Bài tập hình học phẳng Oxy luyện thi đại học 2016

Tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị – Võ Giang Giai Giới thiệu: Bài toán bất đẳng thức, cực trị luôn gây khó khăn cho phần đông thí sinh vì đây là câu khó trong đề thi nhằm phân loại những thí sinh có năng lực xuất sắc

Trang 1

1 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY HAY VÀ KHÓ

CỦA TÁC GIẢ ĐOÀN TRÍ DŨNG

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng Điện thoại: 0902.920.389

Trang 2

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng

 A D : 3x y 140 Gọi E0; 6 là điểm đối xứng với C qua AB Gọi M là trung điểm của CD, BD cắt ME tại

Tam giác CDE có hai trung tuyến BD cắt ME tại I do đó I là trọng tâm

của tam giác CDE Vậy EM 3EI 3 2 14;  1;7 M 1;1

M là trung điểm của CD do đó C 2;0 

B là trung điểm của EC do đó B 1; 3  

Vì ABCD là hình chữ nhật do đó: AB DC     6; 2 A5; 1 

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng

 BD : 2x3y 4 0 Điểm G thuộc cạnh BD sao cho BD4BG Gọi M là điểm đối xứng với A qua G Hạ

MHBC MK, CD Biết H10;6 , K 13; 4 và đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Ta chứng minh G H K , , thẳng hàng Gọi E F, là tâm

của các hình chữ nhật ABCD MHCK,

Ta có: G là trung điểm của BE Do đó MBAE là hình

bình hành Vậy ME AB 2HE do đó H là trung

điểm EM Do đó GH và FH là đường trung bình của

các tam giác MAE MCE , Do đó: GH // AC, HF //

Ta viết được phương trình đường thẳng  DK y: 4 do đó ta có đường thẳng  BC x: 10

Vậy ta tìm được C là nghiệm của hệ:  

B E

Trang 3

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC , trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N

sao choBM CN Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và MN Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB,

AC tại P và Q Phương trình đường thẳng  BC x: 10y25 0 và 0;1 , 0; 1

P  Q  

   

    Tìm tọa độ các đỉnh B,

C biết A nằm trên đường thẳng 2x y  2 0

Gọi J là trung điểm MC Vì JE, JD là đường trung bình các tam giác

CMN CMB,

  do đó: JE // CN, JD // BM và JE 1CN JD, 1BM

Mặt khác vì BM CN do đó DJE cân tại J

Ta có: JED CQD AQP JDE APQ  ,  Do đó: APQ∽JDE

Vậy APQ cân tại A Ta viết được phương trình đường trung trực

của PQ là  d y: 0 Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương

trình:  x y A 

d y

2 2 0

1;0: 0

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC2AB và đỉnh C15; 9  Tiếp

tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại điểm I 5;1 Tìm tọa độ các đỉnh

A, B biết A có hoành độ âm và phương trình đường thẳng  AI x: 2y 7 0

Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

do đó theo tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng

góc nội tiếp chắn cung, ta có: IAB BCA  IAB∽ICA

D

E

C B

A P

M

N

B A

Trang 4

Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có: AI AB

IE  BE Mặt khác, vì là các cạnh tương ứng vuông góc nên HAD HBE , và

HAF HCE Lại có ABC cân tại A, do đó: HAF HBE

Vậy: HBE∽BAE AE BE AE AE BE AE

Vậy: AI3IEE0; 1  Do đó ta viết được phương trình đường

thẳng BC qua E vuông góc với AE là:  BC y:  1

  sao cho ID2IC Gọi M7; 2  là giao điểm của AI và BC Tìm tọa độ các đỉnh của ABC

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm G sao cho IG // AB Theo định lý Thales

cho CBD ta có: IG CG CI

BD CB CD

13

 Mặt khác cũng theo định lý Thales cho MAB ta có:

MG MI IG

MB MA AB

16

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Gọi M3; 1  là điểm nằm trên

đoạn AC sao cho AC4AM, gọi N 1; 2 là điểm trên đoạn AB sao cho AB3BN, gọi P 2;0 là điểm trên

đoạn BD sao cho BD4DP Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD

Gọi I là giao điểm của PM và AB, J là giao điểm của MN và

AD, T là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AC = 3TC

A

M G

Trang 5

Do đó: IN MT NT

IA MA JA

53

C  Viết phương trình cạnh AC

Lấy F trên cạnh BC sao cho FE // AB Theo định lý Thales

cho KBD, ta có: KE FE

KDDB Mặt khác, theo định lý Thales cho ABC ta có: FE CE FE AB

ABACCEAC

KD CE AC

13

  và viết được phương trình đường thẳng  AC : 2x y 30 0

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC2AB Phương trình đường chéo  BD x:  4 0 Gọi E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC4AE , gọi M là trung điểm cạnh BC Tìm tọa

độ các đỉnh A B C D, , , biết E 5;7 ,S BEDC 36

2

 

  , điểm điểm M nằm trên đường thẳng 2x y 18 0 đồng thời

điểm B có tung độ nhỏ hơn 2

Ta chứng minh: EM BD Thật vậy, vì AB AE

12

   (đường trung bình ABC)

Vậy IB là đường trung trực của EM Do vậy EM BD Phương

trình đường thẳng EM qua E và vuông góc BD là  EM y: 7

Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:  x y M

chọn B 4;1  Vì M là trung điểm của BC cho nên ta tìm được C 7;13 

Do: AC4AEA 1; 5 Lại có ABCD là hình bình hành, do vậy: BA CD D 4;17 

E A

M

Trang 6

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD Gọi 11 17;

5 5

E 

là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A của ACD Biết rằng tọa độ đỉnh B 4;1 và điểm A có hoành độ

nhỏ hơn 2 nằm trên đường thẳng : x y  2 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Vì ABD ∽CAD do đó: BAD ACD Mặt khác: BAE BAD DAE  và

AEB EAC ECA  do đó BAE BEA hay BA BE

Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ:     2 2

Do đó ta tìm được tọa độ điểm: A 1;1 Từ đó tìm được C 4;1

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  I đường kính AE Gọi F là trung điểm của BC Đường thẳng qua F và vuông góc với AC có phương trình  d x: 2y 7 0 Biết rằng tọa độ các điểm B 4;1 , 5 3;

2 2

I 

 

  và đỉnh E có hoành độ là một hợp số Tìm tọa độ các đỉnh A và C

Ta có: ACCE AC, FHFG // CE Do đó FG là đường trung bình

của BCE cho nên G là trung điểm của BE Vì vậy theo tính chất giữa

tâm và trung điểm dây cung ta có IG GB 0

    Với G7 2 ; a aE10 4 ; 2 a a1 Do đó ta chọn E 4; 2

Vì I là trung điểm của AE do đó ta tìm được A 1;1 và viết được phương trình đường thẳng AC qua A vuông

BÀI 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Phương trình

tiếp tuyến của đường tròn tại A là: x2y 7 0 Đường phân giác góc ngoài của góc A cắt BC tại E 9; 3 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm 21 3;

5 5

B 

 

  và điểm A có tung độ dương

Đường thẳng BC đi qua điểm B và E nên có phương trình là: x2y 3 0 Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đường thẳng BC

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình:

E H

F

Trang 7

2

là 2 phân giác trong và ngoài góc A nên AEAD Do đó F là trung điểm của DE

Tìm A: Là giao điểm của đường tròn đường kính ED và tiếp tuyến tại A

Do đó ta viết phương trình đường tròn đường kính ED:

Do điểm A có tung độ dương nên A 1; 3

Điểm D là nghiệm của hệ:

Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường tròn  I và  K giao nhau tại hai điểm phân

biệt trong đó có điểm A Gọi :x y 0 là một đường thẳng đi qua A và cắt hai đường tròn lần lượt tại các điểm C và D Gọi F là trung điểm của IK, gọi H5; 1  là điểm đối xứng với A qua F Biết rằng tọa độ các điểm

 1; 1

C   , K 5;1 Viết phương trình đường tròn  I

Gọi M N E, , lần lượt là hình chiếu của I F K, , lên đường

thẳng CD Ta dễ dàng chứng minh được M N E, , là

trung điểm của AC ME AD, , Như vậy MFE cân tại F

do đó HCD cân tại H Do đó tọa độ của D là nghiệm

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B với đường cao BM Gọi D là

điểm đối xứng với A qua M Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên cạnh BC Biết rằng tọa độ các điểm

   2;1 , 4; 5

B I và điểm M nằm trên đường thẳng x y  8 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

F I

A

K H

Trang 8

Tứ giác BMDI nội tiếp do đó: BIM BDM mà tam giác ABD cân

tại B do đó BAD BDM MBI BDM Vậy: MBIMIB cho

nên MIMB Mặt khác trung trực của IB là: x2y 9 0 do đó

tọa độ của M là nghiệm của hệ: 2 9 0  

Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng các cạnh

lần lượt là:  AB : 2x y  3 0, AC x: 2y 1 0 Trên đường thẳng AC lấy một điểm E Gọi CF là tiếp tuyến với đường tròn tâm E bán kính EA trong đó F là tiếp điểm thỏa mãn đường thẳng AF cắt đoạn thẳng BC tại

điểm 5; 3

2

D 

 

  Biết rằng ED BC , tìm tọa độ điểm F

Các tứ giác AEDB và EFDC nội tiếp do đó: FCE EDA EBA 

Do đó kết hợp với EA FE ta có: ABE  FCEEB EC

Tam giác EBC cân tại E có đường cao ED do đó D là trung điểm

của BC Gọi B b ; 3 2 , b C c 2 1;c Vì D là trung điểm của BC

Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn đường kính

AI Đường tròn tâm I bán kính IB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại J Đường thẳng JA cắt  I tại

điểm E Đường thẳng BE kéo dài cắt đường thẳng AC tại điểm   

K Biết rằng phương trình các đường

thẳng  AB x: 3y 4 0, BC x y:   4 0 Tìm tọa độ các đỉnh của ABC

A

E

Trang 9

Ta thấy AB và AC là các tiếp tuyến kẻ từ A tới  I do đó

Do đó K là trung điểm của AC

Ta có tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:

K Biết rằng hình chiếu F của P trên đường thẳng AB nằm trên đường thẳng :x y 11 0 và có

hoành độ nhỏ hơn 6 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD

Kéo dài AK cắt đường tròn B AB;  tại điểm E Ta dễ dàng chứng minh

được K là trung điểm của AE vì BKAK Khi đó APE cân tại P do đó:

FAP ABP do đó AP là phân giác trong của FAK cho nên

ta có FAP KAPPF PK Do đó ta tìm được F 5;6

Vì ABCD là hình vuông nên: AB DC C 6;1

Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và phương trình đường

thẳng  AB : 4x y  3 0 Trung điểm BC là M 4;1 Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt đường thẳng AB và AC tại E và 16 13;

Trang 10

Gọi D là điểm đối xứng với A qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC,

ta có M là trung điểm HD Ta có BHCD là hình bình hành Nên

 H là trung điểm FE nên tìm được H

 Viết đường thẳng HC qua H vuông góc AB

 Gọi B b AB C c,  CH Giải phương trình M là trung

điểm BC tìm được B và C

 Đường thẳng BE và đường thẳng CF cắt nhau tại A

Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I 6;6 và tâm đường tròn nội tiếp là J 4; 5 BJ và CJ cắt đường tròn  I tại M và N Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình là 8 x6y59 0 và đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ điểm C

Do NJA NAJ  NJA cân tại N lại có NM là phân giác ANC nên A

và J đối xứng với nhau qua đường thẳng MN

Do đó dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN như sau:

Do DJ= DB =DC nên B và C là giao điểm của đường trong tâm J bán kính JD với đường tròn (I)

Do đó tọa độ của B và C là nghiệm của hệ:    

A

E

D F

Trang 11

D biết D thuộc đường thẳng 2 x y  3 0

Ta thấy tứ giác ABDN là hình chữ nhật do đó 5 điểm

A;B;H;D:N cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AD

x  y Đường thẳng BC đi qua H và song song với AD nên có phương trình: 2x y  5 0

rằng đường thẳng  BD : 5x y 20 0 và điểm A nằm trên đường thẳng :x3y10 0 Tìm tọa độ các

đỉnh A và B biết rằng đỉnh B có hoành độ là một số nguyên tố

Ta có: IAB900DCB , mặt khác AB là tiếp tuyến của  K do đó ABD DCB

Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn

   : x2 2 y12 25 có tâm I Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A và B lên BC và AI Biết phương trình đường thẳng  DE : 2x y  1 0 và đường thẳng AC đi qua điểm P 9; 2  Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết rằng các điểm A và D có hoành độ âm

Kẻ đường cao BK của tam giác ABC Ta có tứ giác AEDB là tứ

giác nội tiếp nên BAD BED Mặt khác tứ giác ABEK nội tiếp

C D

A

N

E D I A

K

E I A

D

P

Trang 12

Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và E lần lượt là các tiếp điểm của

đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB và AC Biết rằng  DE x: 7y35 0 và

 AB : 4x3y65 0 và trung điểm của cạnh BC là M 11;11

2

 

 

  Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết rằng trung

bình cộng các giá trị hoành độ và tung độ của B lớn hơn 10

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và gọi H là giao điểm

của BI và DE Tứ giác ADIE nội tiếp nên: EAI EDI

Do đó: EHI ECI cho nên tứ giác EHCI nội tiếp Vậy: IHC900

Vậy: MH MB MC  IHM IBM IBA  MH // AB

Vì M là trung điểm của BC nên ta tìm được C 1; 2 

Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, các đường cao AK và

CD Biết rằng    : x22y25 là đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK, trung điểm của AC là điểm P 7; 5 

và đường thẳng BC đi qua điểm Q 1; 4  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng điểm D có hoành độ

lớn hơn tung độ

Ta có I và P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam

giác BHK, AKC do đó các tam giác IBK và APK cân tại I và

P Do đó: IKB IBK AKP PAK ,  Mặt khác: KAP IBK

(góc có cạnh tương ứng vuông góc) Do đó: IKB AKP

Mà IKB IKH 900AKP IKH 900IKPK

A

Trang 13

Do đo ta có:  KQ x:  1 0 Tọa độ của B là nghiệm hệ:    

2 2

1; 2: 1 0,

 P là trung điểm AC nên A 13; 2 

Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có E;F là chân đường vuông góc hạ từ B

và C lên đường phân giác trong góc A, điểm K là giao điểm của các đường FB và CE Tìm tọa độ đỉnh A có

hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng: 2x y  3 0 và   1

Do A có hoành độ nguyên nên A 1; 1

Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  I có AC AB Gọi 2; 3

2

D  

 

  là chân đường phân giác trong góc A E1;0 là điểm thuộc đoạn AC sao cho AB AE Tìm

tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết  I có phương trình: x2y2 x 2y30 0 và A có hoành độ dương

Gọi H là giao điểm của AI với đường DE

Ta có ABD ADE c g c( ) nên ABC AED

Mà tam giác IAC cân tại I nên:

0

180

902

D B

A

C F

K

E

M D I A

F

E H

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,41 MB