XỬ lý ẢNH SIÊU âm GAN KHÔNG gây hại BẰNG PHÉP BIẾN đổi WAVELET PACKET kết hợp SUPPORT VECTOR MACHINE

bộ mô t kết cấu đa phân gi i độ lệch trung bình và tiêu chuẩn đ ợc trích rút bằng cách sử dụng biến đổi Wavelets 2D- r i r c và phép biến đổi 2D- Gabor Wavelets đ ợc xem xét đ̉ phân tích

CH NGă1:ăTỔNGăQUANăV ăPH NGăPHÁPăSİểUăỂMăTRONGăYăH C 1

CH NGă2: NGHIÊN C U KỸ THU T XỬ LÝ TÍN HI U DÙNG BI N

3.1 Gi i thi u v phép bi n đổi Haar 25

4.3 Phép bi n đổi Gabor Wavelet hai chi u 68

4.3.2 Xác đ nh u gan hoặc gan có v t th l 77 4.4 Dùng SVM đ chẩn đoán đ nh tính gan bình th ờng hay gan xơ 80

S ăhi u Tênăb ngăbi u

4.1 Mối quan h giữa đ xơ và các giai đo n xơ gan 70

1.1 V n tốc c a sóng đàn hồi 2

1.9 Sơ đồ khối c a h thống CAD cho chẩn đoán xơ gan 8

3.1 Phép bi n đổi S c a nh có ch a các xung ki m tra: a)

Walsh-Hadamard, b) Haar, c) DST (Phép bi n đổi Sin rời r c), d) DCT

(Phép bi n đổi Cosine rời r c)

29

3.3 Các hàm tích 2D Haar xử lý nh b trích rút 35 3.4 Tích các hàm Wavelet 2D đ c xử lỦ nh b trích rút M c đ

phân rư: (trái) đầu tiên, (trung tâm) th hai, (ph i) th ba 37

3.15 Đáp ng Gabor cho phép quay theo tr c X,Y,Z 45 3.16 Phép bi n hình Wavelet v i Nf=3 và N0=3 45 3.17 Phép bi n hình Wavelet v i Nf=6 và N0=6 46 3.18 Phép bi n hình Wavelet v i Nf=9 và N0=9 46 3.19 Phép bi n hình Wavelet v i Nf=12 và N0=12 46 3.20 L u đồ dung SVM đ phân loai gan bình th ờng hay gan xơ 47

3.22 Thí d chuy n ma tr n nh 2-D thành vector huấn luy n 1D 49

045045045

4.3 Phép rư hình xấp x , ngang và chéo 58

4.5 Phân rư nh b lọc Haar cấp 2 gan bình th ờng 59 4.6 Phân rư nh b lọc cấu trúc cây Haar cấp gan bình th ờng 59

4.8 Phân rư nh b lọc cấu trúc cây Haar cấp 2 gan xơ 60 4.9 Phân rư nh b lọc Bior 1.1 cấp 2 gan bình th ờng 61 4.10 Cấu trúc cây c a b lọc Bior 1.1 cấp 2 gan bình th ờng 61 4.11 Cấu trúc cây c a b lọc Bior 1.1 cấp 2 gan xơ 62 4.12 Cấu trúc cây c a b lọc Bior 1.1 cấp 2 gan xơ 62 4.13 Tám l c đồ xám chi ti t chéo Haar cấp 2 gan bình th ờng 64 4.14 Bốn l c đồ xám c a chi ti t chéo gan bình th ờng 65 4.15 Tám l c đồ xám c a chi ti t chéo gan bình th ờng 66 4.16 Hai l c đồ xám chi ti t chéo cấp 2 gan xơ 67 4.17 Các nét đặc tr ng đ c trích xuất từ ti u nh c a sự rư hình WPT

4.18 Các nét đặc tr ng đ c trích xuất từ ti u nh c a sự rư hình WPT

4.19 L u đồ phân tích cấu trúc đa tỷ l dùng Stearing Gabor Wavelets 69

4.21 Tỷ l phóng hình và h số truy n sóng c a nh siêu âm gan có đ

xơ là 7 Kpa

72

4.22 Tỷ l phóng hình và h số truy n sóng c a nh siêu âm gan có đ

4.23 Bốn hình v h số truy n sóng c a nh siêu âm gan xơ qua phép

4.24 Năm hình v h số truy n sóng c a nh siêu âm gan bình th ờng

4.28 L u đồ truy vấn nh siêu âm gan dùng SVM 80 4.29 L u đồ mô phỏng truy vấn nh siêu âm gan dùng SVM 81

Ch ng 1

Y H C

1.1 K thu t siêu ơm gan không gơy h i

Ng̀y nay, Elastography(ph ơng pháp đo độđ̀n hồi), một k̃ thụt siêu âm d̀ng đ̉ tìmcác ch̃ ćng bất th ng c a mô cơ quan đư l̀m đ ợc điều này.Độćng c a mô

đ ợc đo bằng định l ợng ṿt lý gọi l̀ Young’s modulus v̀ trình b̀y bằng đơn vịáp

lực gọi l̀ Pascals hay th ng d̀ng hơn l̀ KiloPascals (KPa)

C̀ng v́i Elastography, Shear Wave Elastography, ph ơng pháp ḿi dựa v̀o k̃ thụt MultiWave đư lộdiện, d̀ng đ̉ hình nh h́a śng siêu âm B-mode v̀ lo i śng

âm ḿi, śng âm biến d ng (Shear Wave)

Shear Wave Elastography có th̉chụp đ ợc chuỷn động truyền sóng âm biến d ng (Shear Wave) trong mô m̀ cho đến nay ch a ć k̃ thụt nào khác có th̉ phát hiện

đ ợc Shear Wave Elastography chụp v̀ định l ợng tốc độ lan truyền Shear Wave v̀ đo đ ợc độđ̀n hồi mô theo đơn vịKiloPascals

Đo độđ̀n hồi là một b ́c quan trọng trong chẩn đoán vì ć liên quan đến bệnh học

và Shear Wave Elastography là k̃thụt siêu âm thếhệkếtiếp h́a hẹn nhiều lợi ích trong chẩn đoán hình nh v̀ ý nghĩa lâm s̀ng

Tr ́c hết ta ṭp trung vào k̃thụt siêu âm không gây h i

1.1.1 Nguyên t c

Độ ćng và suất đ̀n hồi: cũng nh suất Young đ ợc diễn đ t d ́i đơn vị Pascal (Pa) Độ ćng là thông số chính mà nó phụ thuộc vào tr ng thái bệnh lý c a mô mềm Từnhiều thếkỷ, các bác sĩ sửdụng ph ơng pháp khám bệnh gan bằng cách dùng tay s v̀ đè trên thành bụng

Đ̉đo độćng trong các mô mềm, thì độćng tỷ lệv́i ṿn tốc c a các śng đ̀n

hồi đ ợc gọi l̀ śng đ̀n hồi biến d ng (Shear Wave)

Shear Waves đ ợc sửdụng rộng rãi trong các mô sinh học: mô sinh học c̀ng xơ

ćng, thì sóng Shear Wave càng nhanh

1.1.2 Nguyên lý g m 3 b c

So sánh các tín hiệu siêu âm liên tiếp đ̉ ánh x đến ́ng lực cục bộ Tính chất c a

ḿc đ̀n hồi ( Elastogram) không ph i là một hình nh gi i phẩu học mà nó là sự

th̉ hiện c a sự truyền sóng biến d ng qua mô gan nh l̀ hàm số theo th i gian

Hình 1.3 - V ị trí đầu dò và điểm đo

Hình 1.4 - Sóng biến d ng lan truyền

Trong hình 4a v̀ 4b một śng biến d ng lan truyền đều trong môi tr ng đồng nhất Khi gặp một ṿt lẩn ćng nh trong hình 4c v̀ 4d śng biến d ng truyền nhanh hơn Cần tốc độ tiếp nḥn ít nhất 5.000Hz ḿi thấy đ ợc śng biến d ng lan truyền

Nguyên lý c a k̃ thụt đo độ đ̀n hồi dựa trên sự đè ép mô ngọai biên trên cấu trúc cần kh o sát Áp lực ǹy t o ra sự căng (hay d i ch̃) trong mô v́i tính t́an tiếp sau c a mặt bên sự căng (strain profile) theo trục śc ép Strain profile đ ợc chuỷn th̀nh một đơn vị cấu trúc hình đ̀n hồi (ví dụ phân bố đ̀n hồi mô) gọi l̀ elastogram Bằng cách tính độ căng c a mô do đè ép ć th̉ đánh giá độ ćng c a

mô v̀ phân biệt đ ợc tổn th ơng l̀nh hay ác

Khám qua ngư bụng v́i đầu dò linear sao cho ć độ xuyên thấu tối đa v̀ ć c̀ng nhiều mô gan xung quanh c̀ng tốt Áp lực cung cấp do chuỷn động hô hấp hay

m ch đ̣p v̀ do ấn nhẹ đầu dò Độ đ̀n hồi đ ợc tính toán real-time v̀ th̉ hiện bằng m̀u chồng lên hình siêu âm B-mode Thang m̀u gồm các m̀u nh sau: đỏ

(mô mềm), xanh d ơng (không đ̀n hồi, mô ćng) v̀ xanh lá cây (trung gian, mô bình th ng) Máy cũng th̉ hiện thang áp lực đ ợc cài giữa ḿc 3 v̀ 4 (đ áp lực) M̀n hình gồm 2 hình v́i hình B-mode bên ph i v̀ hình elastography bên trái V̀ng kh o sát đo độ đ̀n hồi (ROI) đ ợc chọn bằng tay v̀ ph i ć tổn th ơng đích cũng nh mô xung quanh V̀ng ROI cần đ mô xung quanh vì giá trị đo độ đ̀n hồi đ ợc th̉ hiện t ơng quan v́i độ căng trung bình bên trong v̀ng kh o sát

1.1.3 X lý tín hi u siêu âm gan

Một ́ng dụng lâm sàng tiên tiến có th̉ phân tích dữ liệu tín hiệu echo độ ly gi i cao hơn 100 lần so v́i những hình nh thang xám bình th ng hoặc l u l ợng màu bằng cách sử dụng phần ćng đặc biệt m rộng

Siêu âm hòa âm mô (tissue harmonic ultrasonography) dựa trên hiện t ợng biến

d ng không tuyến tính (nonlinear distortion) c a tín hiệu siêu âm khi truyền qua

cơ th̉

Hình 1.5 - B n đồ màu mã hóa tốc độ sóng biến d ng

Śng biến d ng đ ợc đo theo đơn vị m/giây v̀ truyền theo nhiều tốc độ t̀y thuộc

độ ćng c a mô Hình trên l̀ b n đồ tốc độ m̀u mư h́a chuỷn đổi tốc độ śng biến d ng th̀nh Young’s Modulus cho độ ćng mô đo bằng Kilopascal

Hình 1.6 - Hàm M ật Độ Xác Suất

m R





(1.1)Trong đ́:

1.2 Các k t qu nghiên c u đư công bố

Một hệ thống chẩn đoán máy tính h̃ trợ đ̉ mô t gan bình th ng v̀ xơ gan bằng

bộ mô t kết cấu đa phân gi i đ ợc đề xuất Nghiên ću đ́ đ ợc thực hiện t i 120 khu vực phân đo n quan tâm chiết xuất từ 31 hình nh siêu âm gan B-mode lâm sàng

bộ mô t kết cấu đa phân gi i độ lệch trung bình và tiêu chuẩn đ ợc trích rút bằng cách sử dụng biến đổi Wavelets 2D- r i r c và phép biến đổi 2D- Gabor Wavelets

đ ợc xem xét đ̉ phân tích và tìm kiếm đầy đ v́i 13 tiêu chí về sự phân ĺp đ ợc sử

dụng đ̉ lựa chọn nét đặc tr ng [1] Chỉ năm bộ mô t kết cấu đa phân gi i trung bình thu đ ợc từ phép biến đ̃i Gabor Wavelets 2D độ tỷ lệ hình chọn lọc v̀ định h ́ng cung cấp tính chính xác phân lo i cao nhất là 98,33% v̀ độ nh y 100% bằng cách sử

dụng một bộ phân lo i hổ trợ vector (support vector machine) [2]

Một vài nghiên ću trong tài liệu (Jeong và cộng sự năm 2007) Theo tác gi Sun đư

ch biên năm 2005 - Wu và cộng sự, 2011) [3] ć máy tính đề nghị h̃ trợ chẩn đoán (CAD) hệ thống phân lo i giữa gan bình th ng và các ĺp khác nhau c a xơ gan, m̀

là trong nhiều nghiên ću khác (Mojsilovic và cộng sự, 1996 [4]; Huang ch biên, 2010; Lu và cộng sự, 2008 [5]; Virmani ch biên, 2011 [6-7]; Wan và Zhou, 2010 [8]) là một hệ thống CAD đ̉ đ t đ ợc phân lo i nhị phân giữa gan bình th ng và

xơ gan đ ợc đề xuất Mojsilovic ch biên (1996) [4] đ t đ ợc độ chính xác phân lo i 92% cho dự đoán xơ gan, bằng cách sử dụng các nét đặc tr ng năng l ợng đ ợc trích

xuất từ lựa chọn các băng con ć chọn lọc bằng cách dùng phép biến đổi Wavelets 2Nx1-D cùng v́i bộ phân lo i kho ng cách Euclide.[9]

Ông Huang và cộng sự (2009) [10] đ t 82,5% độ chính xác phân lo i đ̉ chẩn đoán

xơ gan bằng cách sử dụng nét đặc tr ng ma tṛn đồng cấp độ màu xám (GLCM) và

một bộ phân lo i m ng meural xác suất (PNN) Báo cáo nghiên ću c a họ đ ợc c i thiện hiệu suất phân lo i c a tiền xử lý hình nh v́i ph ơng pháp gi m nhiễu Wavelet Packet Lu và cộng sự (2008) đư thiết kế một hệ thống CAD cho chẩn đoán xơ gan

bằng cách bắt các biến th̉ kết cấu c a mẫu hồi âm trong gan bình th ng v̀ xơ gan liên quan đến kết cấu echo c a lá lách đi kèm Họ báo cáo chính xác phân lo i 94,7%

bằng cách sử dụng các nét đặc tr ng trong miền không gian-tần số v́i việc chọm lọc nét đặc tr ng bằng cách sử dụng phân tích thành phần chính và phân lo i bằng cách

sử dụng cây phân lo i

Ông Wan và Zhou (2010) [8] đư cố gắng đ̉ phân lo i gan bình th ng v̀ xơ gan

bằng cách sử dụng trung bình v̀ các nét đặc tr ng kết cấu năng l ợng ́c tính từ hai chiều Wavelets r i r c (2D-DWT) và hai chiều Wavelet Packet r i r c (2D-WPT) hình nh băng con thu đ ợc bằng cách sử dụng bộ lọc Wavelets DB4 trên dữ liệu c a

họ Họ báo cáo độ chính xác phân lo i cao nhất 85,79% bằng cách sử dụng nét đặc

tr ng 2D-WPT cùng v́i bộ phân ĺp máy h̃ trợ vector Ông Zhou và cộng sự, (2006)

[2] sử dụng các nét đặc tr ng chiết xuất từ hình nh siêu âm M-mode và B-mode cho

chẩn đoán xơ gan

Họ đư sử dụng các nét đặc tr ng kết cấu bao gồm c số liệu thống kê th́ tự đầu tiên,

thống kê chiều dài cấp độ màu xám ch y, thống kê sự khác biệt ḿc độ xám (GLDS) trích xuất từ hình nh B-mode cũng nh các nét đặc tr ng đ ợc trích xuất từ đ ng cong chuỷn động thu đ ợc từ M-mode hình nh siêu âm gan Nghiên ću c a họ cho thấy rằng 100% độ chính xác phân lo i có th̉ đ t đ ợc bằng cách sử dụng 20 nét đặc tr ng đ ợc lựa chọn bằng cách sử dụng tìm kiếm truyền thẳng liên tục và quy tắc quyết định tuyến đ̉ lựa chọn nét đặc tr ng Tuy nhiên, các thí nghiệm c a họ đư đ ợc

thực hiện trên dữ liệu h n chế thiết ḷp, thí dụ tổng số 43 Rois (13 xơ gan v̀ 30 bình

th ng) v̀ ph ơng pháp này đòi hỏi c hình nh M-mode và B-mode c a bệnh nhân

Kh o sát tổng quát về phân lo i kết cấu trong miền chuỷn đổi bằng cách sử dụng

ph ơng pháp tiếp c̣n đa phân gi i nh 2D-DWT, 2D-WPT và 2D-GWT cho thấy nét đặc tr ng độ lệch chuẩn v̀ trung bình th ng đ ợc sử dụng không chỉ cho đặc tính

kết cấu c a kết cấu tự nhiên t́c l̀, cơ s dữ liệu hình nh Brodatz (Avci, 2008; Chang

và Kuo, 1993; Mojsilovic và cộng sự, 2000) mà còn cho hình nh y tế (Tsiaparas et

al 2011 [10], Wan và Zhou, 2010; Yoshida và cộng sự, 2003)

Trong công việc hiện t i, bộ mô t kết cấu lệch (TDs) chuẩn v̀ trung bình đ ợc đánh giá từ các hình nh nét đặc tr ng băng con khác nhau thu đ ợc bằng các phép biến đổi 2D-DWT, 2D-WPT và 2D-GWT đ ợc xem xét cho xếp lo i gan bình th ng và

xơ gan Thiết kế phân lo i mà sử dụng qui chuẩn nh máy h̃ trợ vector (SVM)

th ng ít ć khuynh h ́ng phù hợp v̀ ć đ ợc hiệu suất tổng quát tốt đến một ḿc

độ nhất định ǹo đ́, ngay c khi không gi m nét đặc tr ng không gian chiều (Burges, 1998) Trong công việc hiện nay SVM phân lo i đ ợc chọn đ̉ phân lo i gan bình

gi m vector nét đặc tr ng và độ dài 5, từ các vector ban đầu c a chiều dài 20, 32 và

42 trong tr ng hợp 2D-DWT, 2D-WPT và 2D-GWT t ơng ́ng

Về phân lo i, phân lo i SVM nhị phân ba nhánh khác nhau đ ợc huấn luyện và thử nghiệm v́i tr ng hợp c a gi m vector bao gồm năm độ lệch chuẩn (TDs) phân biệt

hiện là xây dựng mô hình hóa mô phỏng xử lý nh siêu âm gan không gây h i cụ th̉

nh sau:

Kết qu đầy h́a hẹn cho thấy rằng tần số có chọn lọc v̀ đặc tính định h ́ng c a các

bộ lọc Gabor là cực kỳ hữu ích cho việc cung cấp mô t kết cấu đa tỷ lệ và chẩn đoán

xơ gan bằng cách sử dụng nét đặc tr ng ma tṛn đồng cấp độ màu xám Sẽ hỉn thị

rõ nét g biên nhằm xác định có u gan

Bộ lọc Gabor là bộ lọc h thông sẽ cho th̉ hiện đ ng hệ số ǵc Đ ng hệ số góc

tỷ lệ nghịch v́i hệ số truyền sóng c a ḿc độ xơ gan, hệ số truyền sóng này càng

ĺn thì độ xơ gan c̀ng cao

Sử dụng các nét đặc tr ng trong miền không gian-tần số v́i việc chọn lọc nét đặc

tr ng bằng cách sử dụng phân tích thành phần chính và phân lo i bằng cách sử dụng cây phân lo i trong phần phân rã nh v́i hai họ Bior 3.2 và Haar Sử dụng các nét đặc tr ng năng l ợng đ ợc trích xuất từ lựa chọn các băng con thu ć chọn lọc bằng cách dùng phép biến đổi Wavelets 2N x1-D cùng v́i bộ phân lo i kho ng cách Euclide

Kh o sát tổng quát về phân lo i kết cấu trong miền chuỷn đổi bằng cách sử dụng

ph ơng pháp tiếp c̣n đa phân gi i nh 2D Haar Wavelets, 2D Bior 1.1cho thấy nét đặc tr ng độ lệch chuẩn v̀ trung bình th ng đ ợc sử dụng không chỉ cho đặc tính

kết cấu c a kết cấu tự nhiên mà còn cho nh y tế

Hình 2.1- nh siêu âm A-mode

2.1.2 M-Mode

M-Mode, hoặc chế độ chuỷn động (còn gọi là chuỷn động theo th i gian hoặc TM-Mode), là màn hình hỉn thị c a hình nh một chiều đ ợc sử dụng đ̉ phân tích bộ pḥn cơ th̉ di chuỷn phổ biến trong hình nh tim và thai nhi Điều này có

th̉ đ ợc thực hiện bằng cách ghi l i biên độ và tốc độ chuỷn động trong th i gian

thực bằng cách liên tục đo kho ng cách c a các đối t ợng từ các bộ chuỷn đổi

hoặc c m biến đơn t i một th i đỉm nhất định Chùm âm thanh đơn đ ợc truyền

đi v̀ những echo đ ợc ph n x hỉn thị nh những chấm c ng độ khác nhau, do đ́ t o ra dòng hỉn thị trên màn hình D ́i đây l̀ hình nh một chiều c a chế độ

dựa trên độ sáng v́i sự vắng mặt c a gai dọc Do đ́, độ sáng phụ thuộc vào biên

độ hoặc c ng độ c a sóng echo Không có trục y trên B-Mode, thay vào đ́ có

một trục z, đ i diện cho c ng độ tín hiệu dội l i hoặc biên độ và trục x, đ i diện cho chiều sâu B-Mode sẽ hỉn thị một hình nh c a dấu chấm ĺn và nhỏ trên hình,

đ i diện cho sóng echo m nh mẽ và yếu t ơng ́ng

D ́i đây l̀ một thí dụ về hình nh B-Mode c a một khối tăng śng dội trong một

cơ quan cụ th̉

Hình 2.3 - nh siêu âm B-mode

Siêu âm B-mode đư đ ợc sử dụng rộng rãi trong việc phát hiện và chẩn đoán các

bệnh gan có liên quan b i vì hình nh siêu âm có th̉ ph n ánh rõ ràng những bất

th ng trong các mô gan Thực tế là hình nh siêu âm đ ợc kỉm tra bằng mắt bác

sĩ l̀m cho ń khá ch quan Do các bác sĩ ć kinh nghiệm khác nhau nên việc chẩn đoán bệnh c a cùng một bệnh nhân có th̉ khác nhau.Vì ṿy làm thế ǹo đ̉ việc

chẩn đoán đáng tin c̣y hơn, nhất quán v̀ khách quan đư tr thành tiêu chí nghiên

ću

Do sự phát trỉn c a công nghệ máy tính và nḥn d ng kết cấu, việc chẩn đoán dùng máy tính trợ giúp sẽ cung cấp những hỉu biết trỉn vọng vào phát hiện bệnh gan và khám gan Hai nhiệm vụ quan trọng liên quan đến chẩn đoán máy tính h̃

trợ là trích xuất nét đặc tr ng v̀ phân lo i Trong những năm qua, các nhà khoa

học đư c i thiện các thụt toán cho việc trích xuất nét đặc tr ng Về cơ b n, chúng

có th̉ đ ợc phân thành ba lo i: các thụt toán dựa trên miền không gian, các thụt toán dựa trên miền tần số và một số thụt toán khác dựa trên mô hình

2.2 Các h Wavelets dùng trong x lỦ nh

2.2.1 L ch s c a Wavelets

Từ một quan đỉm lịch sử, phân tích Wavelets là một ph ơng pháp ḿi, mặc dù

nền t ng toán học c a nó ngày tr l i công việc c a Joseph Fourier trong thế kỷ XIX Fourier đư đặt nền móng v́i lý thuyết c a ông về phân tích tần số, đ ợc ch́ng minh là vô cùng quan trọng và có nh h ng

Sự chú ý c a các nhà nghiên ću dần dần chuỷn từ phân tích dựa trên tần số sang phân tích dựa trên tỷ lệ khi nó bắt đầu tr nên rõ ràng rằng một cách tiếp c̣n đo

biến động trung bình các quy mô khác nhau có th̉ ch́ng minh ít nh y c m v́i nhiễu

Việc đề c̣p đến đầu tiên đ ợc ghi l i những gì chúng ta gọi là "Wavelets" có lẽ là năm 1909, trong một lụn án c a Alfred Haar Các khái niệm về Wavelets d ng

lý thuyết hiện t i c a nó lần đầu tiên đ ợc đề xuất b i Jean Morlet và nhóm nghiên

ću c a Trung tâm Ṿt lý lý thuyết Marseille làm việc d ́i sự dẫn dắt c a Alex Grossmann t i Pháp

Các khái niệm về phân tích Wavelets đư đ ợc phát trỉn ch yếu là do Y Meyer v̀ các đồng nghiệp, những ng i đ m b o phổ biến ph ơng pháp này Các thụt toán chính c a Stephane Mallat v̀o năm 1988 K̉ từ đ́, nghiên ću trên Wavelets

đư tr thành quốc tế Nghiên ću nh ṿy l̀ đặc biệt ho t động t i Hoa Kỳ, nơi ń

đ ợc dẫn đầu b i công việc c a các nhà khoa học nh Ingrid Daubechies, Ronald Coifman và Victor Wickerhauser

Miền Wavelet đang đ ợc tăng rất nhanh chóng Rất nhiều tài liệu toán học và thử

ệm thực tế đ ợc công bố hàng tháng

2.2.2 Gi i thi u v các h Wavelets

Một số họ c a Wavelets đư đ ợc ch́ng minh l̀ đặc biệt hữu ích có trong hộp công

cụ này Gíi thiệu một số họ Wavelets là đ̉ khám phá tất c các họ Wavelets cho

c a riêng m̃i ng i sử dụng, hãy kỉm tra các công cụ hỉn thị Wavelets

2.2.2.1 Haar Wavelets

Bất kỳ cuộc th o lụn về Wavelets đều bắt đầu v́i Haar Wavelets, ng i đầu tiên v̀ đơn gi n nhất Haar Wavelets là không liên tục v̀ t ơng tự nh một hàm b ́c Ń đ i diện cho cùng tên Wavelets nh Daubechies db1

Hình 2.4 - Hàm Haar Wavelets

2.2.2.2 Daubechies Wavelets

Ingrid Daubechies, một trong những ngôi sao sáng nhất trong thế gíi c a nghiên ću Wavelets, phát minh ra những gì đ ợc gọi là các Wavelets trực giao h̃ trợ cô động, do đ́ l̀m cho phân tích Wavelets r i r c đi v̀o thực tế mang tính kh thi

Tên c a các họ Wavelets Daubechies đ ợc viết là dbN, trong đ́ Nis là ḅc và

db là "họ" c a Wavelets Các db1 Wavelets, nh đư đề c̣p trên, cũng giống

nh Haar Wavelets D ́i đây l̀ các h̀m Wavelets c a chín thành viên tiếp theo c a họ nh sau:

Hình 2.5 – Họ Daubechies Wavelets

B n có th̉ ć đ ợc một cuộc kh o sát c a các thuộc tính chính c a họ này bằng cách gõ waveinfo ('db') từ dòng lệnh MATLAB

2.2.2.3 Nh tr c giao (Bior Wavelets)

Họ Wavelets này th̉ hiện các thuộc tính c a pha tuyến tính, đ́ l̀ cần thiết cho xây dựng l i tín hiệu và hình nh Bằng cách sử dụng hai họ Wavelets, một cho phân rã (bên trái) và một cho tái thiết ( bên ph i) thay vì một Wavelets đơn

giống nhau, tính chất quan tâm đ ợc trích xuất

Ta có th̉ ć đ ợc một cuộc kh o sát c a các thuộc tính chính c a họ này bằng cách gõ waveinfo ('bior') từ dòng lệnh MATLAB

Hình 2.6 - H ọ Wavelets nhị trực giao Bior

2.2.2.4 Coiflets Wavelets

Đ ợc xây dựng b i I Daubechies theo yêu cầu c a R Coifman Hàm Wavelets

có 2N kho nh khắc bằng 0 và các hàm tỷ lệ có 2N-1 kho nh khắc bằng 0 Hai hàm có h̃ trợ chiều dài 6N-1 Ta có th̉ ć đ ợc một cuộc kh o sát c a các thuộc tính chính c a họ này bằng cách gõ Waveinfo ('mu') từ dòng lệnh MATLAB

Wavelets này không có hàm tỷ lệ, nh ng nó là t ng minh

Ta có th̉ ć đ ợc một cuộc kh o sát c a các thuộc tính chính c a họ này bằng cách gõ waveinfo ('morl') từ dòng lệnh MATLAB

Hình 2.9 - Hàm Morlet Wavelets

2.2.2.7 Mexican Hat Wavelets

Wavelets này không có hàm m rộng tỷ lệ, có nguồn gốc từ một hàm mà nó tỷ

lệ thụn v́i hàm phát sinh th́ hai c a hàm ṃt độ xác suất Gauss

2.3 Không gian c a s c a bi n đ i Fourier vƠ Wavelet Packet 2.3.1 Mi n ch nh t tần số- thời gian

Thúc đẩy b i cơ học l ợng tử,v̀o năm 1946 nh̀ ṿt lý Gabor đềxuất phép phân

rã tín hiệu trên miền chữ nḥt c a d ng sóng sơ cấp mà ông gọi là các phần tử

th i gian tần số màcó trãi phổtối thỉu trong một mặt phẳng th i gian tần số

Bằng cách hỉn thị phép phân rã nh ṿy, có liên quan chặt chẽ v́i nḥn th́c

c a chúng ta vềâm thanh, và chúng th̉hiện cấu trúc quan trọng trong l i nói và ghi âm nh c, Gabor đư ch́ng minh tầm quan trọng c a xử lý tín hiệu th i gian

tần sốcục bộ Ngoài âm thanh, các ĺp học ĺn có tín hiệu c aphép phân rãth a

th́t nh là các tổng c a các phần tử th i gian tần số đ ợc lựa chọn miền chữ

nḥt thích hợp Vấn đề quan trọng là ph i hỉu làm thế ǹo đ̉ xây dựng miền

chữnḥt giữa các phầntửth i gian thích nghi v́i đặc tính tần sốtín hiệu

Ch́ng tỏ rằng phụ thuộc ch yếu vào các giá trị và , trong đ́

và không th̉ bỏ qua, v̀ do đ́ đối v́i trong một hình chữ nḥt tâm t i có kích th ́c Hình chữ nḥt ǹy đ ợc minh họa bằng hình 1.3 trong mặt phẳng th i gian tần số này Nó có th̉ đ ợc hỉu nh l̀

một "l ợng tử thông tin" trên một ô phân gi i sơ cấp Định lý nguyên lý bất định

ch́ng tỏ hình chữ nḥt này có bề mặt tối thỉu mà nó gíi h n độ phân gi i th i gian tần số kết nối này:

(2.4)

Hình 2.12 – Hộp Heisenberg biểu diễn một phần tử

Xây dựng một miền chữ nḥt c a một phần tử th i gian-tần số do đ́ ć th̉ đ ợc coi nh bao gồm các mặt phẳng th i gian tần số v́i các ô có độ phân gi i có độ

rộng th i gian và chiều rộng tần số mà nó có th̉ thay đổi v́i một bề

mặt ĺn hơn một nửa Cửa sổ Fourier và biến đổi Wavelets là hai thí dụ quan

Phần tử đ ợc dịch b i u trong th i gian và b i trong tần số Th i gian và

tần số trãi phổ c a là độc ḷp về u và Điều ǹy ć nghĩa rằng m̃i phần tử

t ơng ́ng v́i một hình chữ nḥt Heisenberg có một kích th ́c độc

, ,

1 2

ḷp v́i vị trí c a nó nh th̉ hiện trong Hình 1.4 Phép biến đổi Fourier

đ ợc cửa sổ hóa ḷp f trên m̃i phần tử miền chữ nḥt :

(2.6)

Nó có th̉ đ ợc hỉu nh l̀ một biến đổi Fourier c a f tần số này, cục bộ hóa

bằng cửa sổ g (tu) trong lân c̣n c a u Này phép biến đổi Fourier đ ợc cửa sổ hóa là rất d thừa và bỉu diễn cho các tín hiệu một chiều b i một hình nh th i gian tần số trong Vì thế, cần thiết đ̉ hỉu làm thế ǹo đ̉ chọn nhiều hệ

số tần số th i gian ít hơn đ i diện cho tín hiệu này một cách hiệu qu

Hình 2.13 - Hộp thời gian – tần số tr i phổ năng lượng

Các hộp th i gian-tần số (“chữ nḥt Heisenberg”) bỉu diễn trãi phổ năng l ợng

c a các phần tử Fourier đ ợc l ợng tử hóa

Trong địa chấn học ph n ánh, Morlet biết rằng các d ng sóng ngầm gửi d ́i đất

có th i gian quá dài tần số cao đ̉ tách các ĺp địa ṿt lý gần nhau D ng sóng

nh ṿy đ ợc gọi là Wavelets trong địa ṿt lý Thay vì phát ra các xung th i gian bằng nhau, ông nghĩ đến việc gửi d ng sóng ngắn hơn tần số cao Các

d ng śng thu đ ợc bằng cách lấy tỷ lệ v́i các Wavelets mẹ, do đ́ ń đ ợc đặt tên cho biến đổi này Mặc d̀ Grossmann đư đ ợc làm việc trong lý thuyết ṿt

lý, ông đ ợc công nḥn trong cách tiếp c̣n Morlet c a một số ý kiến cho rằng

đư gần đến công việc c a mình về tr ng thái l ợng tử thống nhất

sf u  f g   f t g t u e dt



( , )u 

Gần bốn m ơi năm sau khi Gabor, Morlet và Grossman tái kích ho t một sự hợp tác cơ b n giữa lý thuyết ṿt lý và xử lý tín hiệu, dẫn đến việc chính th́c hóa

c a các phép biến đổi Wavelets liên tục Những ý t ng này không ph i là hoàn toàn ḿi cho các nhà toán học làm việc trong phân tích hài hòa, hoặc các nhà nghiên ću thị giác máy tính, xử lý nh đa tỷ lệ Đ́ chỉ là kh i đầu c a một chất xúc tác nhanh chóng mà các nhà khoa học đư ṭp hợp trên nền t ng khác nhau

Một miền chữ nḥt Wavelets đ ợc xây dựng từ một Wavelets mẹ c a trung bình zero

(2.7) M̀ ń đ ợc biến hình v́i các thông số tỷ lệ, v̀ đ ợc tinh tiến u:

(2.8) Phép biến đổi Wavelets liên tục c a f t i bất kỳ tỷ lệ và vị trí u là phép chiếu c a

f trên phần tử Wavelets t ơng ́ng:

(2.9)

Nó bỉu diễn cho tín hiệu một chiều bằng các nh tỷ lệ th i gian rất d thừa trong (u, s)

2.3.4 Gi i pháp ô tần số-thời gian bi n đ i

Nh trái ng ợc v́i phần tử Fourier đ ợc cửa sổ hóa, Wavelets ć độ phân gi i

th i gian tần số thay đổi Wavelets có h̃ trợ th i gian ṭp trung t i u và tỷ

lệ thụn v́i s Chúng ta hãy chọn một Wavelets có biến đổi Fourier là khác không trong một kho ng tần số d ơng tâm t i Biến đổi Fourier

đ ợc biến hình b i v̀ do đ́ đ ợc cục bộ hoá trong một kho ng tần số d ơng

ṭp trung t i , kích th ́c c a ń đ ợc thu nhỏ l i b i Trong mặt phẳng

th i gian tần số, hộp Heisenberg c a một phần tử Wavelets do đ́ l̀ một hình chữ nḥt tâm t i , v́i độ rộng th i gian và tần số t ơng ́ng tỷ lệ

1

s s



thụn v́i s và Khi s biến đổi, chiều rộng th i gian và tần số c a ô ć độ phân

gi i th i gian tần số ǹy thay đổi, nh ng diện tích c a nó vẫn không đổi, đ ợc minh họa bằng hình 2.13

Hệ số Wavelets biên độ ĺn có th̉ phát hiện v̀ đo l ng sự thay đổi tần số cao

ngắn b i vì nó có một cục bộ hóa th i gian hẹp tần số cao tần số thấp độ phân gi i th i gian c a nó là thấp hơn, nh ng nó có một độ phân gi i tần số tốt hơn Sửa đổi này c a độ phân gi i th i gian và tần số đ ợc thích ́ng cho việc

bỉu diễn âm thanh sắc nét, hoặc tín hiệu radar có một tần số có th̉ thay đổi nhanh chóng tần số cao

Một miền chữ nḥt Wavelets cũng đ ợc điều chỉnh đ̉ phân tích sự phát trỉn tỷ

lệ c a các quá độ v́i th tục thu phóng qua tỷ lệ Gi sử bây gi là có tḥt Vì

nó có một trung bình zero, một hệ số Wavelets đo sự biến đổi ra trong

một lân c̣n c a u ć kích th ́c tỷ lệ thụn v́i s Quá trình chuỷn đổi tín hiệu

m nh t o ra các hệ số Wavelets biên độ ĺn

Hình 2.14 - Hộp thời gian-tần số Heisenberg c a 2 Wavelets và [15]

Khi tỷ lệ s gi m, th i gian hổ trợ gi m, nh ng trưi phổ tần số tăng v̀ bao ph

một kho ng th i đo n đ ợc dịch t́i các tần số cao Trong hình nh, cực đ i cục

nh Ń xác định h̃ trợ xấp xỉ không gian tỷ lệ c a f từ đ́ xấp xỉ hình nh chính xác đ ợc xây dựng l i Tỷ lệ khác nhau, hình học c a sự h̃ trợ này cực đ i cục

bộ cung cấp đ ng nét c a cấu trúc hình nh c a các kích cỡ khác nhau Phát

hiện c nh đa tỷ lệ ǹy đặc biệt hiệu qu cho mô hình nḥn d ng trong thị giác máy tính

Kh năng thu phóng c a biến đổi Wavelets không chỉ nằm sự kiện ít bị cô ḷp,

nh ng cũng ć th̉ đặc tr ng cho tín hiệu đa phân ph́c t p hơn ć dị th ng không phân ḷp Mandelbrot l̀ ng i đầu tiên nḥn ra sự tồn t i c a đa phân

hầu hết các góc c a thiên nhiên M rộng quy mô một phần c a đa phân t o ra

một tín hiệu t ơng tự nh thống kê cho toàn bộ Điều ǹy t ơng tự xuất hiện trong biến đổi Wavelets liên tục, làm biến đổi quy mô phân tích

2.3.5 C sở tr c giao c a tần số-thời gian

Cơ s trực giao c a các phần tử th i gian tần số lo i bỏ tất c sự d thừa và xác định các bỉu diễn ổn định Một cơ s trực giao Wavelets là một thí dụ về cơ s

th i gian tần số thu đ ợc bằng cách m rộng quy mô một Wavelets v́i quy

mô cặp đôi và dịch nó b i , đ ợc viết Trong mặt phẳng th i gian tần số, hộp độ phân gi i Heisenberg là một sự biến hình b i và phép

dịch c a hộp Heisenberg c a Do đ́ một trực giao Wavelets là một miền

chữ nḥt con c a miền chữ nḥt biến đổi Wavelets liên tục, mà nó t o một ốp lát hoàn h o c a các mặt phẳng th i gian tần số minh họa trong hình 2.14

Ng i ta có th̉ xây dựng nhiều cơ s trực giao khác c a các phần tử th i gian tần số, t ơng ́ng v́i ốp lát khác nhau c a mặt phẳng th i gian tần số Wavelet Packet v́i phần tử th i gian tần số mà nó chia tần số và trục th i gian, t ơng

́ng, trong kho ng th i gian c a các kích cỡ khác nhau

bộ mặt phẳng, nh th̉ hiện trong Hình 2.15

Đối v́i Wavelets, hệ số Wavelet Packet thu đ ợc v́i một dãy bộ lọc c a các

bộ lọc g ơng liên hợp mà chia trục tần số trong một số kho ng tần số Phân khúc tần số khác nhau t ơng ́ng v́i các cơ s Wavelet Packet khác nhau Đối v́i

hình nh một dãy bộ lọc phân chia h̃ trợ tần số hình nh trong hình vuông có kích th ́c cặp đôi ć th̉ đ ợc điều chỉnh

Hình 2.15 - Các hộp thời gian-tần số c a một cơ sở Wavelets định nghĩa một ốp lát c a mặt phẳng thời gian-tần số

Hình 2.16 - M ột cơ sờ Wavelet Packet chia trục tần số trong các kho ng riệng

c a các kích thước khác nhau Một ốp lát có được bằng cách dịch thời gian

các Wavelet Packet bao ph mỗi kho ng tần số.

2.4 K t lu n ch ng

Biến đổi Fourier là một biến đổi trực giao Biến đổi Wavelets th ng là quá hoàn thiện, nh ng cũng tồn t i biến đổi Wavelets trực giao Một đặc tính tốt c a một phép biến đổi là tính đ o ng ợc C hai phép biến đổi Fourier và Wavelets là kh nghịch Nhiều xử lý nh khác không ph i là kh nghịch Thí dụ phép biến đổi kho ng cách nén JPEG, phát hiện c nh lề và làm m

Cơ s Fourier là một ṭp hợp các họa tần H̀m mũ ph́c chỉ đơn gi n là hàm sin và cos Do đ́, phép biến đổi Fourier chỉ đơn gi n là phân rã một tín hiệu thành các thành

phần hài c a nó Phép biến đổi Fourier cung cấp thông tin trực tiếp về độ sắc nét và dao động hiện t i trong dữ liệu Một góc nhìn khác c a phép biến đổi Fourier về dữ

liệu trong hình nh Phép biến đổi Fourier đ ợc xác định trên dữ liệu 1D, 2D hoặc

nD

Về phép biến đổi Wavelets: phép biến đổi Wavelets là rất ĺn, nh ng nó nắm bắt các

kết cấu toàn th̉ Thành phần hài c a toàn bộ tín hiệu Họ thu đ ợc bằng cách tính tích đỉm hình nh vô h ́ng tín hiệu toàn bộ Do đ́ ć 2 vấn đề là nét đặc tr ng cục

bộ có th̉ bị mất và vấn đề 2 là nếu tín hiệu không ổn định (tính năng thay đổi theo

th i gian hoặc trong không gian) thì điều này là không đ ợc l u giữ b i phép biến đổi Fourier Do đ́ cần một biến đổi cung cấp thông tin tần số cục bộ

Đặc tính quan trọng c a Wavelets: Tất c các ch́c năng cơ s đ ợc tỷ lệ, các b n chuỷn c a các Wavelets mẹ cùng nguồn Bằng cách xây dựng thông minh c a Wavelets mẹ, các b n đ ợc tỷ lệ và chuỷn này có th̉ đ ợc thực hiện bằng trực giao,

hoặc ít nhất là độc ḷp tuyến tính Các Wavelets t o thành một cơ s hoàn chỉnh, và các biến đổi Wavelets đ ợc thiết kế đ̉ dễ dàng kh nghịch

Biến đổi Wavelets 2D là phần m rộng đơn gi n c a 1D WT, th ng thực hiện 1D

WT cùng hàng, sau đ́ cột, v.v… Đôi khi chúng ta sử dụng Wavelets 2D trực tiếp,

chẳng h n Wavelets trực giao Daubechies 2D

Ch ng 3

NG D NG PHÉP BI N Đ I WAVELETS TRONG

SIểU ỂM GAN

3.1 Gi i thi u v phép bi n đ i Haar rời r c

Xử lý hình nh và phân tích dựa trên các phép biến đổi hình nh liên tục hoặc r i r c

những k̃ thụt cổ đỉn Các phép biến đổi hình nh đ ợc sử dụng rộng rãi trong lọc hình nh, mô t dữ liệu, v.v Ng̀y nay, các định lý Wavelets t o nên những ph ơng pháp rất phổ biến c a xử lý hình nh, gi m nhiễu và nén Xem xét rằng các hàm Haar l̀ Wavelets đơn gi n nhất, những hình th́c đ ợc sử dụng trong nhiều ph ơng pháp

biến đổi r i r c và xử lý nh Lý thuyết biến đổi nh là một lãnh vực nổi tiếng đặc

tr ng c a một nền toán học chính xác Nó có th̉ trình bày sự phụ thuộc giữa các bộ

pḥn đồ họa c a Haar và phổ Wavelets Ń cũng trình b̀y một ph ơng pháp phân tích hình nh bằng phổ Wavelets- Haar Một số thuộc tính c a Haar và phổ Wavelets

đư đ ợc nghiên ću Việc khai thác các kết cấu hình nh ngay ḷp t́c từ phổ hệ số phân phối đư đ ợc hỉn thị Ń đ ợc trình bày rằng c hai hai chiều, các hàm Haar

và Wavelets kết qu có th̉ đ ợc coi là bộ trích rút các kết cấu hình nh cụ th̉ Hơn

nữa, ń cũng chỉ ra rằng một số hệ số c a c hai phổ là theo tỷ lệ, m̀ đơn gi n hóa

một chút tính toán và phân tích

Các ́ng dụng máy tính v̀ video ph ơng tiện truyền thông đư phát trỉn nhanh chóng trong lĩnh vực đa ph ơng tiện truyền thông, trong đ́ yêu cầu hiệu suất cao, video k̃ thụt số tốc độ và kh năng âm thanh Ngày nay, việc xử lý hình nh và phân tích dựa trên biến đổi liên tục hoặc r i r c là những k̃ thụt xử lý cổ đỉn Xử lý tín hiệu k̃ thụt số đ ợc sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực điện tử, truyền thông và thông tin k̃ thụt Trong nén tín hiệu, lọc k̃ thụt số, hệ thống nḥn d ng, các biến đổi

th ng đ ợc sử dụng dựa trên các h̀m cơ s hình sin nh : Phép biến đổi Fourier r i

r c (DFT), Phép biến đổi DCT r i r c và phép biến đổi Wavelets r i r c (Haar, Daubechies, v.v…)

Tất c các h̀m ǹy đ ợc đề c̣p là trực giao, và truyền thẳng và phép biến đổi ng ợc

c a nó chỉ yêu cầu phần cộng hay trừ Nó rất dễ d̀ng đ̉ thực hiện chúng trên máy tính

H̀m Haar đ ợc sử dụng k̉ từ năm 1910 Họ đ ợc gíi thiệu b i nhà toán học Hungary Alfred Haar Ngày nay, một số định nghĩa về các hàm Haar và khái quát

khác nhau cũng nh một số sửa đổi đư đ ợc công bố và sử dụng Những biến đổi đư

đ ợc áp dụng thí dụ nh các k̃ thụt phổ cho nhiều giá trị logic, hình nh mã hóa và khai thác lợi thế c nh, v.v…

Nói chung, Wavelets và v́i tất c những khái quát hóa và bổ sung, đ ợc dự định đ̉ thích ́ng v́i khái niệm này và một số ́ng dụng thực tế Biến đổi Wavelets r i r c

sử dụng các hàm Haar trong hình nh mã hóa, khai thác lợi thế c nh và thiết kế logic

nhị phân là một trong những k̃ thụt đầy h́a hẹn nhất hiện nay Các phép biến đổi Haar không ph i hình sin l̀ đơn nhất hoàn toàn

Ph ơng pháp Fourier không ph i lúc nào cũng l̀ công cụ tốt đ̉ lấy l i tín hiệu, đặc

biệt nếu đ́ l̀ rất không trơn tru, thông tin Fourier quá nhiều là cần thiết đ̉ tái t o l i các tín hiệu cục bộ Trong những tr ng hợp phân tích Wavelets th ng là rất hiệu

qu vì nó cung cấp một ph ơng pháp đơn gi n đ̉ đối phó v́i các khía c nh cục bộ

c a một tín hiệu, do đ́ tính chất đặc biệt c a phép biến đổi Haar hoặc biến đổi Wavelets cho phép đ̉ phân tích các hình nh ban đầu về miền phổ rất hiệu qu

3.1.1 Phép Bi n Đ i Haar c đi n rời r c

Một hệ thống trực giao đầy đ các hàm trong Lp [0, 1], p ∈ [0, ∞] m̀ ć giá trị

từ ṭp {0, 2j: j ∈ N} đ ợc xác định b i Haar Hệ thống các hàm có tính chất mà

m̃i hàm liên tục trên đo n [0, 1] có th̉ đ ợc bỉu diễn b i một chũi thống nhất

và hội tụ nếu xét về các thành phần c a hệ thống này Ngày nay, có một số định nghĩa khác c a hàm Haar Những định nghĩa này khác nhau đối v́i các giá trị

c a hàm Haar t i các đỉm c a sự gián đo n Thí dụ định nghĩa Haar ban đầu là

1

1, t [ ,1)

2

t haar t

(3.3) Thay vì quan hệ mô t một số tác gi sử dụng công th́c Haar (k, t) = Haar (k, t + 0), nếu trong thực tế ń th ng đ ợc gi định rằng hàm Haar có giá trị bằng không t i các đỉm gián đo n

Hàm Haar r i r c có th̉ đ ợc định nghĩa l̀ h̀m xác định bằng cách lấy mẫu các hàm Haar t i các đỉm 2n Các hàm này có th̉ đ ợc thụn tiện bỉu đễn b i các

ph ơng tiện d ́i d ng ma tṛn Các ma tṛn Haar H (n) đ ợc xem xét trong tṛt

tự tự nhiên và trình tự khác nhau về th́ tự c a các hàng M̃i hàng c a ma tṛn

H (n) bao gồm các chũi Haar r i r c haar (w, t) (hoặc nếu không thì hàm Haar

r i r c) Trong ký hiệu này, chỉ số w xác định số l ợng c a hàm Haar và chỉ số t đỉm r i r c c a kho ng th i gian xác định h̀m Trong tr ng hợp này, các ma tṛn Haar c a bất kỳ kích th ́c có th̉ thu đ ợc bằng h̀m t ơng quan sau:

1

2

for t haar t

Trong đ́ F là hình nh d ́i d ng ma tṛn, ma tṛn này ć kích th ́c N × N đỉm

nh, S là ma tṛn phổ và a b = 1 / N, do đ́ các thông số a, b có th̉ đ ợc định nghĩa l̀ giá trị 1 / N, 1 / ạ N hoặc 1, n = log2N

B i vì ma tṛn (2) có nhiều không mục, một số giá trị c a các hệ số phổ Haar là cũng bằng 0 Hình 1 trình bày một số phép biến đổi đ ợc biết đến c a một nh

thử nghiệm Nh các ma tṛn biến đổi H(n), Walsh-Hadamard, Haar, sin và cosin

đư đ ợc sử dụng Tất c các con số t o nên bỉu diễn đồ họa c a các hệ số phổ

Do đ́, m̃i hình nh trong hình 1 có th̉ đ ợc hỉu nh ma tṛn, nơi h̀ng trục và

cột mô t các yếu tố c a ma tṛn S và giá trị trục hệ số chỉ ra giá trị c a hệ số phổ trong S Hình nh F thử nghiệm đ ợc xây dựng nh một ma tṛn 8 × 8, trong đ́

có giá trị bằng không mọi nơi trừ các phần tử trên bên trái, mà nó có giá trị là tám

Phép biến đ̃i Haar nhanh đư đ ợc biết đến từ nhiều công trình, do đ́ ń sẽ không

có mặt trong các chi tiết Phép biến đổi Haar là phép biến đổi tách r i đối x́ng

sử dụng h̀m Haar cho cơ s c a nó Nó tồn t i cho N = 2n, trong đ́ n l̀ một số nguyên Hàm Haar, mà là một cặp xung hình chữ nḥt, là Wavelets trực giao đơn

gi n nhất v̀ lâu đ i nhất Trong khi mà, h̀m cơ s biến đổi Fourier chỉ khác nhau tần số, các hàm Haar khác nhau trong c quy mô chiều rộng và vị trí

Hình 3.1 - Phép biến đổi S c a nh có ch a các xung kiểm tra: a) Hadamard, b) Haar, c) DST (Phép biến đổi Sin rời r c), d) DCT (Phép biến đổi Cosine r ời r c) [16]

Walsh-Từ Hình3.1 chúng ta có th̉ nḥn thấy rằng tất c các phần tử N2 c a những phép

biến đổi là khác không ngo i trừ biến đổi Haar, trong đ́ chỉ có số h ng 2N khác không Những kết cấu này rất quan trọng trong xử lý hình nh b i vì trong nhiều

tr ng hợp hệ số phổ có số h ng zero tr ́c khi các ho t động phục hồi tiếp theo

Tr ng hợp này x y ra trong nh đen trắng rất th ng xuyên Từ quan đỉm nén

dữ liệu hình nh trên, tr ng hợp này là rất thụn tiện Từ sự phân bố năng l ợng

mà nó có th̉ đ ợc ́c tính có hệ số phổ có th̉ đ ợc gi m Nó dễ d̀ng đ̉ quan sát từ hình 1 rằng biến đổi Walsh cho kết qu tồi tệ nhất đây: phân bố năng

l ợng phổ là thống nhất Các tr ng hợp c) và d) Phân phối năng l ợng phổ

đư nêu m nh tối đa trên biên Bên ngoài c a giá trị tối đa, ć th̉ quan sát sự sụt

gi m năng l ợng Tḥt không may, sự phân bố c a phổ Haar (Hình 3.1b) là cũng không hợp lý, nh ng chúng ta ć th̉ xử lý phép biến đổi này theo cách khác Các phép biến đổi r i r c, trình bày trong Hình 3.1, cho phép ta quan sát nơi ṭp

trung năng l ợng x y ra Do đ́, chúng ta biết đ ợc hệ số phổ rất quan trọng trong xử lý hình nh Từ bỉu diễn này, nó không ph i là có th̉ tìm thấy thông tin chính xác hơn về nh thực Thí dụ, rất kh́ đ̉ chỉ những nơi, trong đ́ mô t chi tiết ngang, dọc, v.v…c a nh thực Những rắc rối có th̉ đ ợc khắc phục

bằng cách phân tích đa phân gi i nổi tiếng

3.1.2 Phép bi n đ i Haar Wavelets rời r c

Một đặc tính nổi ḅt c a các hàm Haar là ngo i trừ hàm Haar (0 , t) , các hàm Haar th́ i có th̉ đ ợc t o ra b i các h n chế c a hàm th́ (j - 1) đ ợc một nửa

c a kho ng th i gian mà nó là khác không, bằng cách nhân v́i ạ 2 v̀ tỷ lệ qua kho ng [0, 1] Các tính chất này cho lợi ích đáng k̉ về hàm Haar, vì chúng liên quan chặt chẽ v́i lý thuyết Wavelets Trong bối c nh này, hai h̀m Haar đầu tiên đ ợc gọi là hàm toàn cục, trong khi tất c những hàm khác đ ợc bỉu thị là các hàm cục bộ Do đ́, các h̀m Haar, mà là một cặp xung hình chữ nḥt, là Wavelets đơn gi n nhất v̀ lâu đ i nhất

Động lực cho việc sử dụng Wavelets r i r c l̀ đ̉ ć đ ợc thông tin mà nó phân

biệt hơn bằng cách cung cấp một độ phân gi i khác nhau các phần khác nhau

c a mặt phẳng th i gian- tần số Các phép biến đổi Wavelets cho phép các phân vùng c a miền th i gian-tần số vào ĺp không đồng d ng trong kết nối v́i các

nội dung phổ th i gian c a tín hiệu Các ph ơng pháp Wavelets đ ợc kết nối chặt chẽ v́i cơ s cổ đỉn c a các hàm Haar; tỷ lệ và biến hình c a một Wavelets

cơ b n có th̉ t o ra các hàm Haar cơ s

Định nghĩa 3.1 Cho Ψ: R → R, h̀m Wavelets Haar đ ợc xác định theo công

th́c:

(3.7) Xem xét định nghĩa 3.1, bất kỳ hàm Haar (ngo i trừ hàm haar (0, t)) từ cơ s (2)

có th̉ đ ợc t o ra bằng ph ơng tiện c a các công th́c:

quan tâm hàm Wavelets trên kho ng ngoài [0,1), hằng số đ ợc chuẩn hóa này

Hằng số đ ợc chọn sao cho tích vector , Chỉ mục

j liên quan đến phép biến hình và chỉ mục i liên quan đến phép tịnh tiến Do đ́,

1

21

20

0 [0,1)

t t

ta ć đ ợc kho ng tuyến tính c a không gian vector

Các h̀m cơ s từ không gian đ ợc gọi là các hàm tỷ lệ

Trong phân tích đa phân gi i, cơ s Haar ǹy ć đặc tính quan trọng

, trong đ́ thay thế cho phép trực giao c a không gian và

Từ định nghĩa 3.1 v̀ 3.2 không gian vector có th̉ đ ợc xử lý nh bổ phụ

trực giao c a trong Nói cách khác, cho là không gian c a tất c các hàm trong mà là trực giao v́i tất c các hàm trong Vì ṿy, các h̀m cơ s c a cùng v́i các h̀m cơ s c a ḷp thành một cơ s cho và mọi h̀m cơ s c a là trực giao v́i mọi h̀m cơ s c a Từ các thuộc tính c a các hàm Haar, mô t trên, sau đ́ Wavelets cơ s

đ ợc thu hẹp dần (gi m quy mô) theo h̀m mũ c a hai Sau đ́ m̃i Wavelets

nhỏ đ ợc tịnh tiến từng b ́c bằng chiều rộng c a nó, sao cho các bộ hoàn chỉnh

c a các Wavelets bất kỳ quy mô hoàn toàn bao gồm kho ng này Từ ph ơng trình đư đề c̣p có th̉ kết lụn, rằng Wavelets cơ s đ ợc thu nhỏ l i b i lũy

thừa c a 2, nh ng biên độ c a ń đ ợc nhân rộng b i lũy thừa c a 2

3.1.3 nh c sở Wavelets và Haar

Do yêu cầu tính toán thấp, phép biến đổi Haar đư đ ợc sử dụng ch yếu đ̉ xử

lý nh và nḥn d ng mẫu Từ lý do này xử lý tín hiệu hai chiều là một khu vực

c a các ́ng dụng hiệu qu c a các phép biến đổi Haar do cấu trúc giống Wavelets

Vì H(n) và là ma tṛn vuông, tích c a nó là giao hoán, do đ́ ph ơng trình (3) và (4) có th̉ đ ợc viết l i và th̉ hiện nh :

(3.12)

(3.13) (3.14)