Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh lên bảng giải bài tập.. Tính xác suất để chọn được 3 học sinh có cả nam và nữ.. Cho hình chóp S ABCD.. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.. Cạnh bên SA vuông góc
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC NINH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề
Ngày thi: 27/03/2016
_
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2
1
x y x
+
=
−
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm m để hàm số y x= −3 3(m+1) x m+ −2 đạt cực đại tại x= −1
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 2sin2x− 3 sin osxc x c+ os2x=1
b) Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 5 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để chọn được 3 học sinh có cả nam và nữ
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 2log 109( x− −3) log3(x− =2) 3
b) Tìm mô đun của số phức z biết (2 ) 4 2 9 2
1
i
i
+
−
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 ( )
1
1 ln
I=∫x x− + x dx
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;0− ) và đường thẳng
:
− Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ điểm
B thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm B đến (P) bằng 3
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 Gọi E là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a
Câu 8 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình thangABCD với hai đáy là AB và CD Biết diện tích hình thang bằng 14, đỉnh A( )1;1 và trung điểm cạnh BC là 1;0
2
Viết phương trình đường
thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d: 5x y− + =1 0
Câu 9 (1,0 điểm).
Giải hệ phương trình:
,
x y
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
2 2
-Hết -ĐÁP ÁN
Trang 2Câu Nội dung Điểm 1(1điểm) Trình bày đủ các bước chính xác (cho điểm tối đa) Nếu chưa đầy đủ hoặc sai
sót ( tùy giám khảo)
1
2(1điểm) TXĐ: R
2 ' 3x 3 1
HS đạt cực đại tại x= − ⇒1 y' 1( )− = ⇔ ⇔ =0 m 0
Thử lại: m = 0 (thỏa mãn)
KL
0,5 0,5
3(1điểm) a) 2sin2x− 3 sin osxc x c+ os2x=1
( )
sin 3 sin xcosx=0
sinx 3cosx = 0 2
−
( )1 ⇔ =x kπ(k∈ Ζ)
( )2 tan 3
3
b) ( ) 3
12 220
Gọi A là biến cố chọn được 3 HS có cả nam và nữ ( ) 1 2 2 1
7 5 7 5 175
Xác suất P A( ) n A( ) ( ) 3544
n
Ω
0,5
0,5
4(1điểm)
Câu5
(1điểm)
Câu 6
a) ĐK: x> 2
Pt⇔log 10x 33( − −) log3(x− =2) 3
10x 3
x
−
−
KL b) Tìm được 21 2
5 5
Tính được 445
5
z =
I=∫x x− + x dx=∫x x− d +∫x = +J K
Tính J: Đặt t= x−1 Tính được 16
15
J =
Tính K: Đặt u dv x=ln xdx
=
Tính được:
3 2ln 2
4
Suy ra 2ln 2 19
60
( )P ⊥ ⇒d Chọn nrP =urd =(2;1; 2− )
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3(1điểm) Phương trình (P): 2x+ −y 2z 3 0− =
( ;0;0)
B Ox∈ ⇒B b
( )
3 3
b b
d B P
b
=
= = ⇔ = − Vậy B(6;0;0 or) B(−3;0;0)
0,5
0,5
Câu 7
(1điểm)
Câu 8
(1điểm)
( D)
SA⊥ ABC ⇒AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)⇒SCA· =450
SAC
∆ vuông cân tại A⇒SA AC a= = 2
3
a
V = SA S =
*Tính d(DE,SC)
Dựng CI // DE, suy ra DE // ( SCI)
Dựng AK ⊥CI cắt DE tại H và cắt CI tại K
Trong (SAK) dựng HF ⊥SK, do CI ⊥(SAK) ⇒HF ⊥(SCI)
,
3
CI
19
SK
Gọi E=AH∩DC Dễ thấy ∆HAB= ∆HEC⇒S A ED =S ABCD =14
13
2
a
AH = A = H =a ; phương trình AE: 2x−3y+ =1 0
( ;5d 1 ,) 0
D
2
13
A E
d
=
=
Suy ra D(2;11)
+ H là trung điểm AE ⇒E(− −2; 1)
Phương trình CD: 3x y− + =5 0
AB đi qua A và song song với CD ⇒ ptAB x y: 3 − − =2 0
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4Câu 9
(1điểm)
Câu 10
(1điểm)
( )
Pt(1)⇔ x+ +3 (x+3) (y+ + −1) x 2y+ =1 y+1
Đặt 3( , 0 ,(1))
1
a b
2 1 0
a b
=
+ a+2b+ =1 0 vô nghiệm do a b, ≥0
+ Xét a = b ⇒ = +y x 2 thay vào (2) ta được:
( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )
1 2
x
x
−
+ +
= ⇒ =
⇔
Xét hàm số f t( ) (= +t 2) (t2+2) , t≥ 0 có f t'( ) > ∀ ∈0 t ¡
Suy ra f t( ) đồng biến mà f ( x+ =1) f x( − ⇔1) x+ = −1 x 1
2
1
3x 0
x
x
≥
Vậy hpt có nghiệm: ( )3;5
Ta có: 4 xy =2 x y.4 ≤ +x 4y; 183 xyz =33 x y.4 9z ≤ +x 4y+9z
Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 9z
Suy ra 1 1( )2
2 2
x y z
+ +
Đặt t= + +x y z t,( >0), xét hàm số ( ) 1 2 1
2 2
t
= + + (t > 0)
Lập bảng biến thiên tìm được min ( ) 7 1
2
0,5
0,5
0,5
0,5