Thấy vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, còn vế phải của phương trình là tích của một biểu thức bậc nhất với căn thức nên khi ta nâng lũy thứa hai vế của phương trình thì được
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
3x −5x+ =4 x+1 3x−2
PHÂN TÍCH CASIO Thấy vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, còn vế phải của phương trình là
tích của một biểu thức bậc nhất với căn thức nên khi ta nâng lũy thứa hai vế của phương trình thì được biểu thức có bậc cao nhất là bậc 4 Với biểu thức bậc 4 ta có thể phân tích thành nhân tử bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi sử dùng Viet đảo
Bình phương hai vế của phương trình ta được
3x −5x+4 = x+1 3x−2 ⇔ 3x −5x+4 − +x 1 3x−2 =0
Ta thấy biểu thức trên khá phức tạp, nếu khai triển bằng tay thì khá khó khăn và dễ nhầm lẫn Ta có thể khai triển biểu thức trên bằng cách sử dụng máy tính casio như sau
Thay x=100 vào biểu thức trên bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
3X −5X +4 − X +1 3X −2 =867446118≈900000000=9X
3X −5X +4 − X +1 3X − −2 9X = −32553882≈ −33000000= −33X
3X −5X +4 − X +1 3X − −2 9X +32X =446118≈450000=45X
3X −5X +4 − X +1 3X − −2 9X +32X +55X = −3882≈ −3900= −39X
3X −5X +4 − X +1 3X − −2 9X +32X +55X +38X =18
Sau khi khai triển biểu thức trên thì phương trình trở thành 9x4 −33x3+45x2 −39x+18=0 Ta thấy đây là phương trình bậc bốn, ta có thể giải phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi phân tích thành nhân tử Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm nghiệm của phương trình ta tìm được nghiệm
của phương trình là x=1 và x=2 , đó đó 9x4 −33x3+45x2 −39x+18=0 có nhân tử
(x−1)(x−2)=0 hay x2 −3x+ =2 0
Ta thấy 9x4 −33x3 +45x2 −39x+18=0 là phương trình bậc bốn nên là tích của hai biểu thức bậc hai, ta tìm nhân tử còn lại của phương trình bằng cách chia đa thức sau
4 3 2
2
x x
Ta thay x=100 vào biểu thức trên bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
2 2
89409 90000 9
X
2 2
2 2
2 2
X X X X
X X
X X
X X X X X X X X
LỜI GIẢI Điều kiện: 2
3
x≥ Phương trình đã cho tương đương
02 PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
Trang 2Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={ }1; 2
2x −3x− =3 x+2 5x+3
PHÂN TÍCH CASIO Thấy vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, còn vế phải của phương trình là
tích của một biểu thức bậc nhất với căn thức nên khi ta nâng lũy thứa hai vế của phương trình thì được biểu thức có bậc cao nhất là bậc 4 Với biểu thức bậc 4 ta có thể phân tích thành nhân tử bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi sử dùng Viet đảo
Bình phương hai vế của phương trình ta được
2x −3x−3 = x+2 5x+ ⇔3 2x −3x−3 − +x 2 5x+ =3 0
Thay x=100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X khi đó ta có
2X −3X −3 − X +2 5X + =3 382738597≈400000000=4X
2X −3X −3 − X +2 5X + −3 4X = −17261403≈ −17000000= −17X
2X −3X −3 − X +2 5X + −3 4X +17X = −261403≈ −260000= −26X
2X −3X −3 − X +2 5X + −3 4X +17X +26X = −1403≈ −1400= −14X
2X −3X −3 − X +2 5X + −3 4X +17X +26X +14X = −3
Khi đó phương trình trở thành 4x4 −17x3 −26x2 −14x− =3 0 Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm
nghiệm của phương trình ta thấy phương trình có nghiệm vô tỷ, với bài toán có nghiệm vô tỷ ta sẽ tìm nghiệm rồi sử dụng Viet đảo để suy ra nhân tử
4X −17X −26X −14X − =3 0 vào máy Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm được nghiệm X =5, 541381265 ta sẽ gán nghiệm này vào A Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE -100 = ta tìm được nghiệm X = −0, 541381265 ta sẽ gán nghiệm này vào B
Ta có A+ =B 5 và AB= −3 nên phương trình đã cho có nhân tử X2 −5X − =3 0 Ta thực hiện phép chia để tìm ra nhân tử còn lại của phương trình
2
Ta thay x=100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
2 2
40301 40000 4
X
2 2
2 2
X X
2 2
X X X X
X X
X X
X X X X X X X X
LỜI GIẢI Điều kiện: 3
5
x≥ − Phương trình đã cho tương đương
2
2
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 5 13
2
S
+
Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2x+ =2 2x+ +1 6x+5
Trang 3PHÂN TÍCH CASIO Phương trình đã cho có hai căn thức, biểu thức trong căn là biểu thức bậc nhất, vế
trái của phương trình đã cho cũng là biểu thức bậc nhất Do đó khi ta bình phương hai vế của phương trình thì ta thu được biểu thức với bậc cao nhât là bậc hai
Bình phương trinh hai vế của phương trình ta được
2
Sau khi bình phương hai vế của phương trình ta được một phương trình mới có một căn thức, biểu thức ở
vế trái là biểu thức bậc hai, nên ta sẽ giải phương trình này bằng cách bình phương hai vế của phương trình
Phương trình ( )* tương đương
x x x
⇔
Ta đưa được phương trình ban đầu về phương trình bậc bốn, ta sẽ giải phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi phân tích thành nhân tử
Nhập phương trình 4 2
x − x − x− = vào máy Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm được nghiệm
0, 414213562
X = − ta sẽ gán nghiệm này vào A Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE 100 = ta tìm được nghiệm X =, 414213562 ta sẽ gán nghiệm này vào B
Ta có A+ =B 2 và AB= −1 nên phương trình đã cho có nhân tử x2 −2x− =1 0 Ta thực hiện phép chia
đa thức để tìm nhân tử còn lại của phương trình
4 2 2
Thay x=100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
4 2
2 2
10201 10000
X
4 2
2 2
201 200 2
4 2
2 2
4 2
2
LỜI GIẢI Điều kiện: 1
2
x≥ − Phương trình đã cho tương đương
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = +{1 2}
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2
2x +12y +11xy−11x−19y+5
PHÂN TÍCH CASIO Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc hai Ta sẽ phân tích
đa thức đó thành nhân tử bằng cách thay y=100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử
Thay y=100 vào đa thức, khi đó ta có
Ta thay 299=300 1− =3y−1 , 395=400− =5 4y−5 ta có
(2x+299)(x+395) (= 2x+3y−1)(x+4y−5)
Trang 4Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2
x + y −x y−xy + +x y−
PHÂN TÍCH CASIO Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc ba Ta sẽ phân tích đa
thức đó thành nhân tử bằng cách thay y=100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử
Thay y=100 vào đa thức, khi đó ta có
Ta thay 99− = −1 100= −1 y , 103=100+ = +3 y 3 ta có
x + y −x y−xy + +x y− = −y x− x+ +y
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x y3 2 +x y3 +xy2 −x y2 +xy−x2 − −y 1
PHÂN TÍCH CASIO Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc năm Ta sẽ phân tích
đa thức đó thành nhân tử bằng cách thay y=100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử
Thay y=100 vào đa thức, khi đó ta có
Ta thay 101 100 1= + = +y 1 , 100= y ta có ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )
101 x +1 100x− =1 y+1 x +1 xy−1
LỜI GIẢI Ta có 3 2 3 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( )
A Phân tích CASIO
X − + X − X + +X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =99= −y 1
1 0
X y
X − + X − X + +X + X − =
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
B Lời giải
Ta có P= −x3 3x y2 +3xy2− +y3 2x y2 + −x 2xy2− + +y x2 y2+1
3 2 2 3 2 2
1
x x y xy y x y x y
x x y y x y x y
( ) ( 2 2 )
x y x y
Đ/s: ( ) ( 2 2 )
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4 3 ( 2)
P=x − y +xy x+ −y x
A Phân tích CASIO
P=x − + x x+ −x
X − + X X+ −X = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =100= y
0
X y
⇒ − = ⇒ có nhân tử x−y
Trang 5Nhập vào máy tính ( 4 3 ( 2) ) ( )
X − + X X+ −X X− =
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = −25, 9170414
Con số này rất lẻ, ta thực hiện phân tích luôn
B Lời giải
P=x x− +y x y+ y x− −y xy +x y+xy −x y
( ) ( 3 2) ( ) ( ) ( 3 2 )
x y x y xy x y x y x y xy
Đ/s: ( ) ( 3 2 )
2
P= −x y x + y +xy
Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P= −x3 2x2−xy2+y2+xy+ −x y
A Phân tích CASIO
Cho y=100 khi đó P= −x3 2x2−1002x+1002+100x+ −x 100
Nhập vào máy tính X3−2X2−1002X +101X −100=0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X =1⇒ có nhân tử x−1
X − X − X + X− X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = − = − +99 y 1
1 0
X y
X − X − X + X− X − X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X =100= y⇒ có nhân tử x−y
X − X − X + X− X − X + X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Về mặt tư duy thì với 3 nhân tử trên, khi nhân vào ta được bậc của x là 3 (ứng với đề bài), do đó để nhanh
ta không nên nhập vào máy tính ở bước cuối, việc bấm đó chỉ mang tính chất tổng quát
Như vậy P= −(x 1)(x+ −y 1)(x−y)
Ba nhân tử này thì x−1 là đơn giản nhất, ta sẽ nhóm x−1 trước
B Lời giải
P=x x− −x x− −y x− +y x−
( ) ( 2 2 ) ( ) ( )( ) ( )
x x x y y x x y x y x y
(x 1)(x y)(x y 1 )
Đ/s: P= −(x 1)(x−y)(x+ −y 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P=2x3−x y2 −2xy2+y3+3x2−3xy+ −x y
A Phân tích CASIO
Cho y=100 khi đó P=2x3−100x2−2.1002x+1003+3x2−300x+ −x 100=0
Nhập vào máy tính 2X3−100X2−2.1002X +1003+3X2−300X + −X 100=0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X =49, 5
2X −100X −2.100 X +100 +3X −300X + −X 100 : X −49, 5 =0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X =100= y⇒ X− =y 0⇒ có nhân tử x−y
2X −100X −2.100 X +100 +3X −300X + −X 100 : X −49, 5 X −100 =0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = −101= − −y 1
1 0
X y
Trang 6Nhập vào máy
2X −100X −2.100 X +100 +3X −300X + −X 100 : X −49, 5 X −100 X +101 =0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm
Về mặt tư duy thì với 3 nhân tử trên, khi nhân vào ta được bậc của x là 3 (ứng với đề bài), do đó để nhanh
ta không nên nhập vào máy tính ở bước cuối, việc bấm đó chỉ mang tính chất tổng quát
Như vậy P=(2x− +y 1)(x−y)(x+ +y 1 )
Ba nhân tử này thì x−y là đơn giản nhất, ta sẽ nhóm x−y trước
B Lời giải
P= x x− +y xy x− −y y x− +y x x− + −y x y
x y x xy y x
(x y) (2x x y 1) (y x y 1) x y 1
(x y)(x y 1 2)( x y 1 )
Đ/s: P= −(x y)(x+ +y 1 2)( x− +y 1)
Chia sẻ bài giảng và tài liệu miễn phí chỉ có ở groups facebook
Đề thi thử hocmai ,moon,uschool- fb.com/groups/dethithu