Tài liệu luyện thi đại học

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:











II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:

2

2

xyz x y z

ztx z t x

txy t x y

= + +



III.Hệ phương trình đẳng cấp:

IV.Hệ phương trình vô tỉ:

2 2

128

x y



2(1)

x y x y

x y x y xy

2 2

x y

V Giải HPT bằng pp đánh giá:

2

2

2

1

12

x y yz

z y xz

x z yx

z x

x y z

 + =

+ =

2 2 2

1 2

xy z

VI Một số HPT khác:

3

2

x y x y

x y x y

y x

xy



2 2

18

x y x y

z x x y z

1

y

2 2

2

x y



3

3 4 16

x y

x y



2 4

2

4





1 1

x x y x y x x y x y x x

x y xy

2 2 2

x y x



;

/ 9 / 2

6

xy y x

x y x y zy z y

y xy x



2 2

4

y



2 3

2 3

2 3





2 3

2 3 3

( 8)( 2)(1)

(2) 5 4;4 ( 2; 6);(19;99);(0; 4);(2; 2);(5; 1) (8 4 ) 16 16 5 0(2)

 = + +



− + + + − =



2

4 1 ln( 2 ) 0(2)

−

 + = +

+ + + + =    

f y = y + y+ + y + + =y f y = y + + y+ y + + =y y + y + y+ y + + > ∀y y

Nên pt có nghiệm dn y = - 1 Vậy hpt có nghiệm dn ( 0; - 1 )

2 2

2 80(2)



+ + + =



 + = − +

 ⇒ = ⇒ + − = − − + − ⇒ =



+ = − +



2

2

( ; 0)

x y

x y



2 2 4 4 6 2

 − = + −

 ⇒ + − = − − ≤ ≤ + + ≤ − −



+ + + + ≤



(x y ) 0 x y &x y 1&x y x y 1

⇒ + ≤ ⇒ = − = = − ⇒ = − =

VII Biện luận hệ phương trình:

1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: x y xy m2 2 (1)

x y m





Giải: Đặt S = x + y; P = xy ⇒ + =S P m&S2−2P m= ⇒S2+2S−3m= ∆ = +0 ' 1 3m≥ ⇔ ≥ −0 m 1/ 3 Để (1)

có nghiệm thì S2−4P S= 2−2P−2P m= −2P m= −2(m S− )= − +m 2S = − − ±m 2 2 3m+ ≥1 0 Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: − − +m 2 3m+ ≥ ⇔1 0 3m+ ≥ + ⇒ ≤ ≤1 m 2 0 m 8 ( do m≥0 từ pt thứ hai của hệ )

2/ Giải và bl hpt:

2 2

2 2

x xy y mx

y xy x my







Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: (x y x y− )( + + −1 m) 0=

a/ x= ⇒y 3x2−m x( + = ⇒ =1) 0 x 0;(m+1) / 3

b/ y m= − − ⇒1 x x2−(m−1)x m+ − = ∆ =1 0 (m−1)(m−5)

Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x= =y 0;x= =y (m+1) / 3

+/ m≤ ∨ ≥1 m 5: hpt có nghiệm: x= =y 0;x= =y (m+1) / 3; 1 1

3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

1(1)

x xy y

x xy y m







Giải: Đặt x ty= ⇒(1) :y t2( 2− + =t 1) 1(3) Vì 2

1 0

t − + >t với mọi t nên (3) luôn có nghiệm Từ hpt ta suy ra:

(t − +3t 2) /(t − + = ⇒t 1) m (m−1)t + −(3 m t m) + − =2 0(4)

+/ m = 1: t = 1/2 ⇒ hpt có nghiệm

+/ m≠1: (4) có ∆ = −3(m+4)(m−6)

Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi − ≤ ≤4 m 6

4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3





Giải: hpt đã cho tđ với: 2 3( ,2 0) 3

/ 3

P m

5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:

4 4

y x x ax

x y x ay







Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ; )x y0 0 thì nó cũng có nghiệm ( ; )y x0 0 do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì

x = y ⇒ x − x +ax = Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì ∆ =25 4− a< ⇒ >0 a 25/ 4

b/ đk đủ: hpt tđ với

4

x y y ay

x y x xy y x y a





Do pt x2+xy y+ 2−3(x y+ + = ⇔) a 0

x + −y x y+ − y a+ = có ∆ =x (y−3)2−4(y2−3y a+ = −) 3y2+6y+ −9 4a< ∀0 y vì

'

∆ = − < do a > 25/4

Với x = y thì hpt trở thành x x( 2−5x a+ ) 0= Do a>25/ 4⇒ ∆ = 25 4− a<0 nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất

6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a

x y a





− =



a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)

b/ a≥0: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0)

MỘT SỐ BÀI TẬP:

1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:

2

4

x xy y k

y xy







2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4

3

m

x y m

 + =



3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:

7 7

x y x mx

y x y my





 có nghiệm duy nhất ( m > 16 )

4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 22 1

x y xy m

m

xy x y m m



=



5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

x xy y

m





6/ Cho hpt:

x y

m x my m

 Tìm m để hpt có 2 nghiệm ( ; ) & ( ; )x y1 1 x y2 2 sao cho BT sau đạt

GTLN: A=(x1−x2)2+(y1−y2)2 ( A là bình phương độ dài dây cung do ĐT và đ tròn tạo thành )

- //