Luyen thi dai hoc mon Toan 2016 ( So phuc)

Phương trình   2 z 7 i z 16 11i 0      có hai nghiệm z 2 3i,z 5 2i     nên hệ đã cho có c{c nghiệm     x;y 2; 3  hoặc     x;y 5;2 .  Chú ý: Muốn giải được c{c hệ phương trình bằng phương ph{p sử dụng số phức, cần nhớ một công thức cơ bản của số phức, đăc biệt l| với mỗi số phức z x iy  thì ta có 22 xy  l| bình phương mođun

CHỦ ĐỀ 9 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC Bài toán 1 Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình

Lấy (2) nh}n i sau đó cộng (trừ) (1) vế theo vế ta được : f(x; y) h(x; y).i g(x; y) k(x; y).i (*)  

Đặt z x yi  , biểu diễn (*) thông qua c{c đại lương z,z,|z|,

Vậy, nghiệm của hệ phương trình l|:      x,y  2;1 , x,y  1; 1 

Cách 2 Ta thấy x 0,y 0  không l| nghiệm của hệ phương trình

 Nh}n (1) với x , nh}n (2) với y ta được

2 2

2 2 2 2

x 3x(yi) 3x (yi) (yi) x yi 1 i x 2xyi y 2xy x i y i

Vậy, nghiệm của hệ phương trình l|       x; y  1;0 ; x; y  1;0 ; x; y     1;1

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y :

12

3x y12

Kết hợp với (4) ta có: x2 yz,y2zx,z2 xy.Suy ra x2 y2z2xyz.

Đặt a xyz thì từ x2 y2z2 xyz a v| x,y,z đôi một kh{c nhau nên

Vậy c{c số phức x,y,z cần tìm l| c{c ho{n vị của  (1, , 2)

II Bài tập rèn luyện

Bài tập 1 Giải hệ phương trình với nghiệm l| số thực:

Phương trình n|y không có nghiệm đặc biệt!

Xét số phức z x iy  Vì z3 x33xy2i 3x y y 2  3 ,nên từ hệ đã cho ta có

Bài tập 2 Giải hệ phương trình trong tập số thực:

Chú ý: Muốn giải được c{c hệ phương trình bằng phương ph{p sử dụng số phức, cần nhớ một công

thức cơ bản của số phức, đăc biệt l| với mỗi số phức z x iy  thì ta có x2y2l| bình phương mođun v| 1 z x iy2 2

Nhận thấy x y 0  l| một nghiệm của hệ phương trình

Nếu x2y2 0 thì hệ đã cho viết th|nh

Bài toán 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh các công thức, đẳng thức lượng giác

z cos i sin cos 3cos i.sin 3cos i sin i sin

cos 3i 1 sin sin 3cos 1 cos i.sin

4cos 3cos i 3sin 4sin (1)

Mặt kh{c: z3cos3 isin 3 (2)

Từ (1) v| (2) ta được: sin 3 3sin 4sin3; cos3  3cos 4cos3

Nhận xét: Ta có b|i to{n tổng qu{t sau: Biểu diễn cosnx; sinnx theo c{c lũy thừa của cosx; sinx vơi n l|

số nguyên dương bất kỳ

Áp dụng công thức Moivre ta có  n

cos x isin x cos nx isin nx

Mặt kh{c, theo công thức khai triển nhị thức Newton:

cos x i sin x C cos x iC cos xsin x i C cos xsin x

i C cos xsin x i C cos xsin x i C sin x

cos nx C cos x C cos xsin x C cos xsin x M

sin nx C cos xsin x C cos xsin x N

cos 4x C cos x C cos xsin x C sin x 8cos x 8cos x 1

sin 4x C cos xsin x C cos xsin x 4cos xsin x 4cos xsin x

A cos x cos x a cos x 2a cos x na

B sin x sin x a sin x 2a sin x na

zw cos x i sin x cosa i sin a

zw cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka

Xeùt A iB cos x i sin x cos x a i sin x a

cos x 2a i sin x 2a cos x na i sin x na

Nhận xét: Từ hai loại công thức trên, xét c{c trường hợp riêng:

a) Nếu x 0 thì suy ra:

sin2

cos 54 sin 36 cos 3.18 sin 2.18

4cos 18 3cos18 2sin18 cos18

sina sin 60 a sin 60 a

sina sin 60 cosa sina cos60 sin 60 cosa sina cos60

sin 2 sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin78 sin 82

sin 2 sin 58 sin 62 sin18 sin 42 sin78 sin 22 sin 38 sin 82

Hay z7  1 cos isin nên z cos 2k i sin 2k

Vậy nghiệm cần tìm của hệ đã cho    x; y  2;1 hoặc   x; y  1; 1  

Ví dụ 7 Chứng minh rằng sin3 sin2 1

nhưng z4 iz;iz3 z nên suuy ra z2z2i z z   1 0,(2)

Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 8 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn c{c điều kiện

Đặt x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc.     

Ta có x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc         

Từ đó ta có cos a b  cos b c   cos c a  m

II Bài tập rèn luyện

+) 1 z3 1 cos3 i sin3 2sin3 sin3 i sin3

cos 5x isin 5x  cos x isin x

Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải v| t{ch phần thực v| phần ảo ta có

cos 5x cos x 10cos xsin x 5cos xsin x

sin 5x 5cos xsin x 10cos xsin x sin x

Bài tập 3 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn sina sinb sinc 0   v|

cosa cosb cosc 0.   Chứng minh rằng:

sin2a sin2b sin2c 0   v| cos2a cos2b cos2c 0.  

Nên cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c         0

Từ đó ta suy ra đều phải chứng minh

Bài tập 4 Giải phương trình cos x cos 3x cos 5x cos7x cos9x 1

2

Lời giải

Ta có cosx 1 không l| nghiệm của phương trình

Đặt z cosx isinx  với x0; 2 

Bài tập 5 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện

cosa cos b cosc sina sin b sinc 0     

Chứng minh rằng:

a) cos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c             

cos5a cos5b cos5c sin5a sin5

Giải

Đặt x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc.     

Suy ra x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc         0

a) Ta có: x3y3z33xyzx y z x    2y2z2xy yz zx   nên lượng gi{c:

3 cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c

cos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c

Do đó x5y5z50

cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c 0

cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c 0

Vậy đẳng thức được chứng minh

Bài tập 7 Giả sử  v|  l| nghiệm của phương trình x22x 2 0  v| cot  y 1 Chứng minh

Bài toán 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức

Cho số phức z a bi;a,b   Lúc đó môđun của số phức z a2b2

Cho c{c số phức z ; z ; z Ta có c{c bất đẳng thức thường dùng sau : 1 2 3

a c b  a c b 2 a bXét z1a c  bi; z2 a c  bi

Xét z1cos2 cos i; z2 2sin2; z3sin2.i

Ta có : z1  cos4 cos4; z2 sin2; z3 sin2;

cos  cos  sin  sin   2

Ví dụ 3 Cho a,b,c 0 thỏa mãn ab bc ac abc   Chứng minh rằng:

Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh

A C cosa C cos 2a C cos 3a C cos na C cos(n 1)a

B C sina C sin 2a C sin 3a C sin na C sin(n 1)a

A iB C cosa i sina C cos 2a i sin 2a C cos 3a i sin 3a

C cos na i sin na C cos(n 1)a i sin(n 1)a

Bài toán 4 Ứng dụng giải toán đa thức và phép chia đa thức

Trong c{c b|i to{n về phép chia đa thức, muốn chứng minh f x chia hết cho  g x , ta chứng minh mọi  

nghiệm của đa thức g x đều l| nghiệm của đa thức   f x C{ch l|m n|y gặp phải khó khăn nế như  

Vậy i cũng l| nghiệm của f x , do đó   f x chia hết cho   x21

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 v| số thực  thỏa mãn sin 0, đa thức

x cos isin ,x cos isin l| hai số phức liên hợp

Đặt P x x sin2  xsin n sin n 1   ta có:

1

P x cos n i sin n sin cos i sin sin n sin n 1

cos n sin cos sin n sin n 1 0

Suy ra P x 1 0 hay P x 2 0 Vậy P x chia hết   x22xcos 1

Ví dụ 3 Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức x2nxn1 chia hết cho đa thức x2 x 1

Ví dụ 4 Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức  n n

x 1 x 1 chia hết cho đa thức x2 x 1

Vậy gi{ trị cần tìm của n l| những số nguyên dương chia cho 6 dư 1 hoặc chia 6 dư 5

Ví dụ 5 Ph}n tích c{c đa thức sau th|nh nh}n tử với hệ số nguyên:

Vậy không tồn tại số nguyên dương n để đa thức  2n  2n 2n

x 1  x 1 2x chia hết chho đa thức