Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình

Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010 Việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp tôi giải quyết phương trình1 một cách dễ dàng, còn đối với hệ phương trình I, phương pháp sử dụngtính đ

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi đại học cao đẳng, bồi dưỡng học sinhgiỏi cho các em hoc sinh về phần phương trình và hệ phương trình, tôi gặpmột số phương trình và hệ phương trình mà các phương pháp giải đã được đềcập trong sách giáo khoa ở lớp 10 hiện hành không thể giải được hoặc việcgiải chúng theo phương pháp này là rất khó khăn và dài dòng

(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)

Việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp tôi giải quyết phương trình(1) một cách dễ dàng, còn đối với hệ phương trình (I), phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số cho ta một lời giải hay Ngoài ra, thông qua việcgiải các đề thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy sử dụng phương pháp đặt

ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán

về phương trình và hệ phương trình tỏ ra rất hiệu quả và cho lời giải hay

Qua hai năm tìm tòi, nghiên cứu và thực hiện giảng dạy, bồi dưỡng họcsinh giỏi, tôi thấy những phương pháp nêu trên có hiệu quả và chọn viết sáng

kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình”.

Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Ngãi, ngày 5 tháng 5 năm 2012

Người thực hiện

Huỳnh Đoàn Thuần

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ đi sâu khai thác haiphương pháp chủ yếu để giải phương trình và hệ phương trình đó là phươngpháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Mỗiphương pháp sẽ được trình bày thành một chương

1/

 2

( ) 0( ) ( )

Cách giải: Xét v = 0, kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không

Xét v 0, chia hai vế của phương trình cho v2ta thu được mộtphương trình bậc hai đã biết cách giải

3/ Hệ đối xứng loại 1(2 ẩn): là hệ phương trình mà vai trò của x và ytrong từng phương trình của hệ là như nhau

Cách giải: Đặt S  x y P xy;  , đưa hệ đã cho về hệ giải được bằngphương pháp thế.

4/ Hệ đối xứng loại 2(2 ẩn): là hệ mà khi thay đổi vai trò của x và y trong

hệ thì mỗi phương trình của hệ biến thành phương trình còn lại

Cách giải: sử dụng phương pháp cộng đại số các phương trình của hệ tathu được một phương trình tích với một nhân tử là (x – y), từ đó tìm được mốiliên hệ bậc nhất giữa x và y, rồi giải tiếp bằng phương pháp thế

2.1 THỰC TRẠNG:

Như đã đề cập ở phần lý do chọn đề tài, đứng trước phương trình (1), vớinhững phương pháp giải phương trình đã được trình bày trong chương trìnhsách giáo khoa lớp 10 hiện hành, học sinh sẽ suy nghĩ ngay đến phương phápbiến đổi tương đương để đưa về phương trình bậc 4 với hy vọng tìm được mộtnghiệm để đưa phương trình đó về bậc thấp hơn rồi giải Tuy nhiên việc làmnày học sinh sẽ không thực hiện được vì phương trình bậc 4 này không đặcbiệt, cũng không có nghiệm nguyên, vì thế học sinh tỏ ra lúng túng và bế tắc.Bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng loại 2, họcsinh gặp ngay một dạng toán quen thuộc mà phương pháp giải đã rõ ràng Vìvậy cần thay đổi và bổ sung một số kĩ thuật sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

để giải quyết được những phương trình và hệ phương trình phức tạp

Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 10, 11, 12 của trường về khả năngvận dụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải cácbài tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trườngnăm học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau:

Số học sinh giải được Số học sinh không giải được

2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:

a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2:

Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được: 2010( 2 2) 1

đối xứng loại 2, đã biết cách giải

Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được

Nhận xét: Với hai phương trình trên, nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ thông

thường, hay bằng phép biến đổi tương đương, thì bài toán trên nên rất phức

tạp, và không thể đưa được về dạng quen thuộc, thậm chí còn dẫn đến mộtphương trình phức tạp hơn Việc sử dụng cách đặt ẩn phụ mà ta coi ẩn phụcùng với ẩn ban đầu của phương trình như là hai ẩn của một hệ phương trìnhgiúp ta đưa bài toán về được dạng quen thuộc ngay Cách làm này khá thú vị

và giúp cho học sinh có một cách tư duy mới trong quá trình giải toán

Ngoài ra cách đặt ẩn phụ như trên còn giúp ta có thể sáng tác ra đượcnhững phương trình mới từ việc xét một hệ phương trình đối xứng loại 2 quen

để đưa bài toán về hệ phương trình “gần” đối xứng loại 2

b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1:

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 3 10 x2  (3)5

Giải: Điều kiện:  10  x 10

Giải hệ trên tìm được 2

3

u v

Nhận xét: Qua 3 ví dụ trên, ta thấy việc sử dụng ẩn phụ giúp ta chuyển bài

toán từ dạng chưa quen thuộc về dạng quen thuộc đã biết cách giải, đồng thờihạn chế được những tính toán cồng kềnh hơn Mặt khác, ta còn có thể sángtác ra các bài toán mới từ những hệ phương trình đối xứng loại 1 đơn giản.chẳng hạn, từ hệ phương trình (*) ở ví dụ 3, ta thay u x 2  2, v y 2 y1

khi đó ta được hệ phương trình

Nhận xét: Với phương trình (4) việc sử dụng phương pháp biến đổi tương

đương sẽ làm bài toán phức tạp, sử dụng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phươngtrình cho ta lời giải hay và đơn giản hơn nhiều Đặc biệt với những bài toán cóchứa căn bậc cao (căn bậc 4, căn bậc 5,…) thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về

hệ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều

d) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp:

Ví dụ 7: Giải phương trình 10 x3  8 3(x2  x6) (5)

Giải: Đk: x 2

Phương trình 10 (x2)(x2 2x4) 3 (  x2  2x4) ( x2)

Đặt u x2;v x2  2x4;u0;v 3 Phương trình (5) trở thành

2 2

10uv3(u v ) Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải

Nhận xét: Với phương trình (5) việc biến đổi tương tương bằng cách bình

phương hai vế là không thực hiện được, vì phương trình thu được bậc 4nhưng không đặc biệt Dấu hiệu để nhận biết cách phân tích và đặt như trên làdựa vào biểu thức x3  8 (x2)(x2  2x4) mà trong đó

(x2) ( x  2x4)x  x6

* Dạng tổng quát:  P(x)+ Q(x)+   P(x).Q(x)  0 (phương trình đẳng cấp)

e) Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” đưa về phương trình bậc hai:

Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” là dùng một ẩn phụ t, đồng thời ẩn cũ vẫn còntồn tại trong phương trình mà ta coi nó như là một tham số, để phương trìnhthu được có dạng quên thuộc

Ví dụ 8: Giải phương trình: 4 1x  1 3 x2 1 x  1 x2 (6)Giải: Điều kiện:   1 x 1

Phương trình  4 1x  2 2 x(1 x) 2 1  x  1x 1 x

Đặt t 1 x, 0 t 2

Khi đó ta được phương trình: t2  2 1x t  2 1  x 2 1x 0 (6’)

Ta coi phương trình (6) là phương trình bậc 2 với ẩn t còn x coi như tham số,phương trình này có biệt thức  3 1x  22

phương trình còn phức tạp hơn phương trình ban đầu Vì vậy việc thừa nhậnđồng thời hai biến lại giúp ta đưa phương trình về dạng quen thuộc Tuy nhiêncũng lưu ý rằng, nếu biệt thức  không biểu diễn được dưới dạng A2thì bàitoán vẫn chưa giải quyết được, cần phải tìm hướng giải quyết khác.

Đôi khi ý tưởng trên còn được vận dụng vào việc giải hệ phương trình

Với hệ này, chúng ta phải bắt đầu biến đổi từ phương trình thứ nhất, tất nhiên

là cần tìm mối liên hệ bậc nhất giữa x và y Tuy nhiên việc phân tích phươngtrình thứ nhất thành nhân tử không phải là việc làm đơn giản Với ý tưởng coiphương trình y2 (y 3)x 4y3 là phương trình bậc 2 theo y, ta viết lạithành y2 (x 4)y 3 3x0, có biệt thức  (x2)2 Vì vậy ta tìm được

y  y  x Tới đây việc giải quyết hệ (IV) dễ dàng (xem lại ví dụ 6)

* Sau đây là một số bài tập tương tự để vận dụng phương pháp:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ đểgiải phương trình và hệ phương trình trong các kì thi học sinh giỏi cấp trường

và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-2012 tôi thu được mẫu sốliệu sau:

Kì thi HSG cấptrường

Kì thi HSG cấptỉnh

Thành tích đạtđược ở cấp tỉnhKết quả đạt được

Năm 2010-2011

2 giải KKKết quả đạt được

bài toán khác như: bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số, bài toán tính tích phân, bất đẳng thức,… Việc sử dụng ẩn phụ để giảicác bài toán về phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có được lời giải

rõ ràng, tính linh hoạt cao, có khả năng đưa một bài toán lạ về dạng quenthuộc một cách dễ dàng, có khả năng sáng tạo được nhiều bài toán mới hay vàđộc đáo từ những bài toán quen thuộc ban đầu

Tính chất 2: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì

phương trình f x ( ) 0 có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Chứng minh:

a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)

Giả sử có hai số x x x1, (2 1 x2) sao cho f x( )1 f x( ) 0 (*)2  Điều (*)này gặp phải mâu thuẫn, vì x1x2  f x( )1  f x( ),2 x x1, 2( , )a b (do hàm số

f tăng trong khoảng (a;b))

b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).

Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn

Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên

khoảng (a;b)

2.2 THỰC TRẠNG:

Trong những năm gần đây, trong các đề thi tuyển sinh đại học và các đềthi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về phương trình và hệ phươngtrình mà đối với học sinh là những bài toán khó và lạ, phần lớn học sinh đềulúng túng khi sử dụng các phương pháp giải đã biết như phương pháp biến đổitương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ Chẳng hạn, với hệ phương trình(I) đã đề cập trong phần lý do chọn đề tài, thì việc sử dụng phương pháp đặt

ẩn phụ, chúng ta không thể phát hiện được cách chọn ẩn phụ để đưa hệphương trình về dạng quen thuộc, còn sử dụng phép biến đổi tương đương,hay phương pháp thế thì bài toán càng trở nên phức tạp hơn Với hệ (I), chúng

ta dễ dàng phát hiện ra dạng của phương trình thứ nhất trong hệ như sau

3

(2 )x 2x 5 2 y  5 2 y , từ đó nhận ra dạng (2 )f x f( 5 2 ) y ,với f t( ) t3 t Vì thế chọn giải pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là tựnhiên và hợp lí

Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 11, 12 của trường về khả năng vậndụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các bàitập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường nămhọc 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau:

Số học sinh giải được Số học sinh không giải được

(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)

Giải: Điều kiện: 3; 5

Nhận xét: Với hệ trên học sinh gặp những khó khăn sau: một là không thể

biểu diễn được x qua y hay y qua x (theo quan hệ bậc nhất) nên việc sử dụngphương pháp thế là không thể; hai là hệ trên chưa có dạng đặc biệt và có chứacăn thức nên khả năng sử dụng ẩn phụ cũng khó Việc biến đổi phương trình(a) để đưa về dạng (*) là nên nghĩ đến, khi đó nhận dạng ngay ra phươngpháp giải sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ngoài ra, khi giải phương trình(c ) cũng nên chọn lựa phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số vì

phương trình này khá phức tạp không thể sử dụng phương pháp biến đổitương đương hay đặt ẩn phụ được.

Thay vào phương trình (b) ta được: 2 2 (2 )3 0 0

2(thõa điều kiện)

Vậy hệ phương trình (V) có 2 nghiệm (0, );(2; )3 1

Do đó f(x-1) = f(2x)  x 1 2 x x1 Vậy (7) có 1 nghiệm x 1

Ví dụ 12: Giải phương trình: 16x34x2  4x 1 2(4x 1) 4x 1 (8)

(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010 – 2011)

Giải: Điều kiện: 1

4

x 

Đặt y  4x 1,y 0 4x 1y2 (*)

Thay y 4x 1 vào (8) ta được: 16x3 4x2  4x 1 2y3 (**)

Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được 16x3 4x2 2y3  y2

* Sau đây là một số bài tập tương tự để vận dụng phương pháp:

Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

1) 3x 1 x  7x2 5 2) 5x3  1 3 2x 1 x 43) x 5 x  x7 x16 14 4) x2 15 2 3  x x2 8

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

7) 2x 1x2 3x   (Tạp chí THTT tháng 8/2011)1 0

(Đề học sinh giỏi lớp 12 thành phố Hải Phòng năm 2010)

Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:

cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vậndụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh Kết quả cụ thể như sau:

Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp sử dụng tínhđơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình trong các kì thihọc sinh giỏi cấp trường và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-

2012 tôi thu được mẫu số liệu sau:

Kì thi HSG cấptrường

Kì thi HSG cấptỉnh

Thành tích đạtđược ở cấp tỉnhKết quả đạt được

Năm 2010-2011

2 giải KKKết quả đạt được

bị cho các em học sinh một số kĩ thuật sử dụng phương pháp này có ý nghĩarất lớn, giúp các em có cái nhìn mới và đầy đủ hơn về ý nghĩa phần hàm sốtrong chương trình toán phổ thông, giúp các em có khả năng vận dụng linhhoạt “phương pháp hàm số” trong việc giải phương trình và hệ phương trìnhnói riêng và giải toán nói chung

PHẦN III: KẾT LUẬN

Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm

số là hai phương pháp chủ đạo và khá phổ biến trong việc giải các dạng toán

về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói riêng và hầu hết cácdạng toán khác nói chung trong chương trình toán phổ thông Vì vậy việctrang bị cho các em học sinh khả năng vận dụng linh hoạt và thành thạo haiphương pháp này có ý nghĩa rất lớn trong việc bồi dưỡng năng lực môn toáncho học sinh, tạo cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo

Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tự tìm tòi, nghiêncứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấptrường và cấp tỉnh ở cả hai khối 11 và khối 12 trong hai năm học 2010 – 2011

và 2011 – 2012 Qua hai năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệuquả của đề tài rất cao, đã đạt được những thành tích nhất định trong kì thi họcsinh giỏi cấp tỉnh, có thể áp dụng để giảng dạy luyện thi đại học, cao đẳng,bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho những năm tiếp theo Trong nămhọc tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiệnhơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏicấp tỉnh đạt kết quả

Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để

đề tài này hoàn thiện hơn, và khả thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng họcsinh giỏi các cấp cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũngkhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thànhcủa các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đềtài của tôi được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

Quảng Ngãi tháng 05 năm 2012

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục (2003)

[2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Việt Nam