ĐỀ CƯƠNG TRẮC địa mặt cầu

Giải sử có một điểm đã có tọa độ xU, yU trong phép chiếu UTM, kinhtuyến trung ương Lo , tỷ lệ chiếu trên kinh tuyến trung ương là mo , cần tính tọa độ vuông góc phẳng xM, yM của điểm đó

ĐỀ CƯƠNG TRẮC ĐỊA MẶT CẦU

Câu 1 Phương pháp biểu thị độ vĩ quy hóa U trên mặt cầu phụ trợ ? Cho biết mối liên hệ giữa độ vĩ trắc địa B và độ vĩ quy hóa U? Tác dụng của độ

vĩ quy hóa U?

Độ vĩ quy hóa U (Reduced Latitude) là một cách biểu thị điểm từ mặt Ellipsoid lên mặt cầu phụ trợ Trên mặt cầu phụ trợ có thể sử dụng các công thức lượng giác cầu, nhờ đó việc tính toán được đơn giản hơn Độ vĩ quy hóa U được sử dụng trong giải các bài toán trắc địa trên mặt Ellipsoid

Như đã biết, phương trình tham số của ellip là:

x = a cosU (1)

y = b.sin U (2)trong đó U được gọi là độ vĩ quy hóa

Độ vĩ quy hóa U được xác định thông qua điểm Q’ điểm Q1 và Q2 trên mặt cầu phụ trợ tâm O, có bán kính bằng bán trục lớn a và bán trục nhỏ b của elip

Từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục nhỏ của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục lớn a của elip tại điểmQ1 QQ1 hợp với OX một góc U-U được gọi là độ vĩ quy hóa

Hoặc, từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục lớn của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục nhỏ b của elip tạiđiểm Q2 QQ2 hợp với OX một góc U-U được gọi là độ vĩ quy hóa

b/a=(1-f)=√1-e2 (6)

Như vậy ta có mối quan hệ giữa độ vĩ quy hóa U với độ vĩ trắc địa B như sau: tgU = (1− f )tgB

hoặc: tgU=tgB√1-e2

Câu 2 Phân loại các phép chiếu dựa vào tính chất biến dạng và tính bảo toàn

các yếu tố hình học trên Ellipsoid?

Căn cứ vào tính chất biến dạng và tính bảo toàn yếu tố hình học của phép chiếu, người ta có thể phân loại phép chiếu như sau:

- Phép chiếu đồng góc (hay giữ góc) là phép chiếu trong đó giá trị góc trên Ellipsoid được giữ nguyên sau khi thể hiện góc đó trên mặt phẳng, còn chiều dài

và diện tích bị biến dạng

- Phép chiếu đồng diện tích (giữ diện tích) là phép chiếu trong đó diện tích đượcgiữ nguyên khi chuyển từ mặt Ellipsoid lên mặt phẳng còn góc và chiều dài bị biến dạng

- Phép chiếu đồng khoảng cách (hay giữ khoảng cách) là phép chiếu trong đó khoảng cách theo một hướng nào đó được giữ nguyên khi chuyển từ mặt

Ellipsoid lên mặt phẳng Trong phép chiếu này, giá trị góc và diện tích bị biến dạng

Câu 3 Cho tọa độ vuông góc phẳng x, y của một điểm trong phép chiếu hình trụ ngang UTM, bằng cách nào để xác định tọa độ vuông góc phẳng x’, y’ trong phép chiếu hình trụ đứng Mercator? Trong trường hợp này cần phải biết thêm những số liệu gì khác?

Trong đo vẽ thành lập bản đồ địa hình đáy biển hay hải đồ, người ta cóthể phải tính đổi tọa độ vuông góc phẳng theo phép chiếu hình trụ ngang UTMsang tọa độ vuông góc phẳng theo phép chiếu hình trụ đứng Mercator với cùngEllipsoid quy chiếu (Datum)

Vấn đề tính toán chuyển đổi tọa độ giữa bản đồ địa hình theo phép chiếuUTM và hải đồ theo phép chiếu trụ đứng Mercator được thực hiện theo các côngthức của lưới chiếu UTM và lưới chiếu Mercator đã nêu trên Sự khác biệt củahai loại bản đồ này còn ở hệ thống độ cao, hải đồ sử dụng số « 0 » hải đồ (mựcnước thấp nhất trong lịch sử) để tính độ cao và độ sâu các điểm chi tiết thể hiệntrên bản đồ

Giải sử có một điểm đã có tọa độ xU, yU trong phép chiếu UTM, kinhtuyến trung ương Lo , tỷ lệ chiếu trên kinh tuyến trung ương là mo , cần tính tọa

độ vuông góc phẳng xM, yM của điểm đó trong phép Mercator với vĩ tuyến chuẩn

Bo và tỷ lệ dài trên vĩ tuyến chuẩn là µo

Quy trình tính đổi tọa độ như sau:

1 Sử dụng các công thức (3.2.7), (3.2.8) để tính đổi tọa độ xU, yU sang tọa

độ trắc địa B, L với các thông tin về kinh tuyến trung ương Lo và tỷ lệ chiếu trênkinh tuyến trung ương mo Tọa độ trắc địa B,L cần được tính tới số lẻ thứ 5 sauđơn vị giây góc

Câu 4 Tác dụng của các hệ tọa độ trái đất? Đặc điểm chung của các hệ tọa

độ trái đất? Cho biết mối liên hệ giữa hệ tọa độ trắc địa với tọa độ vuông góc không gian địa tâm?

*Tác dụng:

Hệ tọa độ trái đất là hệ tọa độ được gắn cố định với Trái Đất (nhờ định vịEllipsoid), sử dụng để xác định vị trí không gian (3D) của các điểm trên bề mặtTrái Đất và trong không gian xung quanh gần Trái Đất

Hệ tọa độ trái đất là cơ sở (toán học) để xây dựng hệ quy chiếu cố địnhvới Trái Đất EFRS (Earth Fixed Reference System)

Với N là bán kính cong vòng thẳng đứng thứ nhất tại điểm xét

Nếu cho tọa độ vuông góc không gian địa tâm X, Y, Z thì tính tọa độ trắcđịa B, L, H theo công thức:

Câu 5 Định nghĩa đường trắc địa trên mặt Ellipsoid? Hãy cho biết một số tính chất của đường trắc địa trên mặt Ellipsoid?

*Khái niệm: Đường trắc địa (Geodesic) là đường ngắn nhất trên mặt

Ellipsoid nối giữa hai điểm trên mặt đó

Về phương diện hình học vi phân, đường trắc địa được định nghĩa là mộtđường cong mà pháp tuyến chính tại mọi điểm của nó trùng với pháp tuyến củamặt cong tại điểm đó Đường trắc địa đóng vai trò quan trọng trong trắc địa mặtcầu

*Tính chất của đường trắc địa:

Đường trắc địa trên mặt Ellipsoid có ý nghĩa tương tự như đường thẳngtrên mặt phẳng hay cung vòng tròn lớn trên mặt cầu

Đường trắc địa không trùng với cung pháp tuyến thuận và cung pháptuyến nghịch, trừ một vài trường hợp hai cung này trùng nhau và cũng chính làđường trắc địa (Vòng kinh tuyến là một đường trắc địa nhưng vòng vĩ tuyếnkhông phải là đường trắc địa Trong các vòng vĩ tuyến duy nhất chỉ có vòngXích đạo (có độ vĩ B=0) là đường trắc địa)

Trên bề mặt Ellipsoid, tích của bán kính vòng vĩ tuyến với sin gócphương vị đường trắc địa tại mọi điểm của nó là một hằng số : r.sinA = C

Tích của cosin vĩ độ quy hóa U và sin góc phương vị A của đường trắcđịa tại mọi điểm của nó đều bằng hằng số : a.cosU.sinA = C

Trong các vòng vĩ tuyến duy nhất chỉ có vòng Xích đạo (có độ vĩ B=0) là đườngtrắc địa

Câu 6 Hãy định nghĩa cung pháp tuyến trên mặt Ellipsoid? Những cung nào là cung pháp tuyến chính trên mặt Ellipsoid? Cho biết trong những trường hợp nào cung pháp tuyến thuận và cung pháp tuyến nghịch trùng nhau?

a.Cung pháp tuyến

Cung pháp tuyến của mặt cong tại điểm xét là giao tuyến giữa mặt cong

đó với mặt phẳng pháp tuyến của mặt cong tại điểm xét

b.Cung pháp tuyến chính

Mặt phẳng pháp tuyến là mặt phẳng chứa pháp tuyến, do đó tại một điểm sẽ có

vô số mặt phẳng pháp tuyến và vì thế sẽ có vô số cung pháp tuyến Trong các cung pháp tuyến đó có hai cung pháp tuyến chính Tại một điểm bất kỳ trên mặt (E) trái đất luôn có hai cung pháp tuyến chính là cung kinh tuyến và cung vòng thẳng đứng thứ nhất

Cung pháp tuyến có độ cong cực đại thì bán kính cong là cực tiểu, còn cung có

độ cong cực tiểu thì có bán kính cong là cực đại

Câu 7 Công thức của định lý klero (dựa vào bán kính vòng vĩ tuyến, phương vị ( dưa vào bán trục lớn, độ vĩ quy hóa,phương vị) Tại xích đạo thì độ vĩ quy hóa bằng bao nhiêu?

- Định lý Klero

Bán kính vòng vĩ tuyến r và độ vĩ trắc

địa B có quan hệ nghịch biến tức là giá trị

B tăng thì r lại giảm

Ta có:



Ta có công thức:

Thay ds vào công thức (*) ta có:

dA: góc hội tụ kinh tuyến tại AdB: vi phân độ vĩ

ds: vi phân chiều dài đường trắc địaA: góc phương vị

Lấy tích phân 2 vế:

- Tại xích đạo, độ vĩ quy hóa = Rỗng.

Câu 8, Hãy cho biết sự giống nhau và khác nhau giữa phép chiếu Kruger và phép chiếu UTM? Phép chiếu UTM được sử dụng trong hệ VN2000 như thế nào?

Gauss-*Giống nhau:

- Đều sử dụng phép chiếu hình trụ ngang đồng góc

- Chia mặt (E) ra thành 60 múi (mỗi múi 6˚), đánh số từ 1=>60, đánh số thứ tự

từ tây sang đông tính từ kinh tuyến gốc

- Tâm chiếu: đều là tâm trái đất

- Hình chiếu của các đường kinh tuyến luôn luôn là bề lõm quay về cực

- Hình chiếu của các đường vĩ tuyến luôn luôn là bề lồi quay về xích đạo

- Biến dạng về chiều dài và diện tích lớn nhất ở vùng giao nhau giữa kinh tuyếnbiên và xích đạo

- Để tránh cho tọa độ Y âm ta dịch chuyển trục X về phía tây 500km

PHÉP CHIẾU GAUSS- KRUGER:

Đặt hình cầu trái đất tiếp xúc trong với hình trụ nằm ngang, tâm chiếu là tâm tráiđất

Lần lượt chiếu từng múi lên hình trụ, sau đó cắt hình trụ theo 2 đường sinh điqua cực bắc và nam Trải hình trụ lên mặt phẳng, kết quả nhận được:

+ Kinh tuyến giữa của mỗi múi 6° là các đoạn thẳng có độ dài bằng độ dàicủa kinh tuyến thật và vuông góc với xích đạo

+ Xích đạo sau khi chiếu là đoạn thẳng vuông góc với kinh tuyến giữa.+ Các vĩ tuyến khác là những đoạn đường cong khum giới hạn bởi 2 kinhtuyến biên của mỗi múi, quay bề lõm về phía 2 cực và đối xứng nhau quaxích đạo

Trong phạm vi múi chiếu Gauss thì:

+ Các góc không bị biến dạng nên gọi là phép chiếu đẳng góc Chính vìvậy mà hình chiếu của kinh tuyến và vĩ tuyến giao nhau một góc là 90°.+ Tất cả các điểm nằm trên kinh tuyến giữa không có biến dạng vềkhoảng cách

+ Diện tích của múi chiếu trên mặt phẳng Gauss lớn hơn trên mặt cầu.+ Độ biến dạng về chiều dài và diện tích tăng từ kinh tuyến giữa về haiphía của kinh tuyến biên và giảm từ xích đạo về 2 cực

PHÉP CHIẾU HÌNH TRỤ NGANG GIỮ GÓC UTM:

Sử dụng hình trụ ngang có có bán kính nhỏ hơn bán kính quả đất, nó cắt mặt cầutheo 2 đường cong đối xứng và cách kinh tuyến giữa khoảng ± 180 km Kinhtuyến giữa nằm ở phía ngoài mặt trụ , kinh tuyến biên nằm phía trong mặt trụ

Sau khi chiếu, kết quả nhận được:

+ Kinh tuyến giữa của mỗi múi 6° là đọan thẳng Các kinh tuyến khác lànhững đường congkhum quay bề lõm về phía kinh tuyến giữa và đối xứngvới nhau qua kinh tuyến giữa của mỗi múi

+ Xích đạo sau khi chiếu là đoạn thẳng vuông góc với kinh tuyến giữa.các vĩ tuyến khác là những đường cong quay bề lõm về phía 2 cực và đốixứng nhau qua xích đạo

Trong phạm vi múi chiếu UTM thì:

+ Hình chiếu của các kinh tuyến vuông góc với hình chiếu của các vĩtuyến.

+ Tỷ lệ biến đổi độ dài trên kinh tuyến giữa là một hằng số khác 1(k=0.9996)

+ Biến dạng về độ dài, diện tích tăng dần từ kinh tuyến giữa đến kinhtuyến biên của mỗi múi và giảm dần về phía 2 cực Giá trị này biến dạnglớn nhất tại 2 điểm giao nhau của xích đạo và 2 kinh tuyến biên

+ Tất cả các điểm nằm trên 2 kinh tuyến, cách kinh tuyến giữa mộtkhoảng là y= ±180 km, ko có biến dạng về độ dài (k=1) Các điểm trongvùng y= ±180 km có biến dạng về độ dài và diện tích mang dấu âm Cácđiểm ngoài vùng y=±180 km có biến dạng về độ dài và diện tích mangdấu dương

*Phép chiếu UTM được sử dụng trong hệ VN2000:

Từ năm 2000 trở lại đây, trên cả nước đã sử dụng hệ tọa độ mới VN-2000 vàphép chiếu UTM cho cả bản đồ địa hình và địa chính, trong đó bản đồ địa chính

sử dụng múi chiếu 3º có kinh tuyến trục quy định riêng cho từng tỉnh Sử dụngmúi chiếu 3º sẽ giảm được biến dạng chiều dài và biến dạng diện tích so vớitrường hợp sử dụng múi chiếu 6º

Câu 9 Phân biệt các công thức vi phân loại một và các công thức vi phân loại hai của tọa độ trắc địa? Tác dụng của các công thức vi phân đó?

1. Công thức vi phân loại 1

 Công thức vi phân loại 1 dùng cho bài toán trắc địa thuận

Cho B1, L1, A12 của điểm P1

Công thức (1) và (2) k có dL1 vì hình thể (E) trái đất có dạng tròn xoay

Các công thức (1), (2), (3) có thể viết dưới dạng rút gọn như sau

Người ta còn chứng minh các thành phần trong các công thức (4), (5), (6) nhưsau:

Trong đó:

Với:

R là bán kính trung bình Gauss tại điểm đầu đường trắc địa

 Công thức vi phân loại loại 1 cho bài toán nghịch

Cho B1, L1 của điểm P1

Sau khi áp dụng phương pháp tính từng bước người ta chứng minh đượccác công thức:

Với S là chiều dài đường trắc địa

M là bán kính cung kinh tuyến

N là bán kính cung vòng thẳng đứng thứ 1

2. Công thức vi phân loại 2

Biểu thị số cải chính cho tọa độ trắc địa và ảnh hưởng bởi sự thay đổi củabán trục lớn a và độ dẹt f

Bỏ qua các bước biến đổi ta có công thức vi phân loại 2:

da là vi phân bán trục lớn a

df là vi phân độ dài f

Câu 10 Hãy chứng minh các công thức vi phân của đường trắc địa? Cho biết tác dụng của các công thức vi phân đó?

Đường trắc địa là đường ngắn nhất trên mặt E

nối giữa 2 điểm trên mặt đó Về phương diện

hình học vi phần đường trắc địa được định nghĩa

là 1 đường cong mà pháp tuyến chính tại mọi

điểm của nó trùng với pháp tyến của mặt cong

tại điểm đó

- Phương trình vi phân

A: góc phương vị của cung vi phân

dS đường trắc địaP: cực

dB: vi phân độ vĩdA: góc hội tụ kinh tuyến tại điểm Q’

H: chân đường vuông góc của cung dựng tại điểm Q’ -> Q

QP và Q’P là các cung kinh tuyến có độ kinh khác nhau 1 giá trị vôcùng nhỉ là vi phân độ kinh dL

r là bán kính của vòng vĩ tuyến đi qua điểm Q

ds là vi phân chiều dài của đường trắc địaXét ∆QQ’H vô cùng nhỏ=> coi nó là mặt phẳng

QH=QQ’cosA = M.dB = ds.cosA (1)Q'H = QQ'.sinA = r.dL = N cosB.dL = ds.sinA (2)



Áp dụng công thức Nepe của ∆ cầu vuông ta có:

Cos(900 – B) = cotgdL Cotg (900 – A)



tgdA ≈ dAtgdL ≈ dL

*Mục tiêu của bài toán trắc địa thuận:

Cho tọa độ trắc địa điểm đầu (điểm P1) là: B1, L1

Chiều dài đường trắc địa là S

Phương vị thuận của đường trắc địa là A1,2

Phải tính tọa độ trắc địa của điểm cuối (điểm P2) B2, L2

*Các pp giải bài toán trắc địa thuận trên (E):

*Phương pháp giải bài toán trắc địa thuận sử dụng định lý Klero:

Theo định lý Klero, mọi điểm (i) trên đường trắc địa từ điểm 1 đến điểm 2 luônthỏa mãn phương trình:

Ni cosBi sin A1,2 = const = C (2.2.20)Phương trình (2.2.20) gọi là định lý Klero, hay phương trình Klero

Các phương trình vi phân của đường trắc địa là:

dS.sin Ai = Ni cosBi dL (2.2.22)

Có thể dựa vào các biểu thức trên để giải bài toán trắc địa thuận trên máytính theo phương pháp tính lặp nhích dần để xác định tọa độ điểm cuối đườngtrắc địa là B2,L2

Quy trình tính của phương pháp gồm các bước sau:

Bước 1: Chia đường trắc địa (S) thành các đoạn nhỏ (chia càng nhỏ càng chínhxác), số lượng đoạn chia là n, khi đó chiều dài đoạn nhỏ (vi phân) của đườngtrắc

địa là dS sẽ được tính:

Bước 2 Tính hằng số C của phương trình Klero:

C = N1 cosB1.sin A1,2 (2.2.24)trong đó N1 là bán kính vòng thẳng đứng thứ nhất tại điểm đầu (P1)

Trong đó Mi là bán kính cung kinh tuyến, được tính theo công thức:

trong đó W được tính theo (2.2.26)

Bước 4 Giá trị góc phương vị Ai và tọa độ Bi,Li của các điểm trên đường trắcđịa được tính liên tiếp (điểm tính sau, dựa trên điểm tính trước) theo công thức:

Tính lặp lại bước 3 cho đến hết n bước tính, ta sẽ nhận được tọa độ điểm cuối

(P2) là B2, L2 đồng thời nhận được phương vị thuận tại điểm cuối là A 2,( n+1 ) , từ

đó ta sẽ tính được phương vị ngược tại điểm cuối là A2,1 theo công thức:

A 2,1 = A 2,( n+1 ) −π nếu A 2,( n+1 ) >π (2.2.33)

A 2,1 = A 2,( n+1 ) + π nếu A 2,( n+1 ) < π (2.2.34)

Câu 12: Công thức tính bán kính cong:

*Bán kính cong của cung kinh tuyến

Trên vòng kinh tuyến qua điểm xét Q, lấy một điểm Q1 rất gần điểm xét Q saocho chiều dài cung ds=QQ1 khá nhỏ (hình 1.11), khi đó có thể coi cung QQ1như một cung tròn có bán kính là QC = M Như vậy M chính là bán kính củacung kinh tuyến tại điểm xét Q

Hình: Cung kinh tuyến và bán kính cong cung kinh tuyến

Xét cung ds = QQ1, có góc ở tâm là dB và bán kính là M, ta có biểu thức cungchắn góc như sau:

Lấy đạo hàm r theo B có

B và r biến thiên ngược nhau nên

- M lớn nhất khi độ vĩ trắc địa B = 90o

- M nhỏ nhất khi Q nằm ở xích đạo B=0

*Bán kính cong của cung vòng thẳng đứng thứ nhất (N)

B là góc kẹp hợp bởi giao tuyến giữa mặt phẳng vĩ tuyến và mặt phẳngthẳng đứng thứ nhất

*Bán kính cong của cung pháp tuyến bất kỳ

- Để phân biệt được 1 cung pháp tuyến bất kì ta dựa vào phương vị trắc địaA

- A là góc hợp bởi mặt phẳng kinh tuyến đi qua điểm xét và mặt phẳngpháp tuyến cần định hướng (A : 0=> 360o)

- RT là bán kính cong của cung pháp tuyến bất kì có phương vị A



*Bán kính cong trung bình

Bán kính cong trung bình tại 1 điểm trên mặt (E) là giới hạn của trungbình cộng tất cả các bán kính cong RA của các cung pháp tuyến đi qua điểm xét,khi số lượng vòng pháp tuyến tăng đến vô hạn

Đặt ta được: