LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương trình toán phổ thông nói riêng.. Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trì
Trang 1LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung
và chương trình toán phổ thông nói riêng Quan điểm hàm số cần được quán triệt trong toàn bộ chương trình toán ở trường trung học phổ thông Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được trình bày khá rõ
ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo
khác
Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác SGK Đại số
lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất
của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số
và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng
dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm
của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là:
Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình.
Đây là l vấn đề được rất nhiều người đề cập đến Trong phạm vi đề tài của mình tôi chỉ xin nêu ra một số bài toán mới và một số bài toán trong chương trình cũng như trong các đề thi mà một số đáp án được giải bằng phương pháp khác
Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 2VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
I/
Cơ sở lý thuyết:
SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một
ẩn như sau:
Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định D f , g(x) với tập xác định D y Đặt
y
f D
D
D= ∩ Ta đặt vấn đề tìm các giá trị a∈D sao cho:
) g(a) f(a) (
),
(
)
(a = g a >
Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn.
Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương
trình), D là tập xác định của phương trình (bất phương trình).
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất phương trình
Tính đơn điệu của hàm số:
a.Định nghĩa:
- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ
khi ∀x1,x2∈ (a;b);x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
- Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và
chỉ khi ∀x1,x2∈ (a;b);x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
b.Tính chất:
Tính chất 1:
Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
)
; ( ,
; )
(
)
(x1 f x2 x1 x2 x1 x2 a b
f = ⇔ = ∀ ∈ ( suy ra từ định nghĩa )
Tính chất 2:
Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình
0
)
(x =
f có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)
Chứng minh:
a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)
Giả sử có hai số x1,x2(x1 <x2) sao cho f(x1) = f(x2) = 0( )* Điều (*) này gặp phải mâu thuẩn, vì x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ∀x1∈ (a;b),x2∈ (a;b) (do hàm số
f tăng trong khoảng (a;b))
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).
Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn
Trang 3Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên
khoảng (a;b)
II/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:Giải phương trình:
257 1
2 3 2
1 ) 2 2 3 2 ( 5
log − + + + − − =
x
Lời giải:
Đặt u= x2 −3x+2 (x≤1,x≥2), suy ra u≥0 và x2−3x=u2−2, thay vào (1) ta có :
) 2 ( 257
2 2 2
1 ) 2 ( 5 log 257
2 1 2
1 ) 2 (
5
log + + − = ⇔ + + =
2
1 ) 2 ( 5 log ) (u u u
f = + + , vì f’(u) > 0,∀u∈[0;+∞) nên f đồng biến
trên [0;+∞) Mặt khác 29 257
2
1 5 5 log ) 3 ( = + =
f
Vì vậy,
2
33 3
3 2 3 2 3
) 3 ( ) ( )
2
( ⇔ f u = f ⇔u= ⇔ x − x+ = ⇔ x= ±
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
2
33
3 ±
=
x
3 2 6
1 2 4 2007
log = − +
+ +
x x
x
(*)
Lời giải:
Đặt u=4x2 +1≥1;v =x6+x2+3≥3
Ta có :
) 3 ( 2007
2007
2007
log 2007
log 2007
log (*)
v v
u u
v v u
u u
v v u
=
⇔
+
= +
⇔
−
=
⇔
Xét hàm số: f(t)=t.2007t trên [2;+∞)
Ta có f'(t)=2007t(1+t.ln2007)>0,∀t∈[2;+∞) => hàm số đồng biến trên [ 2 ; +∞ ) nên từ phương trình (3) suy ra u = v,
hay 4x2+1=x6+x2+3⇔ x6−3x2+2=0
Trang 4Đặt
−
=
=
⇔
= +
−
⇒
≥
loạ X
X X
X x
X
Với X =1⇒ x=±1
Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm: x=±1
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình:
= + +
+ +
−
=
−
) 4 ( 0 1 sin cos
2 sin 2
cos
(*) sin
sin
y x
y x
y x
y x
Lời giải:
Ta cĩ (*) ⇔ x−sinx= y−siny (5) Đặt f(t)=t−sint, với t∈R
R t t
t
f'( )=1−cos ≥0,∀ ∈ Vậy hàm số tăng trên R do đĩ,
( )5 ⇔ f(x)= f(y)⇔ x= y, thế vào (4) ta cĩ phương trình :
0 ) 1 cos 2 )(
cos (sin
0 cosx) 2cosx(sinx cosx sinx
0 2 cos 2 cos sin 2 cos sin
0 1 sin cos 2 sin 2 cos
= + +
⇔
= +
+ +
⇔
= +
+ +
⇔
= + +
+ +
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
4 1
0 cos sinx+ x= ⇔tgx=− ⇔ x=−π +kπ k∈Z
3
2 2
1 cos
0 1 cos
2 x+ = ⇔ x=− ⇔ x=± π +k π k∈Z
Vậy hệ đã cho cĩ 3 nghiệm: x= y =−π +kπ
3
2 k
y
)
(k∈Z
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
x x x z
z z z y
y y y x
2 3 1 2
2 3 1 2
2 3 1 2
(6)
Lời giải
Xét hàm số : f(t)=t3+t2 +t, với t∈R Khi đĩ:
(6)
= +
= +
=
+
⇔
) ( 1 2
) ( 1 2
) ( 1 2
x f z
z f y
y f x
Ta cĩ : f'(t)=3t2 +2t+1>0,∀t∈R⇒ hàm số f(t) đồng biến trên R
• Nếu x < y thì f(x) < f(y)
z y z
y x
f z f x z x
Trang 5Từ đó, suy ra: x< y< z<x Điều này vô lý.
• Nếu y < x thì f(y) < f(x)
y z y
z z
f x f z x z
Từ đó, suy ra: y< x< z< y Điều này vô lý
Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z
Thế vào hệ ta được:
=
=
−
=
=
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
− +
⇔ + +
= +
z y x
z y x
x x
x x x x x x x
1 1
0 ) 1 2 )(
1 (
0 1 2
3 2
3 1 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1)
Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt
lưu ý sự liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng
Chẳng hạn đối với bài toán:
Giải hệ phương trình:
+
=
−
=
−
1 2
1 1
3
x y
y
y x
x
(I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :
t t
f t t t
f( ) = −1⇒ ' ( ) = 1 + 12 > 0 ∀ ∈ nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải
Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số
t t t
f( ) = −1 có t R
t t
f' ( ) = 1 + 12 > 0 ∀ ∈ nhưng hàm f(t) gián đoạn tại t = 0
Nhận xét: Với f' (x) ≥ 0 , ∀x∈D f và y = f(x) liên tục trên D f thì
=
=
⇔
=
=
0 )
; ( 0
)
; (
) ( ) (
y x F
y x y
x F
y f x f
6 log 2
cos 3
2 sin 3
2 + − ≥
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi bảng B:NH 2005- 2006)
Lời giải:
Trang 62005 6
log 2
sin 2 3
1 3
2 sin 3
2 2005
6
log 2
sin 3
2 sin 1 2
sin 3
2
2005 6
log 2
sin 3
2 cos 3
2 sin 3
2 0
2005 6 log 2
cos 3
2 sin 3
2
≥ +
⇔
≥
− +
⇔
≥ +
⇔
≥
− +
x x
x x
x
x x
x x
Đặt t =sin2x,t∈[ ]0;1
Bất phương trình trở thành: log62005
9
1 3 3
2 + ≥
Hàm f t t t
3
2 ) ( nghịch biến với ∀t∈[ ]0;1 ⇒ f(t)≤ f(0)=4
Mà log62005>4.
Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 6: Cho f(x)=2.25x −(2m+1)10x +(m+2)4x (7)
Tìm m để f(x)≥0, với ∀x≥ 0
Lời giải:
Ta có: f(x) ≥ 0 với ∀x≥ 0
0 ,
0 2 2
5 ) 1 2 (
2 2
5
2 − + + + ≥ ∀ ≥
m t f t
m t
t t
x t
m t m t
≥ +∞
⇔
≥
∀
≥
−
⇔
≥
=
∀ + + +
−
) ( min )
; 1 [
1 ,
1 2
2 2
2
1 2
5 2
) 1 2 ( 2 2
1 2
2 2
2 ) ( = −−+ ∀t≥
t
t t t f
( )
−
=
=
⇔
=
−
−
−
=
⇒
2 1 2
3 0
2 1 2
3 4 2 4 ) ( '
t
t t
t t t f
Bảng biến thiên:
t − ∞ −12 21 1 23 + ∞
2 5
Trang 7f’(t) + 0 - - 0 +
f(t)
Vậy
2
5
≤
m là kết qủa cần tìm
Bài tập tương tự:
1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
0 1 2
2
5 −x − x− =
x (Đại học, cao đẳng khối D – 2004)
2 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
4 2
1
(Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 3.Giải phương trình: x x
x
x
4 )
1 (
1 2 log 2
2
− +
(Đề thi HSG tình QNgãi năm 2001)
4 Giải phương trình: log2007(x+ 1 ) = 2007x − 1
5 Tìm m để bất phương trình ( 4 +x)( 6 −x) ≤x2 − 2x+m đúng ∀x∈[− 4 ; 6]
6 Giải đất phương trình x(x8 + 2x+ 16 ) > 6 ( 4 −x2 ) (5)
7 Giải bất phương trình 5x + 12x > 13x (7)
8 Giải hệ phương trình:
<
<
−
= +
−
=
−
2
, 2
4 7 2
(*)
π π
π
y x
y x
x y tgy tgx
Trang 8Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn Tuy nhiên với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một ứng dụng trên
Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Ba Tơ trong các đợt bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi đại học cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động ; đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này
Quảng Ngãi, tháng 3 năm 2007
Trang 9Nhận xét, đánh giá của HĐCM trường THPT Ba Tơ:
Nhận xét, đánh giá của HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi .
