Phương pháp giải hệ phương trình

Lời nói đầuChúng tôi rất vui mừng khi “Tuyển tập hệ phương trình của BoxMath” được hoàn thành, bởi nó đáp ứng được nhiều mong mỏi của quý đọc giả, đặc biệt là các em học sinh.. Có thể nó

Trang 1

chinh.jpg

Trang 3

Mục lục

Trang 4

Lời nói đầu

Chúng tôi rất vui mừng khi “Tuyển tập hệ phương trình của BoxMath” được hoàn thành, bởi nó đáp ứng được nhiều mong mỏi của quý đọc giả, đặc biệt là các em học sinh Có thể nói tuyển tập hệ phương trình của BoxMath là sự tập hợp nhiều bài toán hay và kỉ thuật thường dùng khi giải

hệ phương trình

Nội dung của tuyển tập hệ phương trình của BoxMath được chia theo phương pháp giải toán như sau:

1 Sử dụng phép biến đổi đại số và thế

2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

3 Sử dụng phương pháp hàm số

4 Sử dụng phương pháp đánh giá

5 Sử dụng phép thế lượng giác

Hy vọng, tuyển tập hệ phương trình của BoxMath góp phần nhỏ đem lại nhiều thành công cho các bạn đọc giả, đặc biệt là quý Thầy Cô trong công tác giảng dạy, các em học sinh trong học tập, trong các kì thi cấp khu vực, cấp quốc gia

Cuối cùng thay ban quản trị xin chúc các bạn lời chúc sức, thành đạt trong công sống, và tha thiết đón nhận ý kiến đóng góp quý báo của bạn đọc về những tồi tài, thiếu sót để tuyển tập hệ phương trình của BoxMath hoàn thiện hơn

Hồng Ngự, ngày 16 tháng 6 năm 2012

Thay mặt nhóm biên soạn

lê trung tín

Trang 5

Các thành viên trong ban quản trị, trong nhóm biên soạn

1 Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp

2 Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp

3 Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp

4 Hồ Hoàng Việt - Gò Đen - Long An

5 Nguyễn Văn Thoan - Nam Định

6 Nguyễn Mạnh Tuấn - Khánh Hòa

7 Thái Mạnh Cường - Nghệ An

8 Đinh Văn Minh - Vĩnh Phúc

9 Giang Hoàng Kiệt - TP Hồ Chí Minh

10 Ngô Công Bình - THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa

11 Nguyễn Đức Huỳnh - THPT Hùng Vương - TP Hồ Chí Minh

12 Nguyễn Quốc Oanh - THPT Sào Nam -Quảng Nam

LATEX

Hỗ trợ kĩ thuật Latex

• Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận

Trình bày bìa

• Phạm Tuấn Khải

Trang 6

1 Sử dụng phép biến đổi đại số và phép thế

1 Giải hệ phương trình:







x3+ 4y = y3+ 16 (1)

1 + y2 = 5 (1 + x2) (2)

**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****

Lời giải:

Phương trình (2) tương đương với y2 − 5x2 = 4 (3)

Thay vào phương trình (1) ta có:

x3+ y2 − 5x2 y = y3+ 16 ⇔ x3− 5x2y − 16x = 0 ⇔

"

x = 0

x2− 5xy − 16 = 0

- Với x = 0 ⇒ y2 = 4 ⇔ y = ±2

- Với x2− 5xy − 16 = 0 ⇔ y = x

2− 16 5x , thay vào (3) ta có

x2− 16

5x

2

− 5x2 = 4 ⇔ 124x4+ 132x2− 256 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔

"

x = 1 ⇒ y = −3

x = −1 ⇒ y = 3 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3)





1

x − 1 2y = 2 (y

4− x4) 1

x +

1 2y = (x

2 + 3y2) (3x2+ y2)

Lời giải:

Điều kiện:

(

x 6= 0

y 6= 0

Hệ phương trình tương đương với





2

x = 2y

4− 2x4+ 3x4+ 3y4+ 10x2y2 1

y = 3x

4+ 3y4+ 10x2y2 − 2y4 + 2x4

⇔

(

2 = 5y4x + x5+ 10x3y2

1 = 5x4y + y5+ 10x2y3

⇔

(

x5 + 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3+ 5xy4+ y5 = 2 + 1

x5 − 5x4y + 10x3y2− 10x2y3+ 5xy4− y5 = 2 − 1

⇔

( (x + y)5 = 3 (x − y)5 = 1 ⇔

(

x + y = √5

3

x − y = 1 ⇔











x =

5

√

3 + 1 2

y =

5

√

3 − 1 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) =

5

√

3 + 1

2 ;

5

√

3 − 1 2

!

Trang 7







x3(2 + 3y) = 1

x (y3− 2) = 3

Lời giải:

Điều kiện: x 6= 0

Biến đổi hệ phương trình thành





2 + 3y = 1

x3 (1)

y3− 2 = 3

x (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

y3+ 3y = 1

x3 + 3

x ⇔y3− 1

x3 + 3

y − 1 x

= 0

⇔

y − 1 x

y2+ 1

x2 + y x

+ 3

y − 1 x

= 0

⇔

y − 1 x

y2+ 1

x2 + y

x + 3

= 0

⇔

y − 1 x

"

y + 1 2x

2

+ 3 4x2 + 3

#

= 0

⇔y = 1

x

Thay vào (2) ta được : 1

x3 − 2 = 3

x ⇔ 2x3+ 3x2− 1 = 0 ⇔





x = −1 ⇒ y = −1

x = 1

2 ⇒ y = 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) , 1

2; 2







x4− y4 = 240

x3− 2y3 = 3 (x2 − 4y2) − 4 (x − 8y)

Lời giải:

Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được

x4− 8x3+ 24x2− 32x + 16 = y4− 16y3+ 96y2− 256y + 256

⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔

"

x − 2 = y − 4

x − 2 = 4 − y ⇔

"

x = y − 2

x = 6 − y

- Với x = y − 2, thay vào phương trình đầu ta được:

− 8y3+ 24y2− 32y + 16 = 240

⇔ y3− 3y2+ 4y + 28 = 0

⇔ (y + 2) y2− 5y + 14 = 0

⇔ y = −2 ⇒ x = −4

Trang 8

- Với x = 6 − y, thay vào phương trình đầu ta được:

− 24y3+ 216y2− 864y + 1296 = 240

⇔ y3− 9y2+ 36y − 44 = 0

⇔ (y − 2) y2− 7y + 22 = 0

⇔ y = 2 ⇒ x = 4 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (x; y) = (−4; −2) , (4; 2)







x3− 8x = y3+ 2y (1)

x2− 3 = 3 (y2+ 1) (2)

Lời giải:

Thế (2) vào (1) ta có:

3 x3− y3 = x2− 3y2 (4x + y)

⇔x3+ x2y − 12xy2 = 0

⇔x x2+ xy − 12y2 = 0

⇔x = 0 ∨ x = 3y ∨ x = −4y

- Với x = 0, thay vào (2) ta có: y2 = −2 (vô nghiệm)

- Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3

- Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y2 = 6

13 ⇒ y = ±r 6

13 ⇒ x = ∓4r 6

13. Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

(x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4

r 6

13;

r 6 13

! , 4

r 6

13; −

r 6 13

!







x3+ y3− xy2 = 1 (1) 4x4 + y4 = 4x + y (2)

Lời giải:

Thay (1) vào (2), ta có:

4x4+ y4 = (4x + y) x3+ y3− xy2

⇔ xy 3y2− 4xy + x2 = 0

⇔







x = 0 ⇒ y = 1

y = 0 ⇒ x = 1 3y2− 4xy + x2 = 0 ⇔

"

x = y

x = 3y Thay vào (1), ta có: x = y = 1

Thay vào (1), ta có: x = 3

3

√

25, y =

1

3

√ 25 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) ,

3

√

25;

1

3

√ 25

Trang 9











3 − 5

y + 42x

√ 2y = 4

3 + 5

y + 42x

√

x = 2

(I)

Lời giải:

Điều kiện: x > 0, y > 0

(I) ⇔





1

√

x −

√ 2

√

y =

5

y + 42x (1) 1

√

x +

√ 2

√

y = 3 (2) Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được:

1

x −2

y =

15

y + 42x

⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy

⇔y2− 84x2+ 25xy = 0

⇔ (y − 3x) (y + 28x) = 0

⇔y = 3x ( do y + 28x > 0)

Từ đó thế vào (2) ta được: x = 5 + 2

√ 6

27 ; y =

5 + 2√

6 9 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = 5 + 2

√ 6

27 ;

5 + 2√

6 9

!







xy + x + y = x2 − 2y2 (1)

x√ 2y − y√

x − 1 = 2x − 2y (2)

Lời giải:

Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0

(1) ⇔ x2− xy − 2y2− (x + y) = 0

⇔ (x + y) (x − 2y) − (x + y) = 0

⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0

⇔ x − 2y − 1 = 0 ( do x + y > 0)

⇔ x = 2y + 1 Thế vào (2) ta được:

yp2y +p2y = 2y + 2

⇔ (y + 1)p2y − 2= 0

⇔p2y − 2 = 0 ( do y ≥ 0 ⇒ y + 1 > 0)

⇔2y = 4

⇔y = 2 ⇒ x = 5 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x; y) = (5; 2)

Trang 10







2x3+ 3x2y = 5

y3+ 6xy2 = 7

Lời giải:

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

8x3+ 12x2y + 6xy2+ y3 = 27

⇔ (2x + y)3 = 27

⇔ 2x + y = 3

⇔ y = 3 − 2x Thay vào (2) ta được:

2y3− 9y2+ 7 = 0

⇔







y = 1 ⇒ x = 1

y = 7 +

√ 105

4 ⇒ x = 5 −

√ 105 8

y = 7 −

√ 105

4 ⇒ x = 5 +

√ 105 8 Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

(x; y) = (1; 1) , 5 +

√ 105

7 −√ 105 4

! , 5 −

√ 105

7 +√ 105 4

!







9x2− 4y2 = 5 log5(3x + 2y) − log3(3x − 2y) = 1

Lời giải:

Điều kiện:







3x + 2y > 0 3x − 2y > 0

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	2,28 MB