chuyên đề Bất đẳng thức

Trong đó, một cách phổ biến nhất là quy nạp do nhà toán học người Pháp –Luois Augustin Cauchy chứng minh.. Page | 6  Nhận xét: Đây là một BĐT khá quen thuộc trong các BĐT cổ điển nhưng

Chứng minh:

Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức rất phổ biến trong toán sơ cấp Nó có thể được chứng minh bằng nhiều cách Trong đó, một cách phổ biến nhất là quy nạp do nhà toán học người Pháp –Luois

Augustin Cauchy chứng minh Đây cũng có lẽ là lý do mà chương trình học Việt Nam hay gọi nó

là Bất đẳng thức Cauchy Sau đây, tôi xin trình bay2 về cách chứng minh trên

 Ta kiểm tra với n=2:

a a a k

1

k k k k

VẬY BẤT ĐẲNG THỨC (1) ĐÃ ĐƯỢC CHỨNG MINH

Một dạng khác khá phổ biến của AM-GM:

Phát biểu: Cho các số không âm , ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b

( Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Gợi ý: các bạn dung biến đổi tương đương)

b) BĐT AM-GM cho 3 số không âm: Cho các số dương a,b,c không âm, ta luôn có:

33

a  b c abc

“=” xảy ra a=b=c

c) Một số hệ quả của BĐT AM-GM:

 Hệ quả 1: Cho các số a,b,c dương ta các BĐT sau:

 Nhận xét: Trong 3 yêu cầu đầu tiên mình đã sử dụng BĐT AM-GM và các công thức hỗ trợ mà

mình đã nêu trên Riêng yêu cầu cuối cùng mình đã sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Đây là phương pháp khá hiệu quả cho BĐT 2 biến và thuần nhất

Ví dụ 2: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a  b c 3.Chứng minh rằng:

Nhận xét: Dựa vào giả thiết ta có thể dự đoán ngay dấu bằng xảy ra khi a 3;b 2;c 1 Nhờ đó ta

có thể tiếp cận bài toán dễ dàng hơn Nhưng trước hết , ta cần lý luận để a,b,c dương:

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a 3;b 2;c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 khi a 3;b 2;c 1

Dấu “=” xảy ra khi a 3;b 2;c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 38 khi a 3;b 2;c 1

Ví dụ 4: Cho các số thực a b c, , dương thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:1

16

c abc

Page | 6

 Nhận xét: Đây là một BĐT khá quen thuộc trong các BĐT cổ điển nhưng ứng dụng của nó thì

khá phổ biến trong chứng minh một số BĐT Sau đây chúng tôi xin trình các chứng minh, áp

dụng cũng như mở rộng của BĐT này!

 Ngoài BĐT trên có một dạng BĐT cho 4 số cũng khá quen thuộc

Cho các số a b c d, , , dương, ta luôn có BĐT sau:

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd

(cách chứng minh hoàn toàn tương tự như BĐT cho 3 số)

Đây là một BĐT khá quen thuộc trong BĐT cổ điển.Rất nhiều bài toán được ứng dụng từ nền tảng này Sau đây, chúng tôi xin trình bày một số ứng dụng của BĐT trên trong việc chứng minh một số BĐT nhằm đặt hiệu quả khả quan nhất

 Một số áp dụng của BĐT trên trong giải BĐT cổ điển:

1)Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:

(Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc)

b) Biến đổi BĐT bằng cách nghịch đảo tử, ta sẽ có:

 Nhận xét: nhìn vào 3 phần tử đầu tiên , ta hoàn toàn có thể đánh giá theo abc bằng BĐT mà

chúng tôi đã nêu trên Nên từ đó bằng phương pháp ẩn phụ, BĐT chỉ còn lại một biến duy nhất

và việc khảo sát nó là quá đơn giản Lưu ý, cần đánh giá khoảng giá trị của ẩn phụ được đặt

 Bài giải chi tiết:

Page | 9

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

3 3

Chúng tôi đã đưa công thức này ở đầu bài và sẽ giải thích ở mục tham số hóa, sau đây chúng tôi

sẽ tạm thời chứng minh nó bằng AM-GM cho nhiều số dương

Ta thấy (*) đúng vì đây chính là BĐT Holder

Ví dụ 8:Cho các số thực a b c, , dương.Chứng minh rằng:

Cộng vế với vế ta đượ điều cần chứng minh

b) Bài toán này ý tưởng cũng khá giống câu trên vì ta thấy trung bình nhân 2 đại lượng bất kì bên

vế trái sẽ cho ra 1 số hạng thuộc vế phải.Nên từ đó ta nãy sinh ý tưởng là AM-GM cho các cặp đại lượng nằm ở vế trái

      ,từ đó ta nãy ra ý tưởng đánh giá thằng abc

(Chú ý đây là đại lượng rất yếu nên việc đánh giá nó là rất dễ).Ở mục những công thức bổ trợ tôi

thấy có công thức 3 là đánh giá theo chiều ong muốn nên tôi áp dụng nó Có:

P a

b a b

 

 ;

Hướng dẫn:Ta thấy ở tử và mẫu xuất hiện biến nên ta tìm cách khử mẫu.Nếu cosi trực tiếp cho

2 số thì sẽ gặp bất lợi vì trong khi chỉ xuất hiện 1 tên bậc nhất nên việc đánh giả giữa bậc nhất và bậc 2 gần như là ko thể nên ta sẽ chuyển sang đánh giá cho 3 số

a b c VT

Nhận xét:đây là một BĐT đối xứng nên điểm rơi dự đoán rơi vào tâm có khả năng cao

Ta tìm cách đánh giá đưa BĐT trên về một biến Ta thấy , phần tử thức hai có thể đưa được theo

a b c nên ta tìm cách đánh giá BĐT theo a b c Thoạt thấy

1  a  1  b  1  c  1  0 (đúng)

Ta có điểu phải chứng minh

 Nhận xét:Cauchy-Schwarz khá mạnh trong xử lý phân thức

SAU ĐẤY CHÚNG TA CÙNG THỬ NGHIỆM THÊM MỘT SỐ VÍ DỤ ĐỂ HIỂU RÕ

Page | 15

Ta thấy ta cần trên tử xuất hiện một đại lượng bình phương, trong khi đó ở mẫu có đại lượng a 3

và các đại lượng tương tự Để ý điều kiện ta thấy  3

3

11

a

   nhưng ta cần xuất hiện mũ

2 cộng với việc đánh giá biểu thức sau khi C-S khá khó nên ta sẽ giữ lại một đại lượng a cho

Nhận xét: điều kiện chỉ để khống chế các đại lượng ở mẫu số là các số không âm Đây cũng là một BĐT

dạng phân thức nên ta thử đánh giá bằng C-S.Vì cần đại lượng bình phương ở tử nên ta nhân tử thêm cho a để ra dạng:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 khi b2;a1;c0

Ví dụ 8:Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn a2b2 c2 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 4 14

c) Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:

Ví dụ 1: (Bulgari 2003)Cho các số dương a b c thỏa mãn điều kiện , , a  b c 3 Chứng minh rằng:

3 2

ab bc ca  Nhưng việc chứng minh này có vẻ không khả thi lắm!

- Thoạt đầu, ta dự đoán điểm rơi tại a  b c 1 Nên hai phần tử a2   1 2alà có thể xảy ra Ta sẽ thử cách công phá nó!

Say đây chúng ta cùng đến một số ví dụ để nắm chắc phần này hơn nhé!!

Ví dụ 2:Cho các số thực không âm a b c, , thõa a  b c 3 Chứng minh rằng:

Nhận xét: Ta thấy, Kĩ thuật cauchy ngược dấu giúp việc đánh giá cauchy thuần túy trở nên dễ

dàng hơn đặc biệt là với những bài toán dạng phân thức

Ví dụ 3: Cho x y z, , là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

y z z x x y P

Hướng dẫn: Ta có:3    a b c 3 3abcabc 1

Vậy nên ta đánh giá được: 21 21 21

Hướng dẫn:Đây là một BĐT dạng mẫu nhìn có vẻ đơn giản nhưng nếu ta sử dụng Cauchy trực

tiếp sẽ bị ngược dấu Vậy ta thử đánh giá ngược dấu để hỗ trợ

Tới dấy ta nhân mẫu cho đại lượng để xuất hiện bình phương tử Nếu ta nhân cho a thì sau khi

C-S xuất hiện đại lượng  2

a b c rất khó đánh giá chiều  khi mà a2 b2 c2 3.Vậy ta tận dụng giả thiết ta nhân tử cho 3

d) Kĩ thuật tham số hóa và chuẩn hóa BĐT thuần nhất:

i) Kỹ thuật tham số hóa:

Ví dụ 1:Cho các số a b c dương thỏa mãn, , a2 b2 c2 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:Pab 2bc 2ac

Hướng dẫn:Ta thấy giữa các đại lượng như 2 2

;

a b va ab có thể đánh giá thông qua BĐT

AM-GM, nhưng việc không đoán được điểm rơi làm cho việc sử dụng AM-GM trờ nên không hiệu quả.Quan sát thì thấy vai trò ,a b như nhau nên a2 b2 2ab là có thể đánh giá được còn lại ta giả sử:

Page | 20

2 2

2 2

6 2

5 3

5 3

Ví dụ 3:Cho các số , , a b c dương thỏa: a  b c 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của Pa4 b4 4c4

Hướng dẫn: Vì cai trò của của , a b như nhau nên ta biết , a b có thể áp dụng AM-GM trưc tiếp

hoặc cho cùng một đại lượng hằng số.Nếu AM-GM trực tiếp, thì ta sẽ ko đánh giá được theo giả thiết nên ta dùng tham số hóa để đánh giá theo đại lượng hằng số:

3 4 ; 3 4 ; 4 3 4 2

2 2 1 2

a

a b c a

(Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc)

Ví dụ 4:Cho các số , , a b c thỏa a  b c 6 Tìm giá trị lớn nhất của:P3ab4bc4ac

Hướng dẫn: Ta thấy: 2 2 2 2

2 2 2

a b c a b c  ab bc ac Tới đây ta nãy ra ý tưởng đánh giá đại lượng a2b2 c2

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc

Ví dụ 5: Cho các số thực , ,c a b dương thỏa mãn abbcac1 CMR:a2 2b2 5c2 2

Hướng dẫn: cả giả thiết lẫn biểu thức BĐT bằng bậc nhau nên ta suy nghĩ đánh giá chúng lần

2 2

k k

ii) Chuẩn hóa cho BDT thuần nhất:

Sau đây chúng ta cùng tới với một phương pháp để xử lý những BĐT thuần nhất không có điều

kiện

Trước tiên ta hãy tìm hiểu BĐT thuần nhất là gì??? Đó là những BĐT mà bậc 2 vế bằng nhau và

các hạng tử các vế có bậc bằng nhau Để dễ hiểu chúng ta cùng đen961 một số ví dụ về BĐT

đồng nhất:

Page | 23

32

x  y z  x y z

Ta có:   3 2 3 2 3 2  3 3 32  2 2 23

x y z x x  y z z  x  y z   x  y z

Ta thấy, Việc đổi ẩn phụ lại đưa BĐT vể dạng giống như ban đầu chỉ khác ẩn Vì vậy phương

pháp chuẩn hóa ra đời để giảm đi cái việc lãng phí đó

 Nội dung: phương pháp này chỉ dành cho bất đẳng thuần nhất

- Là phương pháp mà ta gán cho một biểu thức bất kì bằng một hằng số Thường ta hay gán cho các giá trị sau :

Hướngdẫn:Đây cũng là một bất đẳng thức thuần nhất, nên ta có thể suy nghĩ tới phép chuẩn hóa

Ta thấy ở BĐT này có thành phần căn thức phức tạp nên ta suy nghĩ ngay chuẩn hóa cho thành

phần trong căn Vậy ta chuẩn hóa cho a 2 +b 2 +c 2 =1, ta có BĐT thành:

Vậy BĐT đã được chứng minh

Vídụ 3: Cho các số dươnga,b,c.Chứng minh rằng:

Page | 25

Ta chứng minh :

2

27

Tới đây ta sử dụng BĐT tiếp tuyến quen thuộc

Ví dụ 5: Cho các sốa,b,c dương Chứng minh rằng: 2 2 2 9

(2)

4 3

ab bc ac



Hướng dẫn: Chuẩn hóa ab+bc+ac=1

Bài toán trở thành đi tìm GTNN của A=k(a 2 +b 2 )+c 2

Có:

169

4

8116

4

91

 -6a 2 +2(3-5b)a-8b 2 +8b-A=0 (1)

(1 ) là phương trình bậc 2 theo a nên điều kiện có có nghiệm a hay điều kiện tồn tại a là

Page | 27

Để có b thỏa (2) thì :

' 81 23(9 6 ) 0

4 23

" "

10 23

Hướng dẫn: Đây là một BĐT thuần nhất không điều kiện nên ta thử suy nghĩ về pp chuẩn hóa

Ta thấy về phải có abcd nên ta sẽ suy nghĩ chuẩn hóa abcd 1 Khi đó, sẽ có các số x y z t, , ,

Hướng dẫn: pp này giúm biến đổi BĐT về dạng dễ nhìn dễ đánh giá hơn cho việc đưa ra hướng

giải quyết.Ta thấy, nếu đặt

BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng theo AM-GM!!

 Nhận xét: Việc làm gọn mẫu giúp cho việc đánh giá BĐT dễ dàng hơn

Ví dụ 2:Cho các số a b c dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của:, , P a 3c c 3a 4b

y z a

x z

x b c a y a c b z a b c b

x y c

Đây là BĐT quá quen thuộc !!!

f) Kĩ thuật đánh giá AM-GM cho nhiều số:

     , giờ ta quan tâm đến tỷ lệ giữa các số mũ

của a b c Như vậy ta sẽ chọn ,, , k l m sao cho:

 Nhận xét: Phương pháp này giúp ta nhận biết các đại lượng AM-GM cần thiẹt để sử

dụng linh hoạt hơn cauchy cho nhiều số Thông thường phương pháp này thường dùng cho những BĐT thuần nhất

Ví dụ 2:Cho các số thực , , a b c dương thỏa a  b c abc CMR:

2 0

1 2

Bài 50: Cho các số , , a b c dương thỏa mãn a2 b2 5 CMR:a3b6 9

Bài 51: Cho các số , , a b c dương thỏa mãn 2a4b3c2 48 CMR:a2 b2 c3 84

Bài 52: Cho các số , , a b c dương thỏa mãn abbcac1 CMR:

Trong chương trình học chúng ta chỉ đi xung quanh BĐT dành cho 2 và 3 số Chúng ta quen gọi

nó là BĐT vector vì nó được chứng minh rất dễ dàng bằng việc sử dụng Vector trong các hệ trục tọa độ Oxy hay Oxyz

Phát biểu:

Cho các số thực a a a b b b ta luôn có BĐT sau: 1; 2; 3; ;1 2; 3

Page | 36

2 2

Ví dụ 1: Cho các số thực a b thỏa , a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P3 1 4 a2 2 5 9 b2

Hướng dẫn: Ta thấy biểu thức trong căn hao hao giống một độ dài của một vector Ta thử khai

Hướng dẫn: Ta thấy biểu thức vế trái là độ dài của hai vector,nên ta suy nghĩ việc đánh giá theo

BDT Minkowsky, mà nếu đánh giá trực tiếp sẽ ko ra như ý muốn Mà ta thấy điểm rơi là x0

.Nen6 ta nghĩ việc chuyển  2

Tới đây việc cọn lựa Vector để chưng minh rất đơn giản

( lời giải chi tiết dành cho bạn đọc)

Hướng dẫn: Ta thấy , biẻuu thức vế trái có dạng là tổng module của nhiều vector nên ta súy nghĩ

đánh giá theo BDT Minkowski Sẽ có hai hướng để chọn Vector

Cách 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, chọn

1) VỚi những BĐT dạng tổng quát như v , tôi xin trình bày phương pháp Quy nạp:

 Với n=2, BĐT trở nên quá quen thuộc

 Giả sử nk đúng.Ta cần chứng minh n k 1 sẽ đúng

C PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:

1) Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2:

Ví dụ 1:Cho các số thực x,y thỏa mãn x2 3xy8y2 6 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :P x2 2xy3y2

Hướngdẫn:

- Nếu y=0 x2 6

- Nếu y  0, ta có:

t y

Tới đây ta tìm điều kiện tồn tại t của phương trình (1)

Nếu P=6, phương trình 1 có nghiệm t

Nếu P khác 6, phương trình (1) là phương trình bậc 2 nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi

Tới đây ta tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P

Ví dụ 2: Cho các số thực x,y thỏa x2 2xy y2 2x4y Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Tới đây ta đã tìm được phương giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên

Vídụ 3:Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị lớn nhất của

Vậy giá trị lớn nhất của P =495/148 khi x=11/37,y=25/74,z=27/74

Ví dụ 4:Cho các số thực a,b,c thỏa hệ 2 2 3 2

Vậy ta đã tìm được điều mình mong muốn

Ví dụ 5:Cho các số a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3 Chứng minh rằng:

92

Page | 42

Ví dụ 7: Cho các số thực , , a b c thỏa

3 5

Bài 4: Cho các số a, , b c thỏa a  b c 1 Tìm max của:P9ab10bc11ac

Bài 5: Cho các số , , a b c dương có tổng bằng 3.CMR: 2 9

a b P

CHứng minh:Sau đây tôi xin trình bày phương pháp ngắn nhất để chứng minh BĐT này:

Không mất tính tổn quát , ta giả sử a b c , ta có:

Đặt p  a b c q; ab bc ac r; abc , ta có một số cách quy đổi sau :

Nhận xét: Các BĐT trên sử dụng khi dấu bằng của BĐT rơi vào một trong biên bài toán đã cho Khi

làm bài ta cần phân biệt và sử dụng khéo léo các BĐT trên

Nhận xét: Nếu chỉ có một số biến rơi vào biên thì ta nên dùng BDT (1) và (2)

Ví dụ 2: Cho các số thực a b c, ,  1;3 thỏa a  b c 6 Tìm giá trị lớn nhất của:

Page | 47

Nhận xét: đánh giá biên cho BĐT 2 số có vẻ là dùng công thức 3 mang hiệu quả cao hơn

Ngoài ra , ta nên dùng một số cách biến đổi p,q,r để cho việc ép biên mang lại hiệu quả cao hơn

Tới đây ta chợt nghĩ có 2 hướng đánh giá:

Hướng 1:Quy theo abc: thấy:

Tới đây ta thấy có 2 cách đánh giá abc theo ab bc ac vừa hay ta cũng cần có 2 cách đánh giá

abc theo 2 chiều khác nhau

f t f

Nhận xét: Đối những bài toán biên lệch , thông thường ta sẽ chọn đánh giá theo kiểu đối xứng!!

Ví dụ 5:Cho các số thực a b c thuộc , ,  0;2 thỏa mãn ab bc ac2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Pa b3 3b c3 3a c3 39abc

Hướng dẫn:Điểm rơi: a0;b1;c2 2 biến nằm ở biên

P ab bc ac  abc a  b c abc  abc  abc a  b c abc  abc

Tới đây ta có ý tưởng là dộn theo abc

Nhìn lại biến đổi ban đầu ta thầy:    12

Vậy GTNN của P là 8 khi a0;b1;c2

Nhận xét: Việc phối họp cách quy đổi p,q,r làm cho hiệu quả tốt hơn và tăng độ chặt cho bài toán

abc abc

Tới đây ta quy theo a b c hay abc

Hướng 1:Quy theo abc ta có:12  

Page | 49

3456

212

Hướng 2:Quy theo a  b c t Nên ta tìm cách đánh giá abc theo a b c

Ta có 2 đánh giá biên ban đầu , nhưng nếu cộng lại thì sẽ lập tức mất abc nên khó đánh giá được theo ý muốn Giờ ta thử một kĩ thuật sau:

Vậy GTNN của P là 2 khi a1;b0va c2

Nhận xét:Đôi khi ta hay dùng cách đánh giá k1 1 k2 2 0

      rồi chọn biểu thức gọn là cho bài toán dễ hơn

Ví dụ 7:Cho các số thực a b,  1;2 TÌm GTNN của biểu thức sau:

Hướng dẫn:Điểm rơi: a1;b2 hay hoán vị tức là cả 2 rơi vào biên nhưng nếu ta dùng

a2a 1 0 thì bậc ko ra đều mình cần vậy ta nâng cấp tý,ta có:

F CÁC KỸ THUẬT GIẢM BIẾN:

1) BĐT ĐỐI XỨNG- QUY ĐỔI S VÀ P: