Luận lý mệnh đề và luận lý vị từ Logic proof

Trong các khẳng định sau, cho biết khẳng định nào là mệnh đề: a) Trần hưng đạo là một vị tướng tài. b) x + 1 là một số nguyên dương. c) 9 là một số chẵn. d) Hôm nay trời đẹp làm sao e) Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ đi xem đá bóng trước. 2. Gọi P, Q là các mệnh đề” P: “Minh giỏi Toán” Q: “Minh yếu Anh văn” Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối. a) Minh giỏi Toán nhưng yếu Anh văn b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn nhưng vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh yếu Toán nhưng giỏi Anh

A Bài tập cần giải

Bài tập chương 1 Luận lý mệnh đề và luận lý vị từ

1 Trong các khẳng định sau, cho biết khẳng định nào là mệnh đề: a) Trần hưng đạo là một vị tướng tài

b) x + 1 là một số nguyên dương

c) 9 là một số chẵn

d) Hôm nay trời đẹp làm sao!

e) Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ đi xem đá bóng trước

2 Gọi P, Q là các mệnh đề”

P: “Minh giỏi Toán”

Q: “Minh yếu Anh văn”

Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối

a) Minh giỏi Toán nhưng yếu Anh văn

b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn

c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn nhưng vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn

e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh yếu Toán nhưng giỏi Anh

3 Hãy lấy phủ định các mệnh đề sau:

a) Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thi tôi sẽ không ra ngoài b) 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4

c) Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải

là hình thoi

d) Nếu An không đi làm ngày mai thì sẽ bị đuổi việc

e) Mọi tam giác đều có góc bằng 60◦

4 Cho biết chân trị các ,mệnh đề sau’:

a) π = 2 và tổng các góc trong tam giác bằng 180◦

b) π = 3, 1416 kéo theo tổng các góc trong tam giác bằng 170◦ c) π = 3 kéo theo tổng các góc trong tam giác bằng 170◦

d) Nếu 2 > 3 thì nước sôi ở 100◦

e) Nếu 3 < 4 thì 4 < 3

f) Nếu 4 < 3 thì 3 < 4

5 Trong các khẳng định sau hãy chỉ ra khẳng định đúng

a) q ⇒ p → q

b) ¬(p → q) ⇒ p

c) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r)

d) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → (q → r)

e) p → (q → r) ⇒ (p → r)

f) p → (q ∧ r) ⇒ p → q

g) (p ∧ q) → r ⇒ (p → r) ∧ (q → r)

6 Đơn giản mênh đề sau:

[[[(p ∧ q) ∧ r] ∨ [(p ∧ r) ∧ ¬r]] ∨ ¬q] → s

7 Lấy phủ định rồi đơn giản các mệnh đề sau:

a) p ∧ (q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r)

b) (p ∧ q) → r

c) p → (¬q ∧ r)

8 Cho biết quy luật nào áp dụng trong mỗi bước tương đương sau: (p → q) ∧ [¬q ∧ (r ∨ ¬r)]

⇔ (p → q) ∧ ¬q

⇔ (¬p ∨ q) ∧ ¬q

⇔ ¬q ∧ (¬p ∨ q)

⇔ (¬q ∧ ¬p) ∨ (¬q ∧ q)

⇔ (¬q ∧ ¬p) ∨ 0

⇔ (¬q ∧ ¬p)

⇔ ¬(p ∨ q)

9 Cho biết suy luận nào trong các suy luận dưới đây là đúng và cho biết quy tắc suy diễn nào đã được sử dụng?

a) Điều kiện đủ để Việt Nam thắng trận là đối thủ không gỡ lại vào phút cuối

Mà Việt Nam đã thắng trận

Vậy đối thủ của Việt Nam không gỡ lại vào phút cuối

b) Nếu Minh giải được bài toán thứ tư thì em đã nộp bài trước giờ quy định

Mà Minh không nộp bài trước giờ quy định

Vậy Minh không giải được bài toán thứ tư

c) Nếu lãi suất giảm thì số người gửi tiết kiệm sẽ giảm

Mà lãi suất đã không giảm

Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm

d) Nếu được thưởng cuối năm Hà sẽ đi Đà Lạt

Nếu đi Đà Lạt thì Hà sẽ thăm Thung Lũng Tình Yêu

Do đó nếu được thưởng cuối năm Hà sẽ đi thăm Thung Lũng Tình Yêu

10 Hãy kiểm tra xem các suy luận sau có đúng không?

a) Nếu muốn dự họp sáng Thứ Ba thì Minh phải dậy sớm

Nếu Minh muốn nghe nhạc tối Thứ Hai thì Minh phải về trễ Nếu về trễ và thức dây sớm thì Minh phải đi họp và chỉ ngủ dưới 7h

Nhưng Minh không thể đi họp nếu ngủ dưới 7h

Do đó hoặc là Minh không đi nghe nhạc tối Thứ Hai hoặc là Minh phải bỏ họp sáng Thứ Ba

b) Nếu Bình đi làm về muộn thì vợ anh sẽ rất giận dữ

Nếu An thường xuyên vắng nhà thì vợ anh ta sẽ rất giận dữ Nếu vợ Bình hay vợ An giận dữ thì cô Hà bạn họ sẽ nhận lời than phiền

Mà Hà không nhận được lời than phiền

Vậy Bình đi làm về sớm và An ít khi vắng nhà

11 Xét vị từ p(x) :00 x2− 3x + 2 = 000 Cho biết chân trị các mệnh đề sau: a) p(0)

b) p(1)

c) p(2)

d) ∃x, p(x)

d) ∀x, p(x)

12 Lớp Phân tích Thuật toán (PTTT) có 110 sinh viên ghi tên học trong

đó có:

- 15 sinh viên Toán - Tin học năm Thứ 3

- 5 sinh viên Toán năm Thứ 3

- 25 sinh viên Toán - Tin học năm Thứ 4

- 5 sinh viên Toán năm thứ 4

- 50 sinh viên Công nghệ Thông tin năm Thứ 4

- 5 sinh viên Toán - Tin học Cao học

- 5 sinh viên Công nghệ Thông Tin Cao học

Xét các vị từ

l(x): Sinh viên x ghi tên học môn Phân tích Thuật toán

b(x): x là sinh viên năm Thứ 3

c(x): x là sinh viên năm Thứ 4

d(x): x là sinh viên Cao học

r(x): x là sinh viên Công nghệ Thông Tin

s(x): x là sinh viên Toán - Tin học

t(x): x là sinh viên Toán

Hãy viết mệnh đề dưới đây theo dạng lượng từ hóa

a) Có sinh viên năm Thứ 3 trong lớp PTTT

b) Có sinh viên trong lớp không phải là sinh viên Công nghệ Thông tin

c) Mọi sinh viên trong lớp là sinh viên Toán - Tin học hay Công nghệ Thông tin

d) Không có sinh viên Cao học Toán trong lớp PTTT

e) Mọi sinh viên năm Thứ 3 trong lớp thuộc ngành Toán hay Toán

- Tin học

f) Có sinh viên ở Trường không thuộc ngành Toán - Tin học và cũng không thuộc ngành Công nghệ Thông tin

13 Xét vị từ theo 2 biến nguyên tự nhiên:

p(x, y): “x là ước của y”

Hãy xác định chân trị các mệnh đề sau:

a) p(2, 3)

b) p(2, 6)

c) ∀y, p(1, y)

d) ∀x, p(x, x)

e) ∀x∃y, p(x, y)

f) ∃y∀x, p(x, y)

g) ∀x∀y, (p(x, y) ∧ p(y, x)) → (x = y)

h) ∀x∀y∀z(p(x, y) ∧ p, (y, z)) → (p(x, z))

14 Lấy phủ định các mệnh đề sau:

a) Với mọi số nguyên n, nếu n không chia hết cho 2 thì n là số lẻ b) Nếu bình phương một số nguyên là lẻ thì số nguyên ấy là lẻ c) Nếu k, l, m là các số nguyên sao cho k − m và m − n là số lẻ thì

k − n là số chẵn

d) Nếu x là số thực sao cho x2 > 16 thì x < −4 hay x > 4

e) Với mọi số thực x, nếu |x − 3| < 7 thì −4 < x < 10

15 Cho biết chân trị của các mệnh đề sau trong đó x, y là các biến thực: a) ∃x∃y, xy = 1

b) ∃x∀y, xy = 1

c) ∀x∃y, xy = 1

d) ∀x∀y, sin2x + co2x = sin2y + cos2y

e) ∃x∃y, (2x + y = 5) ∧ (x − 3y = −8)

Bài tập chương 2 Các phương pháp chứng minh

1 Hãy chứng minh các công thức sau:

a) 02+ 12+ + n2 = n(n+1)(2n+1)6

b) 03+ 13+ + n3 = n2(n+1)4 2

c) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n+1)(n+2)(n+3))4

d) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − 1

e) 2!1 +3!2 + +(n+1)!n = 1 − (n+1)!1

2 Xét vị từ:

p(n) : n vật bất kỳ thì đồng nhất với nhau trong đó n là một biến nguyên, n ≥ 1

Khẳng định: ∀n > 1, p(n)

Chứng minh:

p(1) : hiển nhiên

Giả sử p(n − 1) đúng Xét n vật x1, x2, , xn

Do p(n−1) đúng nên x1, x2, xn−1đồng nhất và đồng thời x2, x3, , xn đồng nhất

Suy ra x1, x2, , xn đồng nhất Nghĩa là p(n) đúng

Do đó theo nguyên lý quy nạp ∀n ≥ 1, p(n) là một mệnh đề đúng! Suy luận trên sai do đâu?

3 Chứng minh bất đẳng thức sau với n ∈ N

a) Nếu n > 3 thì 2n< n!

b) nếu n > 4 thì n2 < 2n

c) nếu n > 9 thì n3 < 2n

4 Chứng minh nếu n là số nguyên dương và n3 + 5 là số lẻ thì n là số chẵn bằng cách

a) Chứng minh gián tiếp ( phản đảo)

b) Chứng minh phản chứng

5 Tìm công thức của:

1

2 +14 + 18 + +21n

Chứng minh công thức tìm được là đúng

6 Chứng minh: 1 + √1

2 + √1

3 + +√1

k > 2(√

k + 1 − 1) với n > 0, n ∈ Z

7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1, 4n+ 15n + 1 đều chia hết cho 9

8 Chứng minh dãy số Fibonacci có một số đặc tính đặc biệt như sau: a) Với mọi số nguyên n ≥ 1, F4n chia hết cho 3, và 1 + F4n+1, 1 + F4n+2

cũng vậy

b) 1 < Fn+1/Fn< 2 với mọi số nguyên n > 2

c) Fn2 = Fn−1Fn+1+ (−1)n+1, với mọi số nguyên n ≥ 1

9 Bất đẳng thức Bernoulli’s chỉ ra rằng nếu x > 1, x 6= 0 và n là một số nguyên dương lớn hơn 1, thì ta sẽ có (1 + x)n > 1 + nx Hãy chứng minh bất đẳng thức này

10 Cho a, b là 2 số thực, a.b 6= 0 Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm

ax2+ 2ax + b = 0

bx2+ 2bx + a = 0

B Bài tập làm thêm