Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆNNĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
a Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18
× − × − ÷− ×
b Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
Bài 2 (4 điểm)
Cho biểu thức
2
A
x 2
+
=
− .
a Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được
b Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
c Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 3 (2 điểm)
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
5z 6y 6x 4z 4y 5x
và 3x 2y 5z 96− + =
Tìm x; y; z
Bài 4: (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012 Tính a; b ; c
b Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm
Bài 5 (8 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD =
AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD
a Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ?
So sánh DM và CN
b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K
Chứng minh BMK∆ = ∆CMD
c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Bài 1 (3đ)
× − × − ÷− ×
× − × − ÷− ×
= − − ÷− = + − ÷
.
−
b Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
1.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Bài2 (4đ )
Cho biểu thức
2
A
x 2
+
=
− .
a Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0 Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2
b Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm
A nhận giá trị là số âm khi x < 2
c Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
2
A
x 2
+
=
−
( 2)
x
x
− +
2
2
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
Bài 3(2đ) Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
Tìm x; y; z.
0.5đ
Trang 3⇒ 20z 24y 30x 20z 24y 30x
0
10 25 36
z− y+ x− z+ y− x
+ +
x = =y z ⇒ x = y = z = x− y+ z = =
− +
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18
0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4 (3đ) Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012 Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 và tính được a 4025 2 = ; b 1 2 = Kết luận : a 4025 2 = ; b 1 2 = và c = 0 b Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c (1)
2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2)
2036 = f(3) = 9a +3b +c (3)
Từ (1) và (2) có a – b = 8 (4)
Từ (2) và (3) có a + b = 0 (5)
Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012 Như vậy f(x) = 4x 2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1) 2 + 2011 > 0 ∀ x Kết luận: Đa thức vô nghiệm 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 5 (8đ ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD
M E B
D
N
K
Trang 4a Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN
b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K
c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
2BC= 2
2
a
2
Chu vi tam giác DMK bằng
2
1.0đ
0.5đ 0.5đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
4
9 9
5 3
2 :
4
b
1 1 1
4
1 3
1 2
1 19
45
−
−
−
+ +
c 1015199 2920 96
27 2 7 6 2
.
5
8 3 4 9 4
5
−
Bài 2: (6 điểm)
Trang 5a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b Tìm x, biết: 3 : 2 1
2
1 x− =
22 21
c Tìm x, y, z biết:
15
2 3 5
2x−y = y− z
và x + z = 2y
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a = Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên tia đối của
tia KA lấy D , sao cho KD = KA
a Chứng minh: CD // AB
b Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N
Chứng minh rằng: ABH = CDH
c Chứng minh: ∆HMN cân
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11
Hết
Họ và tên học sinh: ; SBD:
Học sinh trường:
UBND HUYỆN PHÚ
THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP
HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao
đề)
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
4
9 9
5
3
2
:
4
−
4
9 9
1 : 4
3 4
9 9
5
3
2
:
4
3
+
= +
4
36 4
9 1
9
.
4
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 6b
1 1 1
4
1 3
1 2
1
19
45
−
−
−
+ +
−
4 3 1
1 2 1
1 19
45 4
1 3
1 2
1
19
45
1 1 1
+ +
−
=
+ +
−
−
−
−
1,0đ
19
19 19
26
19
45
=
=
c 1015199 2920 96
27 2 7 6
.
2
.
5
8 3 4 9
.
4
.
5
−
−
6 29 19
10
9 20 9
15
27 2 7 6
.
2
.
5
8 3 4 9
.
4
.
5
−
6 3 29 19
19 10
9 3 20 2 9 2 15 2
3 2 7 3 2 2 5
2 3 2 3 2 5
−
(5 3 7)
3
.
2
3 2 5 3
.
2
18
29
2 18
29
−
−
=
8
1 7
15
9
10
−
=
−
−
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16
b Tìm x, biết: 3 : 2 1
2
1
−
x =
22 21
Nếu
2
1
>
x Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ
3 : 2 1
2
1 x− =
22 21
2
7
: (2x – 1) =
22
21
0,25đ 2x – 1 =
2
7
:
22
21
=
3
11 21
22 2
7
2x =
3
11
+ 1 =
3
14
0,25đ
x =
3
14
: 2 =
3
7
>
2
1
0,25đ Nếu
2
1
<
3 : 2 1
2
1
−
x =
22 21
2
7
: (1 - 2x) =
22 21
0,25đ
Trang 7-2x =
3
11
- 1 =
3
8
0,25đ
x =
3
8
: (-2) =
2
1 3
4 <
Vậy x =
3
7
hoặc x =
3
4
c Tìm x, y, z biết :
15
2 3 5
2x−y = y− z
và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ
Vậy nếu:
15
2 3 5
2x− y = y− z
thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ≠ 15) 0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y
2
1
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y ⇒ x + z + y – 2z = 0 hay y
2
1
+ y – z = 0 0,25đ hay y
2
3
- z = 0 hay y =
3
2
z suy ra: x =
3
1
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =
3
1
z; y =
3
2
z ; với z ∈ R }
hoặc {x =
2
1
y; y ∈ R; z =
2
3
y} hoặc {x ∈ R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a
= Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ
cb = ad suy ra:
d
c b
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên tia đối của
tia KA lấy D , sao cho KD = KA
a Chứng minh: CD // AB
b Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N
Chứng minh rằng: ABH = CDH
c Chứng minh: ∆HMN cân
Giải:
Trang 8a/ Chứng minh CD song song với AB.
BK = CK (gt)
D Kˆ C
A
Kˆ
⇒ D Cˆ K = D Bˆ K; mà A Bˆ C + A Cˆ B = 90 0⇒A Cˆ D = A Cˆ B + B Cˆ D = 90 0 0,25đ
⇒ A Cˆ D = 90 0 = B Aˆ C⇒ AB // CD (AB ⊥ AC và CD ⊥ AC) 0,25đ
BA = CD (do ∆ABK = ∆DCK)
mà: AH = CH (gt) và M Hˆ A = N Hˆ C (vì ∆ABH = ∆CDH) 0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11
Giải:
Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,25đ
A
K
C H