HOT Hình phẳng Oxy: Các bài toán về giải tam giác Nguyễn Bá Tuấn

Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia và được coi là phần lấy điểm 8 trong đề thi. Với xu hướng ra đề của Bộ hiện nay có l sự kết hợp các tính chất hình học đã được học ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa độ Oxy vào một toán. Khi đó bài toán hình học phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn và để giải quyết được bài toán thì nút thắt đó chính là nhận và chứng minh tính chất đặc trưng. Trong chương trình THCS ta đã được học các tính nhìn chất của rất nhiều loại hình quen thuộc như: tam giác, tứ giác... và trong kỳ thi các năm trước các dạng toán xoay quanh các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít. Bởi vậy các bài toán dưới đây sẽ giúp các bạn nắm rõ các tính chất cũng như các dạng toán liên quan tới tam giác.

2015 - 2016

H

ề

ệ

Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia v ược coi là

phần lấy iểm iểm 8 trong ề thi Với xu hướng ra ề của Bộ hiện nay ó l sự kết hợp các tính chất

hình học ặc trưng ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa ộ Oxy v o 1 b i toán Khi ó b i toán hình học

phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn v ể giải quyết ược bài toán thì nút thắt ó chính l nhìn nhận và

chứng minh tính chất ặc trưng Trong chương trình THCS ta ã ược học các tính chất của rất nhiều

loại hình quen thuộc như: tam giác, tứ giác và trong kỳ thi các năm trước các dạng toán xoay quanh

các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít Bởi vậy các b i toán dưới ây sẽ giúp các bạn nắm rõ

các tính chất cũng như các dạng toán liên quan tới tam giác

E D

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(1;0), N(4;-3) lần lượt l trung iểm các

cạnh AB, AC v D(2;6) l chân ường cao hạ từ ỉnh A xuống cạnh BC Tìm tọa ộ các ỉnh A, B, C

HD

+ Ta viết ược pt ường BC qua D và // với MN: x  y 8 0 =0

+ Tham số hoá toạ ộ iểm B (theo biến b) qua phương trình ường BC:

B(b;8 - b)

 Toạ ộ iểm A (theo biến b) do AM MB A2b b; 8

+ Viết ược phương trình ường thẳng AD qua D và vuông góc với BC

x  y

 Thế toạ ộ iểm A(theo biến b) v o phương trình AD, ta sẽ tìm ược b=7

 Tìm ược toạ ộ iểm: B(7;1);A(-5;-1);C(13;-5)

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tương ứng là chân

ường cao hạ từ ỉnh A, B, C của tam giác ABC Xác ịnh tọa ộ các ỉnh tam giác ABC

Viết pt t NB l phân giác góc MNP l x – y =0

Viết pt t AM l phân giác góc PMN là x + 2y = 0

Pt t BC vuông góc AM v i qua M l : 2x – y – 5 =0

Pt t AC i qua N v vuông góc BN l x + y – 4 = 0

Tọa ộ B l giao iểm NB và BC là B(5;5)

Tọa ộ iểm C là giao của AC và BC là C(3;1)

Tọa ộ iểm A l giao iểm của AC và AM là A(8;-4)

D

N M

A

N P

M A

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ường tròn (C): 2 2

+ Dựa v o IA =R=> tìm ược toạ ộ iểm A(-4;3)

 Viết ược phương trình ường AC qua A và C x3y 5 0

 Tham số hoá toạ ộ iểm C theo t C5 3 ; t t

 Dựa vào IC=R => toạ ộ C 0;5

3

 

 

 

M l giao iểm của MN và AC⇒M(-1;2)

Pt MB i qua M v vuông góc với AC là:

B l giao iểm của BM v tr (I)⇒B(-3;-4) (B;C cùng phía so với MN)

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2;-1) v phương trình ường phân giác

trong của góc B và C lần lượt là x-2y+1=0, x+y+3=0 Viết phương trình cạnh BC

HD

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc B ta ược iểm D thuộc BC

Pt AD là 2x  y 3 0 cắt phân giác góc B tại M

M l giao iểm của AD v t ó M(1;1)⇒D(0;3)

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc C ta ược iểm E thuộc BC

Pt AE làx  y 3 0.N l giao iểm của AE và phân giác góc C

⇒N(0;-3) => Viết ược phương trình ường BC qua E và D: x = 0

Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC ường cao AH, trung tuyến CM v ường

phân giác trong BD Biết iểm H(-4;1), M(4;-2) v phương trình ường thẳng BD là x+y-5=0 Tìm tọa

Lấy H’ ối xứng với H qua BD =>H’(4;9) thuộc AB

 Viết ược pt ường ường AB qua H’ v M: x = 4 Lấy M’ ối xứng với M qua BD => M’(7;1) thuộc BC

 Viết ược pt ường ường BC qua M’ v H: y=1

 B là giao AB và BC B(4;1)

 Toạ ộ A là giao giữa AB và AH A(4;3)

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ường thẳng phân giác trong

góc A là x-y=0, phương trình ường cao hạ từ ỉnh C là 2x+y+1=0, cạnh AC i qua iểm M(0;-1) và

AB=2AM Tìm tọa ộ các ỉnh tam giác ABC

+ Toạ ộ C là giao giữa AM và CH: C(0;-1)

Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có chân ường phân giác hạ từ ỉnh A l iểm

D(1;-1) Phương trình tiếp tuyến tại A của ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x+2y-7=0 Giả sử

H

A

H A

B

C

M M'

H

M D I

C B

A

Bài toán 9: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình ường trung

tuyến kẻ từ A v ường thẳng chứa cạnh BC lần lượt là 3x+5y-2=0 và x-y-2=0 Đường thẳng qua A

vuông góc với BC cắt ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại iểm thứ hai là D(2;-2) Tìm tọa ộ các

ỉnh của tam giác ABC, biết ỉnh B có tung ộ âm

  của BC là giao giữa AM và BC

+ Viết pt ường thẳng AD qua A và vuông góc với BC x y 0

 Toạ ộ A(-1;1) là giao giữa AM và AD + Viết pt ường IM qua M và vuông góc với BC x  y 1 0

 I l giao iểm của IM v ường trung trực của AD

Bài toán 10: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;-1), phương trình

ường thẳng chứa cạnh BC là y+4=0 Biết ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC i qua hai iểm

M(6;-2), N(3;-7) Tìm tọa ộ iểm A

HD

- Gọi I là tâm ngoại tiếp ABC

- D l iểm ối xứng của H Qua BC

- Dễ thấy D thuộc ường tròn ngoài tiếp (do có góc BDA= góc BHK=góc BCA)

=> xác ịnh ược toạ ộ iểm D

=> xác ịnh ược tâm I ường tròn ngoại tiếp ABC

K H A

A

I

Gọi M, N, P lần lượt l trung iểm AC, BC, AB

 Tìm ược toạ ộ các iểm M, N, P theo a, b, c, d:

Bài toán 12 (KD-2011):Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có ỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1)

v ường thẳng chứa ường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 Tìm tọa ộ ỉnh A và C

Hướng dẫn giải

Gọi M l trung iểm của AC v E l iểm ối xứng

với B qua phân giác (AD)

x

C y

Bài toán 13 (KD-2010) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm

ường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác ịnh tạo ộ ỉnh C, biết C có ho nh ộ dương

Hướng dẫn giải

D I

E G

M A

B ối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3) Ta có :

+/ Phương trình (AH) : x=3 v BCAH suy ra (BC) có dạng y=a

( a 7) ví (BC) không qua A Do ó B,C thỏa mãn phương trình

x a  x  xa   (1)

Do vậu (1) có hai nghiệm khi a  70

Do C có ho nh ộ dương cho nên (1) :

I M

H A

I M

- Gọi D l giao iểm của AH với (C)=> D (3; 7)

- Gọi K l giao iểm của AD với BC

C x

Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, cho tam giác ABC có trung iểm cạnh BC là M(3,2),

trọng tâm v tâm ường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

Gọi A(xA; yA) Có AG2GM A(-4; -2)

Đường thẳng BC i qua M nhận vec tơ IM l m vec tơ pháp tuyến nên có PT:

2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y) Có C  BC  x + 2y - 7 = 0

Giải hệ phương trình ta tìm ược 5

1

x y

x y





 

 Vậy có 2 iểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)

Bài toán 15: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1),B(1;2), trọng tâm G của tam

giác nằm trên ường thẳng xy20 Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5

G

G

a x

b y

Bài toán 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết

trực tâm H(1;0), chân ường cao hạ từ ỉnh B là K(0; 2), trung iểm cạnh AB là M(3;1)

Hướng dẫn giải

K B

H A

K M

- Theo tính chất ường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến

- M(3;1) l trung iểm của AB cho nên A(5-t;2+2t)

- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1

Bài toán 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), ường cao từ ỉnh B có phương trình

x+y+1=0 trung tuyến từ ỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 Viết phường trình ường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Hướng dẫn giải

- Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương u 1;1 do ó

- Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) v K l trung iểm của AB cho nên B ối xứng với A qua K suy ra

B(2t-3;4t-4) Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên: (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo ộ B(-1;0) Gọi (C) :

Bài toán 18 Cho tam giác ABC có AD, BE l các ƣờng cao, CC’ l ƣờng trung tuyến xuất phát từ ỉnh

C(D, E, F lần lƣợt thuộc các cạnh BC: CA:AB) Biết tọa ộ D(0;0); E(1;2) ; '( 1 3; )

2 2

C 

và O(1;1) là tâm ƣờng tròn ngọai tiếp tam giác ABC Xác ịnh tọa ộ các ỉnh của tam giác

Hướng dẫn giải

Đối vơi b i toán n y ta chƣa thể ngay lập tức nhận ra ƣợc mối lien hệ giữa tâm ngoại tiếp của tam

giác và chân các ƣờng cao

Cho tọa ộ 2 iểm l chân ƣờng cao Nó khiến ta nghĩ tới trực tâm trong tam giác Ta thiết nghĩ nếu có

ƣợc tọa ộ trực tâm H thì có thể nói l b i toán ã ƣợc giải quyết

Và câu hỏi ặt ra bây giừ ó l mối liên hệ giữa trực tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp

Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ bài toán chứng minh 2

3

HG HO (với H; G; O lần lƣợt l trƣc tâm, trọng tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp )

Tuy nhiên iều này có vẻ chẳng giúp ta giải quyết ƣợc iều gì trong bài toán này

Lại nhìn vào thấy có trung iểm C’

Ta bắt ầu nghĩ về 1 iểm giúp ta liên hệ H với G khác, iểm O giúp ta nghĩ về ngoại tiếp và có lẽ ó

chính là tâm ngoại của ƣờng tròn ngoại tiếp 3 ỉnh D, E, C’ Một trong rất ít dữ kiện ề bài cho ta

Nó thật sự có ích, ta ã tìm ra ƣợc, ó chính l ƣờng tr n Euler (hay c n ƣợc gọi l ƣờng tròn 9

iểm)

Gọi O’ l tâm ngoại của ƣờng tròn Euler trong tam giác D, E, C’ V mối liên hệ của nó chính l O’ l

trung iểm của OH

Vì MDA'900 => MA’ l ƣờng kính của ƣờng tr n Euler => O’ l trung iểm MA’

M O’ cũng l trung iểm của HO( tính chất hình bình hành)

Từ ây ta có iều phải chứng minh

Lời giải cho bài toán chính

Từ tọa ộ D, E, C’ suy ra tâm tọa ộ iểm O’ ngoại tiếp tam giác DEF

Từ tọa ộ của O v O’ suy ra có tọa ộ H(0;1) => M (0;2) => tọa ộ A(0;3)

Từ ây ta viết phương trình các ường thẳng AB, BC, CA và tìm ra tọa ộ các ỉnh

(TRONG BÀI TOÁN NÀY PHƯƠNG TRÌNH BC CHÍNH LÀ Ox)

Công việc bây giờ trở nên vô cùng ơn giản bạn tự tìm nốt các iểm còn lại

Mở rộng bài toán

Ta có thể thay tọa ộ 2 chân ường cao v trung iểm bằng bất kì 3 cặp iểm n o trong 9 iểm thuộc

ường tr n Euler V như thế ta có thể tạo ra rất nhiều b i toán tương tự Trong bài tóan trên ta cũng có

thể thay tọa ộ ) bằng tọa ộ G, v cách l m cũng tương tự như thế

Cái hay trong bài toán trên chính là nhìn ra tính chất của ường tròn Euler Bạn ọc cũng có thể khai

thác những tính chất sau của ường tròn này :

Cách1: dựa vào tính chất đường tròn Euler tiếp xúc với các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC

Với tính chất này ta có thể ưa b i toán trở nên vô cùng khó bằng cách cho 3 ường tròn

Sau ó dựa v o 3 ường tr n ể tìm ra ường tr n tâm O’ rồi lại sử dụng các tính chất tiếp tuyến ể

tìm ra tọa ộ các ỉnh còn lại của tam giác.( thật sự ây l 1 bài toán sẽ trở lên vô cùng khó khăn ể giải

quyết

Cách 2: sử dụng tính chất bán kính đường trong Euler của tam giác ABC bằng 1 nửa bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hay nói cách khác ta tận dụng tính chất O’A’ song song với OA Ta có thể chọn 1 trong 3 iểm và

dùng 3 iểm ó ể có thể tìm ra iểm còn lại Việc sử dụng ẩn dữ kiện cùng với 1 số liệu khác sẽ có

tính gây nhiễu rất cao và nếu không biết về ường tròn này ta sẽ không thể giải quyết ược bài toán Ta

có thể cho thêm 1 dữ kiện về 3 trong số 1 iểm trên cùng với tọa ộ B hoặc C thì ta sẽ tìm ược các tọa

ộ các ỉnh khác như H, G của tam giác

Cách3 : Cho iểm G thay cho iểm O

Bài toán 19: Cho ∆ABC nội tiếp ường tròn (I ) và có trực tâm là H D l 1 iểm thuộc cung nhỏ BC E,

G lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC F l giao iểm của HD và EG Cho tọa ộ H(0;-3),

Gọi K l giao iểm của BH và (I )

Cm H v K ối xứng với nhau qua AC⇒K(6,1)

Xác ịnh tọa ộ I l giao iểm trung trực của DC,CK

I M

N

D E

G K

Bài toán 20:Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy ,cho ABCcó AC2AB Điểm M 1;1 l trung iểm

của BC, Ncạnh ACsao cho 1

Ta có:AD ối xứng AM qua phân giác AE của ABC  AE là phân giác trong

củaDAMvàBADMAC

Áp dụng ịnh lý sin trong BAD MAC :,

sinsinsinsin

BAD BD

AD ABD

AM ACM

AC ABD   Kết hợp (1) và (2)  1 

3

a BE

Bài toán 21: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho ABCcó trung iểm cạnh BClàM3; 1 ; ƣờng thẳng

chứa ƣờng cao kẻ từ ỉnh B i qua E 1; 3v ƣờng thẳng chứa cạnh AC i quaF 1;3 Tìm tọa

ộ các ỉnh ABC, biết iểm ối xứng của A qua tâm ƣờng tròn ngoại tiếp ABClà D4; 2 

H C

D H





  BHCDlà hình bình hành DH và BCcắt nhau tại trung iểm

mỗi ƣờngM l trung iểm DH  2 2  2; 0

Bài toán 22: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ường phân giác trong góc A v ường

cao kẻ từ B có phương trình lần lượt là 12x+4y-5=0; x-y-2=0 Điểm M(1;-5

Bài toán 23: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp ường tròn tâm I(6;6), ngoại tiếp

ường tr n tâm J(4;5) Xác ịnh tọa ộ 2 ỉnh B, C biết A(2;3)

HD

+ gọi D l giao iểm của AJ với ường tròn ngoại tiếp

Khi ó tam giác IAD cân tại I

+ Gọi M l iểm tiếp xúc của ường tròn nội tiếp với BC

 (lưu ý M v D cùng 1 phía so với t IJ)

viết c PT: BC 3x4y420 => toạ ộ BC là giao giữa BC với ường tròn ngoại tiếp

  2;9 ; 10;3

Bài toán 24: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác nhọn ABC có A(3;-7) Gọi H, K, M lần lượt là

chân ường cao kẻ từ B v C; trung iểm của cạnh BC Giả sử M(-2;3) v phương trình ường tròn

ngoại tiếp tam giác AHK là (C): 2 2

(x3) (y4) 9 Tìm tọa ộ các iểm B, C

HD

+ Ta xác ịnh ược tâm J(3;-4) ường tròn ngoại tiếp AHK l trung iểm AE

với E là trực tâm ABC

 Toạ ộ trực tâm E(3;-1) + Viết ược phương trình BC l ường thẳng qua M và có VTPT là AE

:y3

+ Tham số hoá B theo biến t => toạ ộ C theo t B t ;3 C3t;3

Dựa vào ACBEt AC  t;10 ; BE  3 t; 4⇒t=8 hoặc t= - 5

Từ ó tìm ược toạ ộ B, C: B(8;3);C(-5;3) hoặc ngược lại

Bài toán 25: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết ỉnh A(1;3)

và hai trung tuyến có phương trình l x-2y+1=0 và y-1=0

HD

+ Nhận thấy A không thuộc trung tuyến nào

=> G/s ường x-2y+1=0 qua B và y-1=0 qua C

+ Ta xác ịnh ược trọng tâm G l giao 2 ường trung tuyến G(1;1)

 Trung iểm M của cạnh BC (qua tính chất trọng tâm AB=2GM)

I J

E

H K

 M(1;0) + Tham số hoá B qua ường x-2y+1=0 theo biến t=> toạ ộ C theo t

x  y B2t1;tC3 2 ; t t

Thay toạ ộ C theo t v o phương trình ường CE => tìm ược t=-1

=> toạ ộ B(-3;-1), C(5;1)

Bài toán 26: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ỉnh A(2;7) v ường thẳng AB cắt Oy

tại iểm E sao cho AE2EB Biết rẳng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm G(2;13

3 ) Viết phương trình cạnh BC

HD

+ Ta xác ịnh ược toạ ộ iểm M l trung iểm của EC⇒M(2;3)

Do AEC cân tại A nên AM vuông góc với EC

 Viết ược pt t EC qua M có VTPT l AM: y = 3 + Mặt khác có E thuộc Oy

=> xác ịnh toạ ộ iểm E là giao giữa Oy với EC ⇒ E(0;3)

=> tìm ược toạ ộ C (AC=AE= 2 5 và C thuộc t CE) suy ra C(4;3)

=> tìm ược toạ ộ iểm B (do AE2EB) B(-1;1)

PT BC là: 2x5y 7 0

Bài toán 27: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên ường thẳng

d: 3x-y-8=0 v hai iểm A(2,-3), B(3;-2) Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác GAB bằng 1

2

HD

+ Tham số hoá G theo biến t G t t ;3 8

+ Xác ịnh ược trung iểm M của AB => 5; 5

F A

E

N