

Bài 10 Giải bất phương trình: 4x2 x.2x213.2x2 x2.2x2 8x12

Bài 11 Giải các bất phương trình sau









log log x  1 x log log x  1 x

Bài 13 Giải các bất phương trình sau

3 3

1 8

273log

Bài 1 Giải phương trình:  2    

Bài 2 Giải phương trình: 42x x2 2x3 4x x22x34x4

log 8 logx  x log 2x 0

Bài 9 Giải phương trình:  log 2012 2  log 2011 2

5 5

Bài 18 Giải phương trình:  log 2  log 2

1.11

2 2 2 2 2

x x