chuyên đề hệ phương trình qua kì thi thử 2016

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Biên tập: Nguyễn Phú Khánh... Xét x y, không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với:... Phương trình đầu viết lại:... Các nghiệm này đều thỏa

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Biên tập: Nguyễn Phú Khánh

x y

  



 



21 5

x x

1 Nhận thấy x 0 không là nghiệm của hệ

Với x 0, hệ cho tương đương

2

2 2

14(*)1

y

x y

x y

y  x không thỏa mãn

Thay y2x vào phương trình thứ hai ta được 1 2

4x 2x 3 x 1 2x, phương trình này có nghiệmx   2 y 5

Với x  1 thay vào phương trình thứ hai, ta được 2

Phương trình đầu viết lại: 2 2

2 1 0,

11

  Nhận xét x1,y không là nghiệm của hệ Xét 1 y 1 phương trình

3

2 2

21 5

x x

10 Phương trình thứ hai tương đương  2  2 2

Xét x y, không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với:

x  y  x y  nên (*) vô nghiệm

Với x      thay vào phương trình thứ hai, ta được: y 1 0 y x 1 2 2

44

Phương trình đầu tương đương: x y 3 xyy 1 4(y  1) 0 (1)

Để đơn giản lời giải, ta đặt u xy v,  y (1 u0,v0)

Do y 0 ta chia hai vế của phương trình cho 2

Phương trình thứ 2 tương đương với 3 3

(x2) (y1)    (3) y x 1Thay (3) vào phương trình thứ nhất ta được:

x   x   x 1;x2 thoả mãn điều kiện

Khi x    thỏa điều kiện 1 y 0

Khi x   thỏa điều kiện 2 y 3

Vậy, nghiệm của phương trình là ( ; )x y  ( 1;0), (2;3)

y x

 , suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Với y  thay vào (2) ta được 3 5x 1  x 3 5x 4 2x7 (3)

 không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0

Khi đó phương trình đầu 2 1

f t t t  t   t có

2 2

12

3

x x

là duy nhất, dự đoán (0)g  0 x 0là nghiệm duy nhất của phương trình ( )b ( ; )x y (0;4)

2 Phương trình đầu viết lại:

4 x  1

(x2 )y (2x 4x y)(xy 2y ) 0 (x2 )(1y 2x y ) 02

Từ phương trình đầu, suy ra để phương trình cớ nghiệm thì y 0

Phương trình đầu tương đương  3  2  

2 2x1 2 2 2x1 4 2 2x 1 y 2y 4y(*)

x y x

Với 3 2 3 4 3 3

Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện

Hệ phương trình có hai nghiệm  ;  3 2 3;4 3 3 ,

x y

Mặt khác g 1  0

Từ đó ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Với x    (thỏa mãn điều kiện ban đầu) 1 y 2

Do đó ( )f x đồng biến trên  , nên (3) f x( ) f(2)    x 2 y 3

2 Phương trình đầu viết lại: 3  3  

x  x y  yXét hàm số   3

Nhận thấy x 1không là nghiệm phương trình

Với x 1thì  a viết lại dạng  3  3 

Ta có g  1 0; g 3  Từ đó phương trình 0 g x   0 có đúng hai nghiệm x  1 và x 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm   và 1; 2  3;2

0

xy 

Phương trình đầu tìm được: 2 2 2

x xy x  x y , thay vào phương trình thứ hai, rồi đưa về dạng:

Màf t  liên tục trên   , suy ra hàm số 2;  f t  đồng biến trên   2; 

Do đó: x  Thay vào phương trình (2) ta được: y 1 3

Với a b , 0 thì a2b 1 0 vô nghiệm

Xét a     thay vào phương trình thứ hai, ta được: b 0 y x 2

Phương trình đầu viết lại:  5

( ; )x y (0;0) không là nghiệm của hệ

Xét x 0, chia hai vế phương trình đầu cho 5

0

x  , ta được

5 5

x y

   suy ra hàm số đồng biến trên  , khi đó (*)   x y

Thay vào (2) ta được 3 4 2 2

số đồng biến trên  Phương trình (*) có dạng ( )f x  f(  y) x y

Thay vào phương trình thứ hai, ta được :

 2  2  

3 2 2

44

92

     hoặc x 1 Khi đó ta được nghiệm x y;  là 0;12 và 1;11

Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm x y ;  0;12 , 1;11  

Giải hệ phương trình:

Bài 13

6 6 36 trên như sau :

Do tính đối xứng nên giả sử :

Suy ra 2 x2 y2 y8x y 4x Đẳng thức xảy ra khi y4x 8

Do đó phương trình đầu tiên tương đương y4x thay vào phương trình thứ hai, ta được: 8

4 3x x 1 7 3x x 2  

      nên ( )b vô nghiệm

3 x  2, phương trình đầu tiên    x y 0

4 Từ phương trình đầu của hệ ta có các đánh giá: 3 2 3 2  2 3 5