Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng P.. Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Các mặt phẳng SAC và SBD
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
ĐỀ THI THỬ Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3
1
x y x
+
= + có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
2 2016
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: (3+i z) − =2i 3.
b) Giải phương trình 4x+ 1−9.2x+ =2 0
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
3
1
1 ln
x
+
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(-1;2;0) và mặt phẳng (P): x + y – z + 3 = 0
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 2sin 2x- 2015cos3x= - 1 cos2x
b) Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C Tính xác suất chọn ra
5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh
Câu 6 (1,0 điểm) Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a.
Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và
0 6
:
2 x+y− =
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình log2 2 2 3log (82 2 2)
Câu 9 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z xyz + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
12 22 52
P
= + +
Trang 2
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1
(2,0 điểm) a.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= x x+31
+
Tập xác định: D R= \{ }−1
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: ( )2
2 '
1
y x
−
= + ; ' 0,y < ∀ ∈x D.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và (- 1;+¥ )
0.25
Giới hạn và tiệm cận:
limx y xlim y 1
®- ¥ = ®+¥ = Þ tiệm cận ngang: y = 1 lim1 ; lim1
x - y x +y
®- =- ¥ ®- = +¥ Þ tiệm cận đúng: x =- 1
0.25
Bảng biến thiên:
x - ¥ 1- +¥
'
y - -
y 1 +¥
- ¥ 1
0.25
b.(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y= − +2x 2016
Ta có: ( )2
2 '
1
y x
−
= +
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= − +2x 2016 nên: k= − ⇔2 f x′( )0 = −2
0.25
2 0
0
0
2
2 ( 1) 0 2
x x x
−
+
=
0.25
+ Với x0 =0: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= − +2x 3 0.25
+ Với x0 = −2: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= − −2x 5 0.25
2 a (0,5 điểm) Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: (3+i z) − =2i 3
C
D
B
S
O
H
A
K
Trang 3(1,0 điểm)
( ) ( )
2 2
3 2 3
3 2
i z
i
+
0.25
11 3
10 10i
Vậy 11 3
10 10
0.25
b (0,5 điểm) Giải phương trình 4x+ 1−9.2x+ =2 0 (1)
( )1 4.22 9.2 2 0
2 2 1 2 4
x x
x
x
é = ê ê Û
ê = ê
0.25
1
2
x x
é = ê
Û ê =-ë
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1; x = -2.
0.25
3
(1,0 điểm) Tính tích phân
3
1
1 ln
x
+
Đặt t= 31 ln+ x ⇔ = +t3 1 lnx
3t dt2 1dx
x
0.25
Đổi cận: x= ⇒ =1 t 1
x e= ⇒ =t 32
0.25
3 2 3 1 3
32 ( 3 )
4 1
3 2 2 1 3
0.25
4
(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(-1;2;0) và mặt phẳng (P): x + y – z + 3 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Vì d^( )P nên d có véctơ chỉ phương uuur uurd =n P=(1;1; 1- )
0.25
d qua I(-1;2;0, phương trình tham số của
1
ìï =- + ïïï = + íï
ï =-ïïî
0.25
Gọi M là tiếp điểm của ( )P và ( )S Suy ra M d= Ç( )P Tọa độ M là nghiệm của hệ
phương trình:
1 2
3 0
x y z
ìï =- + ïï
ï = + ïïí
ï =-ïï
ï + - + = ïïî
0.25
Giải hệ ta được 4, 7, 2, 4
t=- x=- y= z= Vậy 7 2 4; ;
3 3 3
Mæççç- ö÷÷÷÷
0.25
5
(1,0 điểm) a (0,5 điểm) Giải phương trình
2 2sin x- 2015cos3x= -1 cos2x (1) (1)
Ta có: ( )1 Û -1 cos2x- 2015cos3x= -1 c so 2x
Û cos x3 =0
0.25
3
2
Trang 4
6 3
Û = + (k∈¢)
b (0,5 điểm) Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh
khối C Tính xác suất chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh
Số phần tử của không gian mẫu là: 5
12 ( ) 792
nW =C = 0.25 Gọi A là biến cố: “Chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh”
2 2 1 3 1 1
4 4 4 4 4 4 ( ) 3 3 624
n A = C C C + C C C = Vậy xác suất cần tính là ( )A ( ) 624 26
( ) 792 33
n A P
n
0.25
6
(1,0 điểm)
Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB
Gọi H = AC∩BD⇒SH ⊥(ABCD) và 1
3
Kẻ HE⊥ AB⇒ AB^(SHE)Þ éêë·(SAB ABCD) (; )ùúû=(·SE HE; )=SEH· =600;
1( ) 3 2
ABCD
0.25
.tan 60
3
a
3
S ABCD ABCD
a
0.25
Gọi O, I lần lượt là trung điểm AD và AC OD BC OD BC aP , = =
BCDO
⇒ là hình bình hành ⇒CD BOP Suy ra:
d CD SB =d CD SBO =d C SBO
Kẻ CK⊥SI Lại cóBO⊥AC BO, ⊥SH ⇒BO⊥(SAC) ⇒BO CK⊥
⇒Ck⊥(SBO)⇒d C SBO( ;( )) =CK
AH = AC= ⇒IH =AH AI− =
2 2 5 2
6
a
SI = SH +IH =
Trong tam giác SIC có: . 2 3
5
CK
SI
Vậy ( ; ) 2 3
5
a
d CD SB =
0.25
7 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
Trang 5(1,0 điểm) có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 :x−y−3=0 và
0 6 :
2 x+y− =
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
Ta có: d1 ∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
9
2
x
x y
x y
y
=
− − =
Vậy
2
3
; 2
9 I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD ⇒M=d1∩Ox
Suy ra M( 3; 0)
0.25
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
=
+
−
=
=
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ⇒d1 ⊥AD
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có
PT: 1(x−3)+1(y−0)=0⇔x+y−3=0 Lại có: MA=MD= 2
0.25
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
= +
−
=
− +
2 y
3 x
0 3 y x
2 2
±
=
−
−
=
⇔
=
− +
−
+
−
=
⇔
= +
−
+
−
=
⇔
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3 x
3 x y
2 2
2 2
=
=
⇔
1 y
2 x hoặc
−
=
=
1 y
4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0.25
Do
2
3
; 2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
2 1 3 y y y
7 2 9 x x x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0.25
8
Điều kiện: x y+ ≥0, x y− ≥0
0.25
Đặt: u x y
v x y
= +
= −
0.25
2
3 (2) 2
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
0.25
Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0
4
uv
u v
=
+ =
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thõa)
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0.25
9 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z xyz + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 6(1,0 điểm)
12 22 52
P
= + +
Đặt a 1,b 1,a 1
= = = khi đó ta có ab+bc+ca =1 và P a= 2+2b2+5c2 0.25
(a b c− − ) + −(b 2 )c ≥0 với mọi a, b, c
⇔ 2 2 2
a + b + c − ab bc ca+ + ≥
0.25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3 / 11 0
1 1/ 11
a
a b c
=
− − =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2
0.25