đề thi và đáp án chi tiết thi thử môn toán 2015

Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thuộc A.. Nhận xét: Để tìm điểm M C để tiếp tuyến tại M cắt  C tại hai điểm phân biệt khác nữa ta lập phương trình tiếp tuyến , cho giao v

ĐỀ MEGABOOK SỐ 4 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 5

3

x

y   x  (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Giả sử M C có hoành độ a Tìm a để tiếp tuyến của  C tại M cắt  C tại 2 điểm phân biệt khác

M

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 2 s i n c o s 

t a n c o t 2 c o t 1





Câu 3 (1,0 điểm) Tìm tích phân

4

0

c o s 2

1 s in 2 c o s

4

x





Câu 4 (1,0 điểm)

a) Cho số phức z thỏa mãn 1 2

1

i z



b) Cho tập A0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thuộc A Trong các số nói trên lấy ra 1 số Tính xác suất để số đó chia hết cho 5

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho hai đường thẳng 1: 1 1

y

2

:

y

 Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và hợp với d2 một góc 0

3 0

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S A B C. có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A ai mặt phẳng S A B và

S A C c ng vuông góc với mặt phẳng đáy A B C, cho B C  a 2 , mặt bên S B C tạo với đáy A B C một góc 0

6 0 Tính khoảng cách t điểm A đến mặt phẳng S B C

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y, cho tam giác A B C có đỉnh A1; 5 Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác lần lượt là I2 ; 2 và 5; 3

2

  Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam

giác

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

1

2









x y, R

Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn 0  x y z, ,  1 Chứng minh

x x y y zz  x y z y z x zx y

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a

- Tập xác đinh: D R

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 3

3

x y

x

 

 



+ Cực trị: àm số đạt cực đại tại 0 , 5

2

C D

x  y  àm số đạt cực tiểu tại x  3 ,y C T   2

+ Giới hạn: lim ; lim

           

+ Bảng biến thiên

'

y  0  0  0 

 2

5

2

2



 

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục O x tại điểm  5 ; 0 ,  1; 0 , 1; 0 ,    5 ; 0

+ Đồ thị hàm số cắt trục O y tại điểm 0 ;5

2

+ Đồ thị hàm số nhận trục O y làm trục đối xứng

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm 2 ; 3 , 2 ; 3

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b Vì M C nên

4

2 5

a

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc   3

y  a  a Tiếp tuyến tại M có dạng  3   4 2 5

a

Tiếp tuyến d của  C tại M cắt  C tại 2 điểm phân biệt khác M khi phương trình sau có 3 nghiệm phân

      có 3 nghiệm phân biệt, tức

là phương trình   2 2

g x  x  ax a   có 2 nghiệm phân biệt khác a

 

2

1

a

 



Kết luận: 3

1

a

a





 



Nhận xét: Để tìm điểm M C để tiếp tuyến tại M cắt  C tại hai điểm phân biệt khác nữa ta lập phương trình tiếp tuyến , cho giao với hàm số biện luận nghiệm

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Phương trình tiếp tuyến của hàm số y f x tại điểm A x A;y Ay là y f' x A xx A y A

a

Suy ra tiếp tuyến tại M

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

- Do M  C nên phương trình hoành độ giao điểm sẽ có chắc chắn x a

- Để tiếp tuyến cắt hàm số tại 2 điểm phân biệt khác nữa 2 2

     có hai nghiệm thực phân biệt

 

' 0 0

a

g a







Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Cho hàm số 4 2

y  x  x  Viết phương trình tiếp của hàm số biết tiếp tuyến tiếp xúc với hàm số tại

2 điểm phân biệt Đáp số: y   2

y   x  m  x  m  x  Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt

1 1 ; 1 , 2 2 ; 2

M x y M x y thỏa x x1. 2  0 và tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc đường thẳng

x y  Đáp số: 3 ; 1 1

3

Câu 2 Điều kiện s in c o s 0

c o t 1

x







Phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 2 s in c o s 

s in c o s 2 c o s s in

c o s s in 2 s in









 

s in 0 l

2

x



 



c o s

3 2

2 4

x







Phương trình có nghiệm: 3 2 ;

4

Nhận xét: Giải phương trình lượng giác bằng cách thay các công thức tổng của một cosin , công thức góc

nhân đôi Lưu ý kiểm tra điều kiện để loại nghiệm (nếu cần)

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Viết lại ta n c o t 2 s in c o s 2 ; c o t 1 c o s s in



-Áp dụng công thức c o s c o sa b sin sina b c o sab, sin 2x 2 sinxc o sx

-Giải phương trình dạng :s in s in 2  

2



;c o sx c o s   x   k2 

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4

- Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Giải phương trinh 5 s i n 3 c o s 3 s i n c o s 2 3

1 2 s i n 2

x



3

b Giải phương trình c o s 2 3 c o t 2 s in 4 2

c o t 2 c o s 2



π 4

0

s in c o s c o s s in 2

s in x c o s 2 s in c o s s in c o s



π

4

s in c o s

s in c o s

d x







Nhận xét: Bài toán tính tích phân lượng giác vận dụng các công thức lượng giác cơ bản với phép đổi biến

số

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Xét biểu thức dưới dấu tích phân, sử dụng các công thức

2

c o s 2 c o s s in c o s s in

1 s in 2 s in c o s

1













-Sử dụng đổi biến số u sinx c o sx u'  c o sx sinxnên Icó dạng

2

u d u

C u u

Bài tập tương tự:

a Tính tích phân ln 5 

ln 2

3 1

x

e







 Đáp số: I  1 ln 1 6

b Tính tích phân

2

4 ln

e

e

d x I

2 4

Câu 4.a Gọi số phức z có dạng z x y i x y , R

1



2

1

2

x

 

Nhận xét: Tìm số phức w thông qua số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước ta tìm zrồi suy ra w

Nhắc lại kến thức và phương pháp:

-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau:

 





- Đặt z x y i x y , R Thay vào đẳng thức 1 2

1

i z



 Tìm được số phức z

    thay z w

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Tìm số phức z thỏa mãn 2

Đáp số: z 0 ,z   2 ,z 1  3i

b Tìm phần ảo của số phức z biết   2 

z  i  i (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010)

Đáp số: z 5  2i

Câu 4.b Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là a b c d e

Chọn a có 6 cách

Chọn 4 số còn lại có 4

6

A cách, suy ra có 4

6

6 A số

Trong các số trên, số chia hết cho 5 là:

 Trường hợp 1: e 0: chọn 4 số còn lại có 4

6

A cách

 Trường hợp 2: e 5: chọn a có 5 cách chọn 3 số còn lại có 3

5

A cách, suy ra có 4 3

A  A Vậy xác suất cần tìm

4 6

5

0 , 3 0 6 6

P

A



Nhận xét: Bài toán tính xác suất với số chia hết cho 5 Ta chú ý dấu hiệu số chia hết cho 5 và áp dụng công

thức tính xác suất

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là a b c d e Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận c ng của nó là 0 hoặc 5

- Xét chữ số cuối c ng e 0

- Xét chữ số cuối c ng e 5

-Áp dụng công thức tính xác suất ta có P A   A





 với  A là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A,

là tất cả các trường hợp xảy ra

Bài tập tương tự:

a Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho

15 Đáp số: 222 số

b Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Gọi Alà tập hợp các số gồm 2 chữ số khác nhau lập được t các số đó Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử của A, tính xác suất để hai số lấy được đều là số chẵn

Đáp số: 1

3

Câu 5 Giả sử mặt phẳng  P có dạng:  2 2 2 

Suy ra mặt phẳng  P có một vecto pháp tuyến là n P A B C; ; 

Trên đường thẳng d1 lấy 2 điểm M1; 0 ; 1 ,   N 1; 1; 0

0



Nên  P :A xB y2A B z  AB  0

0

1 1 1 2 1

s in 3 0 2

2 3A 2B 3 5A 4A B 2B 2 1A 3 6A B 1 0B 0

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6

Chọn B 1, suy ra 1 8 1 1 4

2 1

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 1 8 1 1 4 1 5 1 1 4 3 1 1 4 0

Nhận xét: Để viết được phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  d1 và tạo  d2 một góc , ta tìm một vector pháp tuyến của   thông qua tham số hóa kết hợp công thức tính góc đường thẳng , mặt phẳng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến

-Mặt phẳng   bất kì có dạng tổng quát: A x B y C z D  0 với 2 2 2

0

-Công thức tính góc giữa đường thẳng  d và mặt phẳng  P :

.

s in

.

u n

  với u d là vector chỉ phương

của  d , n P là vector pháp tuyến của  P

Áp dụng cho bài toán:

- Giả sử mặt phẳng  P cần tìm có phương trình :A x B y C z D  0 Suy ra n P A B; ; C là một vector pháp tuyến của  P Thay tọa độ M N, vào phương trình mặt phẳng tìm được mối quan hệ giữa A B C, ,

- Do đường thẳng    d2 , P hợp với nhau một góc bằng 2

2

3 0 s in 3 0

.

- Chọn B A C, ta viết được hai mặt phẳng cần tìm

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Trong hệ trục tọa độ O x y z, cho hai mặt phẳng  P : 2x z 3  0 ; Q :x 2y 3z 4  0 Viết phương trình mặt phẳng  R vuông góc với hai mặt phẳng    P , Q và hợp với các mặt phẳng tọa độ một tứ diện có diện tích bằng 4

1 5

Đáp số:  R : 2x 5y 4z 4  0

b Trong hệ trục tọa độ O x y z, viết phương trình mặt phẳng  P đi qua hai điểm A2 ; 1; 3 ; B 1; 2 ; 1   và song song với đường thẳng 1 3

Đáp số:  P : 1 0x 4yz 1 9  0

Câu 6 Gọi M là trung điểm của cạnh B C Ta có A B C vuông cân tại A nên







Ta có











Và









ta n 6 0 ta n 6 0 3

S

A

C

B

M

Và

.

3 1

3

S A B C

S B C

V

S





2

S B C

Nhận xét: Để tính khoảng cách t một điểm tới một mặt phẳng ta tìm hình chiếu điểm đó trên mặt phẳng

Tuy nhiên trong bài toán hình không gian tổng hợp ta có thể tính khoảng cách thông qua thể tích

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Do hai mặt phẳng S A C , S B C c ng vuông góc với A B C  S A C  S A BS A A B C

-Dựng góc: Gọi M là trung điểm B C  S B C A B C, S M A

- Tính khoảng cách:

Thể tích . 1 .

3

3 1

3

S A B C

S B C

V

S

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Cho hình chóp S A B C D. có đáy A B C Dlà hình thang 0

A B C  B A D  B A  B C a A D  a Cạnh bên S A a 2 và vuông góc với đáy Góc tạo bởi S C và mặt phẳng S A D bằng 0

3 0 Gọi G là trọng tâm tam giác S A B Tính khoảng cách t G đến mặt phẳng S C D Đáp số:  , 

2

a

b Cho hình chóp S A B C D. có đáy là hình thang , 0

A B C  B A D  A B  B C  a A D  a Cạnh bên

S A vuông góc với đáy, S A  a 2 Gọi H là hình chiếu của A trên S B Chứng minh rằng tam giác

S C D vuông và tính khoảng cách t H tới mặt phẳng S C D Đáp số:  , 

3

a

Câu 7 Phương trình đường tròn ngoại tiếp A B C có tâm 5 ; 3

2

2

R  A K  là:

2

2

3

Phân giác A I có phương trình 1 5 3 8 0

y x





Gọi tọa độ của D là nghiệm của hệ

2

2

3





Giải ra ta được hai nghiệm 1

5

x y

 







(tr ng điểm A) và

5

5 1

2

x

D y









 



Lại có

IC D  IC B B C D    IC A IA C C ID  IC D cân tại D D C D I mà D C  D B B C, là

nghiệm của hệ

2

2

2

1

1

4

3

x y

x

 











Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8

Vậy B C, có tọa độ là   1; 1 , 4 ; 1 

Nhận xét: Ta tìm tọa độ các đỉnh tam giác A B C bằng cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp  C

tam giác, lấy giao của họ những đường thẳng chứa các điểm A B C, , với  C

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực 3 cạnh, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao của 3 đường phân giác 3 góc trong

-Công thức tính độ dài hai điểm      2  2

Áp dụng cho bài toán:

- T điểm A K, ta lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C là  C

-Viết phương trình đường phân giác góc A là A I Suy ra D là nghiệm của hệ

 









-Sử dụng tính chất góc

IC D  IB C  B C D    IC A IA C C ID  IC D cân tại D  D C D I Lại có

D C D B nên B C, là nghiệm của hệ

 

,









Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Trong hệ trục tọa độ O x y, cho tam giác A B C vuông tại A Đường thẳng B C: 3xy 3  0 Biết hai điểm A B, nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2 Tính tọa độ các đỉnh tam giác A B C

2 3 3 ; 0 , 2 3 3 ; 6 2 3

, 1 ; 0

2 3 1 ; 0 , 2 3 1 ; 6 2 3

B







b Trong hệ trục tọa độ O x y, cho tam giác đều A B C Đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình

x   y  , đường thẳng B C đi qua điểm 3; 2

2

  Tìm tọa độ điểm A

Đáp số: A8 ; 0 , A 8 ; 4

Câu 8 ệ phương trình tương đương với

2







Cộng vế theo vế của hai phương trình trên hệ, ta được

2





 Vớiy x 1, thế vào phương trình thứ nhất, ta được   3 0 (vô lý)

 Với y  2x, thế vào phương trình thứ nhất, ta được 2

2

2









ệ phương trình có nghiệm: 2 2 ; 2 2 , 2 2 ; 2 2

2

( ; )

2

x y

Nhận xét: Ta tìm mối quan hệ giữa các ẩn thay vào một trong hai phương trình của hệ để giải nghiệm Coi

một trong hai x y, là ẩn , số còn lại làm tham số

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Phương pháp phân tích đa thức tìm mối quan hệ giữa x y,

- ệ đã cho được viết lại

2







- Cộng hai vế 2 phương trình của hệ coi y làm ẩn ta được : 1

2







- Lần lượt thay vào một trong hai phương trình của hệ ta giải được nghiệm

Bào toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình 3 2 3 3 

x  x  x  x  Đáp số: 3

2

x  

b Giải hệ phương trình 3 3 2  







Đáp số: x y;     1; 3 , 2 ; 0  

c Giải hệ phương trình







Đáp số:  ;  2 ; 1 , 1; 4

2

Câu 9 Do các số x y z, , 0 ; 1 nên 2 2 2    

xx  y y  z z   x y z yzx z x y  (*)

Khi đó xảy ra các trường hợp:

 Hai trong ba số x y z y; zx z; x y là số dương, số còn lại âm khi đó bất đẳng thức (*) mang dấu

âm, nên bất đẳng thức luôn đúng

 Một trong ba số là số dương, hai số còn lại âm; giả sử x y z 0 ;y z x 0 Khi đó

xy x y z  x y  z   z (vô lý)

 Ba số x y z y;  zx z;  x y là số âm, khi đó bất đẳng thức (*) âm, không thỏa mãn nên loại

Vậy ba số x y z y; zx z; x y đều là số dương

Ta chứng minh x y1 z x y z y z x (1)

(1)  x y 1  2zz  x y x  y z x y z  x y z 0 đúng, đẳng thức xảy ra khi x y Tương tự ta cũng có, y z1 x yz x zx y (2);

và x z1 y xy z zx y (3)

Nhân t ng vế của (1), (2), (3) ta được  2 2 2      

x x yy zz  xy z yz x zx y , đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi x y z (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa trên cơ sở xét các trường hợp xảy ra với các biến số Dự

đoán điểm rơi xảy ra với các biến đối xứng x y z

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Thứ tự thực hiện chứng minh bất đẳng thức

-Ta xét các trường hợp nhỏ theo các biến: xy z y;  zx z; x y

+Nếu vế phải có một sô âm thì bất đẳng thức được chứng minh

+Nếu hai trong 3 số dương  z 1 ( Vô lí)

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10

-Chứng minh x y1 z x y z y z x bằng phép biến đổi tương đương oàn toàn tương tự nhân các

vế 3 bất đẳng thức x y1 z x y z y z x; y z 1 x y z x z x y; x z  x y z z x y

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Cho các số thực x y z, , 0 ; 1 : x yy z zx  1 Chứng minh rằng :

3 3 2

y

b Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :