Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;1) và hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt có phương trình 2x + 3y 8 = 0 và x 2y 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; 3) và BC = 2AB, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N cùng thuộc đường thẳng d : x 3y 16 0 .Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE 2EB . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là G 2;13 . Viết phương 3 trình cạnh BC.Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC và G(1; 1) là trọng tâm của nó. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết rằng các đường thẳng BC, BG lần lượt có phương trình: x 3y 3 0 và 2x y 1 0 .Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình BC: x 2y +12 = 0, phương trình đường cao kẻ từ B: x y + 6 = 0, đường cao kẻ từ C đi qua điểm M(3; 5). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC và tìm toạ độ điểm B.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;−1) và hai đường cao kẻ
từ A và B lần lượt có phương trình 2x + 3y − 8 = 0 và x − 2y − 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; 3)− và BC = 2AB,
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N cùng thuộc đường
thẳng d x: +3y− =16 0
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy
tại E sao cho AE=2EB Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là 13
2;
3
G
Viết phương
trình cạnh BC
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC và G(1; 1) là trọng tâm của
nó Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết rằng các đường thẳng BC, BG lần lượt có phương trình:
x− y− = và 2x− − =y 1 0
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình BC: x − 2y +12 =
0, phương trình đường cao kẻ từ B: x − y + 6 = 0, đường cao kẻ từ C đi qua điểm M(3; 5) Viết phương
trình các đường thẳng AB, AC và tìm toạ độ điểm B
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(0;4) là tâm đường tròn ngoại
tiếp, đường cao và đường trung tuyến kẻ từ điểm A lần lượt có phương trình x + y – 2 = 0, 2x + y – 3 = 0
Tìm tọa độ điểm B và C
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 5) Hình chiếu vuông góc
của điểm B trên AC là H(1; 3) và đường trung trực cạnh BC có phương trình x + 4y − 5 = 0 Tìm tọa độ
các đỉnh B, C và D
Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng
BD, các điểm H( 2;3)− và K(2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD Xác
định toạ độ các đỉnh , , ,A B C D của hình vuông ABCD
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc
tọa độ Đường phân giác trong của góc ABC có phương trình là x+2y− =5 0 Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm K(6; 2)
HÌNH PHẲNG OXY DÀNH CHO NGƯỜI MỚI HỌC
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;−1) và hai đường cao kẻ
từ A và B lần lượt có phương trình 2x + 3y − 8 = 0 và x − 2y − 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
Lời giải :
Gọi 8 3 ;
2
t
A − t
và B(2u+8;u) Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của BC và AC
( )
8 3
2 2
M
M
t x
−
;
Khi đó BM u AK(−3; 2)=0 1( )
( )
2
N
N
Suy ra 1 2 ; 3
Khi đó AN u BH( )2;1 =0 2( )
2
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; 3)− và BC = 2AB,
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tìm tọa độ đỉnh C, biết hai điểm M, N cùng thuộc đường
thẳng d x: +3y− =16 0
Lời giải:
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AC và
MN Gọi I =MN∩CD Ta có: DK: 3x− −y 24=0
Dễ thấy AMIC là hình bình hành do vậy CI =AM
DK = DI = ⇒= − 41 3;
5 5
Suy ra phương trình AC qua H và AC/ /MN là:
x+ y− =
Gọi C(10 3 ;− t t) ta có ( ) (2 )2
( )
0 10; 0
6 32 6
;
5 5 5
5 5
là các điểm cần tìm
Trang 3Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy
tại E sao cho AE=2EB Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là 13
2;
3
G
Viết phương
trình cạnh BC
Lời giải :
Ta có : AG=2GM ta có:
( )
( )
0 2 2
2;3
2
M
M
x
M y
⇒
Khi đó AM x: =2 Do tam giác AEC cân tại A nên trung tuyến
AM đồng thời là đường cao do đó EC y: =3
Ta có E=EC∩Oy⇒E( )0;3 Khi đó: C( )4;3
Lại có: AE=2EB⇒B( )1;1 do vậy BC: 2x−3y+ =1 0
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC và G(1; 1) là trọng tâm của
nó Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết rằng các đường thẳng BC, BG lần lượt có phương trình:
x− y− = và 2x− − =y 1 0
Lời giải :
Ta có điểm B=BG∩BC⇒B(0; 1− )
Gọi C(3t+3;t) thuộc BC ta có: GB=GC ( do điểm G thuộc trung
( ) ( )2 2 0 ( ) (3; 0 ) ( )
C t
=
0; 4 3
G
G
x
A
y
=
⇔
Vậy A( ) (0; 4 ;B 0; 1 ;− ) ( )C 3; 0
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình BC: x − 2y +12 =
0, phương trình đường cao kẻ từ B: x − y + 6 = 0, đường cao kẻ từ C đi qua điểm M(3; 5) Viết phương
trình các đường thẳng AB, AC và tìm toạ độ điểm B
Lời giải :
Trang 4+) Kẻ BH ⊥AC (H∈AC)⇒BH x: − + =y 6 0.
B=BH∩BC ⇒ tọa độ B là nghiệm của hệ
( )
0; 6
B
( )2 ( )2
1.1 1 2 cos ;
1 1 1 2
=
10
HBC
ABC
10
A⇒HBC=MCB⇒ MCB=
+) Gọi n=( )a b; là một VTPT của CM ( 2 2 )
0
a +b >
()
( )2
2
MC BC
−
2
10
−
( )( )
7
= −
• TH1 b= −a, chọn a=1⇒b= −1⇒n = −(1; 1) là một VTPT của CM
Mà BH nhận n1= −(1; 1) là một VTPT BH/ /CM
• TH2 b= −7 ,a chọn a=1⇒b= −7⇒n = −(1; 7) là một VTPT của CM
Kết hợp với CM qua M( )3;5 ⇒CM :1(x− −3) (7 y− =5) 0⇒CM x: −7y+32=0
+) C=CM ∩BC ⇒ tọa độ của C là nghiệm của hệ 7 32 0 4 ( 4; 4)
C
BH nhận n1= −(1; 1) là một VTPT mà AC⊥BH ⇒AC nhận n2 =( )1;1 là một VTPT
Kết hợp với AC qua C(−4; 4)⇒AC:1(x+ +4) (1 y− =4) 0⇒AC x: + =y 0
+) CM nhận n = −(1; 7) là một VTPT mà AB⊥CM ⇒ AB nhận n3 =( )7;1 là một VTPT
Kết hợp với AB qua B( )0; 6 ⇒AB: 7(x− +0) (1 y− =6) 0⇒ AB: 7x+ − =y 6 0
Đ/s: AB: 7x+ − =y 6 0; AC x: + =y 0; B( )0; 6
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(0;4) là tâm đường tròn ngoại
tiếp, đường cao và đường trung tuyến kẻ từ điểm A lần lượt có phương trình x + y – 2 = 0, 2x + y – 3 = 0
Tìm tọa độ điểm B và C
Lời giải :
Trang 5+) Kẻ AH ⊥BC (H∈BC) và gọi M là trung
AH x y BC
+ − =
⇒
+ − =
+) A= AH∩AM ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ
( )
1;1
A
+) IM ⊥BC mà AH ⊥BC⇒IM / /AH
AH nhận n =( )1;1 là một VTPT
IM
⇒ nhận n =( )1;1 là một VTPT
Kết hợp với IM qua I( )0; 4
( ) ( )
:1 0 1 4 0 : 4 0
+) M =IM ∩AM ⇒ tọa độ M là nghiệm của hệ
( )
1;5
M
+) AH nhận n=( )1;1 là một VTPT, mà BC⊥ AH ⇒BC nhận n1= −(1; 1) là một VTPT
Kết hợp với BC qua M(−1;5)⇒BC:1(x+ −1) (1 y− =5) 0⇒BC x: − + =y 6 0
+) Gọi ( )T là đường tròn tâm I( )0; 4 bán kính IA
+) B∈BC x: − + =y 6 0⇒B t t( ; +6) mà B∈( )T
( )2
3
t
t
=
• Với t=1⇒B( )1; 7 mà M(−1;5) là trung điểm của BC⇒C(− −2 1;10 7− )⇒C(−3;3 )
• Với t= −3⇒B(−3;3) mà M(−1;5) là trung điểm của BC⇒C(− +2 3;10 3− )⇒C( )1; 7
Đ/s: ( ) ( )
( ) ( )
1; 7 , 3;3
3;3 , 1; 7
−
−
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 5) Hình chiếu vuông góc
của điểm B trên AC là H(1; 3) và đường trung trực cạnh BC có phương trình x + 4y − 5 = 0 Tìm tọa độ
các đỉnh B, C và D
Lời giải :
+) Gọi I = AC∩BD và M là trung điểm của BC
Trên đường trung trực của BC ta lấy một điểm K bất
kỳ ⇒MK x: +4y− =5 0
+) BH ⊥ AH⇒BH nhận HA=( )2; 2 là một VTPT
Mà BH qua H( )1;3 ⇒BH: 2(x− +1) (2 y− =3) 0
( )
: 4 0 ; 4
Trang 6
( ) ( )
:1 1 1 3 0 : 2 0
( ; 2)
C c c
⇒ + mà M là trung điểm của BC
2
b c
(1)
+) MK nhận n1 =( )1; 4 là một VTPT nên nhận u=(4; 1− ) là một VTCP
Có CB= −(b c; 2− −b c) và MK ⊥CB nên u CB = ⇔0 4(b c− − − − = ⇔) (2 b c) 0 5b− =3c 2
( )
Mà I là trung điểm của 3 4 5 2; 1 3;
Lại có I là trung điểm của BD⇒D(− +1 2;3 6− )⇒D(1; 3 − )
Đ/s: B(−2; 6 , ) (C − −4; 2 , ) (D 1; 3− )
Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng
BD , các điểm H( 2;3)− và K(2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD Xác
định toạ độ các đỉnh , , ,A B C D của hình vuông ABCD
Lời giải:
Ta có: EH y: − =3 0 và EK x: − =2 0
AH x
AK y
+ =
⇒
− =
⇒A(−2; 4)
Giả sử n =( )a b; , ( 2 2 )
0
a +b > là VTPT của đường thẳng BD
45
2 2
a
+
+) Với a= −b, chọn b= −1⇒a=1⇒BD x: − + =y 1 0⇒B(− −2; 1 ;) ( )D 3; 4
Trang 7( )
( )
4; 4
1;1
EB
ED
⇒
=
⇒E nằm trên đoạn BD (thỏa mãn)
Khi đó: C(3; 1− )
+) Với a=b, chọn b=1⇒a=1⇒ BD x: + − =y 5 0⇒B(−2; 7 ;) ( )D 1; 4
( )
( )
4; 4
1;1
EB
ED
= −
⇒
= −
⇒EB=4ED⇒E nằm ngoài đoạn BD (loại)
Vậy: A(−2; 4 ;) (B − −2; 1 ;) (C 3; 1 ;− ) ( )D 3; 4
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc
tọa độ Đường phân giác trong của góc ABC có phương trình là x+2y− =5 0 Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm K(6; 2)
Lời giải:
(5 2 ; ), (2 5; )
B − b b C b− −b , O(0; 0)∈BC
Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong góc ABC nên
(2; 4)
I và I∈AB
Tam giác ABC vuông tại A nên BI=(2b−3; 4−b)vuông góc
với CK=(11 2 ; 2− b + b) →BI CK =0
2
1
5
b
b
=
=
+) Với b=1⇒B(3;1), ( 3; 1)C − − ⇒ A(3;1)≡B loại
+) Vớib=5⇒B( 5;5), (5; 5)− C − 31 17 ;
5 5
Vậy 31 17; ; ( 5;5); (5; 5)
O B
I
K
Thầy Đặng Việt Hùng