TÍNH ổn ĐỊNH của hệ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG học NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN TT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLÊ ANH TUẤN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ ANH TUẤN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 62.46.01.06

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

- Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

Tóm tắt

Lý thuyết giải tích trên thang thời gian được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởi

S Hilger (xem [29]) nhằm thống nhất các kết quả cho giải tích đối với thời gian liêntục cũng như thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mô hình toán học cho các hệ thốngtiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng các mô hình thực tế Từ khi rađời, lý thuyết này đã nhận được sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu và đã có hàngngàn công trình nghiên cứu liên quan đến giải tích trên thang thời gian Một trongnhững bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chấtđịnh tính và định lượng của phương trình động lực như là các bài toán về tồn tại duynhất nghiệm, các phương pháp giải số nghiệm và các bài toán ổn định

Tuy nhiên, cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời giantập trung chủ yếu ở giải tích tất định, tức là các phương trình động lực không có sựtham gia của các yếu tố ngẫu nhiên Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các môhình phát triển trong các điều kiện môi trường không bị nhiễu nhiễu Hiển nhiên, các

mô hình như thế là không thực tế và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác độngvào môi trường Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích của các mô hình tất địnhtrên thang thời gian sang mô hình ngẫu nhiên trên thang thời gian là một nhu cầucấp thiết

Theo chúng tôi được biết, gần như chưa có kết quả nào đáng kể về nghiên cứugiải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, đặc biệt các kết quả liên quan đến lý thuyết

ổn định của các phương trình động lực và phương trình động lực có trễ Các kết quảban đầu về thang thời gian và giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian được đề cậptrong [15, 16, 46, 47, 49, 68, ]

Với các lý do nên trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Tính ổnđịnh của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian”

Trong luận án chúng tôi sẽ đề cập đến những vấn đề sau:

• Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực có trễ trênthang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa ra khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫunhiên có trễ, nghiệm của phương trình, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồntại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thangthời gian Chúng tôi cũng đưa ra những ước lượng moment của ước lượng nghiệmcủa phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

trên thang thời gian.

• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên vàphương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháphàm Lyapunov

Nếu như giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục là chủ đề khó vì đòi hỏi nhiềukiến thức cơ sở liên quan đến lý thuyết quá trình Markov, lý thuyết martingle thìnghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian khó hơn nhiều vì cấu trúc củamôt thang thời gian rất đa dạng Điều này khiến cho các tính toán khá phức tạp vàchúng cần một số cải tiến Bên cạnh đó, một số ước lượng của tính toán ngẫu nhiêncho thời gian liên tục không tự động đúng trên thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải cócác kỹ thuật phù hợp để có thể nhận được kết quả tương tự

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lý thuyếtthang thời gian Định nghĩa ∇−đạo hàm và ∇−tích phân của một hàm xác định trênthang thời gian Những kết quả cho ∆-đạo hàm và ∆-tích phân sẽ không được giớithiệu trong luận án này, nhưng ta có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách, ví dụ như[6, ]

Ở phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về giải tích ngẫunhiên trên thang thời gian, các khái niệm này dựa trên các khái niệm cơ bản về giảitích ngẫu nhiên thông thường mà ta đã biết Cụ thể chúng tôi giới thiệu về các kháiniệm của quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian: quá trình khả đoán, martingale,semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên trênthang thời gian; công thức Itô và ứng dụng của công thức Itô để phát biểu bài toánmartingale; đặc biệt là đưa ra công thức của hàm Lyapunov:

Chương 2

∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên

Gần đây, một công thức để thống nhất các phương trình chuyển động trong cáctrường hợp liên tục và rời rạc trên thang thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm

Đó chính là phương trình động lực trên thang thời gian Đối với trường hợp tất định,trong [12], tác giả sử dụng hàm Lyapunov ở dạng bậc hai để nghiên cứu sự ổn địnhcủa phương trình động lực tuyến tính; J Hoffacker và C.C Tisdell kiểm tra tính ổnđịnh và tính không ổn định của điểm cân bằng của phương trình động lực phi tuyếntính [30]

Trong khi sự ổn định của các phương trình tất định trên thang thời gian đã đượcnghiên cứu từ lâu, thì theo chúng tôi biết, không có nhiều các bài giảng cho trường hợpngẫu nhiên và cũng chưa có công trình nào giải quyết về vấn đề ổn định của phươngtrình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Mục đích của chương này là chúng tôi dùng hàm Lyapunov để xét sự tồn tạinghiệm; tính hữu hạn của ước lượng moment của ước lượng nghiệm và chúng tôi cũngdùng hàm Lyapunonv để xét điều kiện cần và đủ cho tính p-ổn định mũ của phươngtrình ∇-động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T







d∇X(t) = f (t, X(t−))d∇t + g(t, X(t−))d∇M (t)X(a) = xa ∈ Rd

Sau đó, chúng tôi xét sự ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1) Công việc này có thể được xem như là một

∇-sự thống nhất và khái quát hoá các công việc liên quan đến phương trình sai phân vàphương trình vi phân

2.1 Sự tồn tại nghiệm và tính hữu hạn của moment của phương trình

động lực ngẫu nhiên

2.1.1 Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.1 ([16]) Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)}t∈[a,T ] nhận giá trị trong

Rd− được gọi là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu

Phương trình (2.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu X(t) và X(t)

là hai quá trình thỏa mãn (2.4) thì

P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ [a, T ]} = 1

Ta có Ratg(τ, X(τ−))∇Mτ là Ft−martingale nên nó có bản sao cadlag Vì vậy, nếuX(t) thỏa mãn (2.4) thì X(t) là cadlag Hơn nữa, nếu Mt là rd− liên tục, thì X(t)cũng là rd− liên tục

2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.1.2 ([16]) Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và G sao cho

(i) (Điều kiện Lipschitz) với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [a, T ]

kf (t, x) − f (t, y)k2∨ kg(t, x) − g(t, y)k2 6 Kkx − yk2; (2.5)(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x) ∈ [a, T ] × Rd

Khi đó, phương trình (2.1)có nghiệm duy nhất X(t) và nghiệm này là semimartingalebình phương khả tích.

2.2 Tính Markov của nghiệm

Giả sử martingale Mt là một quá trình Markov, nhận giá trị trong R, với hàmxác suất chuyển P (s, x, t, A) Với tất cả các giả thiết trong mục 2.1 được giữ nguyên

Bổ đề 2.2.1 ([16]) Giả sử Mt là một quá trình Ft−Markov, V (x, ω) là một hàm vôhướng đối với x, bị chặn, đo được, độc lập có điều kiện với Fs khi Ms đã biết Với ζ làmột biến ngẫu nhiên Fs-đo được Khi đó

2.3 Điều kiện Lipschitz địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

của phương trình động lực ngẫu nhiên

Định lý 2.3.1 ([17]) Giả sử rằng với bất kỳ k > 0 và T > a, có một hằng số LT,k > 0sao cho

kf (t, x) − f (t, y)k2∨ kg(t, x) − g(t, y)k2 6 LT,kkx − yk2, (2.8)với ∀ x, y ∈ Rd thỏa mãn kxk ∨ kyk 6 k và t ∈ [a, T ] Hơn nữa, nếu tồn tại hằng sốdương c = c(T ); b = b(T ) và một hàm không âm V ∈ C1,2([a, T ] × Rd; R+) thỏa mãn

EkXa,x a(t)kp 6 1

c1(V (a, xa) +

b

c)ec(t, a), t ∈ [a, T ].

Hệ quả 2.3.2 Giả sử rằng các điều kiện (2.2); (2.3) và (2.8) xảy ra và điều kiện tăngtuyến tính

kf (t, x)k2∨ kg(t, x)k2 6 G(1 + kxk2) ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd, (2.11)được thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử rằng R

R|u| bΥ(t, du) 6 m1 h.c.c., với m1 là hằng số.Thì, phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xa,xa(t) xác định trên Ta và thỏa mãn

EkXa,x a(t)k2 6 (1 + kxak2)ec(t, a),trong đó c là hằng số

2.4 Tính hữu hạn của moment

Định lý 2.4.1 Giả sử rằng điều kiện tăng tuyến tính (2.11) và các điều kiện (2.2),(2.3) được thỏa mãn Hơn nữa, có hai hằng số m1, mp sao cho

EkXa,x a(t)kp 6 (kxakp+ 1)eH(t, a), a 6 t 6 T (2.13)với H là hằng số

2.5 p - ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên

Xuyên suốt chương này chúng tôi giả sử phương trình (2.1) có một nghiệm duynhất xác định trên Ta Cho quá trình Kt bị chặn trên Ta, tức là, có hằng số N thỏamãn (2.3) không phụ thuộc vào T > a Giả sử với bất kỳ s > a; xs ∈ Rd, nghiệm

Xs,xs(t) của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Xs,xs,(s) = xs xác định trên Ts

là tồn tại duy nhất Hơn nữa,

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm ban đầu Xs,0(t) ≡ 0

Định nghĩa 2.5.1 Nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được gọi là p-ổn định mũnếu có một hằng số dương α sao cho với mọi s > a, ∃ Γ = Γ(s) > 1, thì đẳng thức

EkXs,x s(t)kp 6 Γkxskpe α(t, s) trên t > s, (2.15)đúng với mọi xs ∈ Rd

Nếu có thể lựa chọn Γ không phụ thuộc vào s, thì nghiệm ban đầu của phươngtrình (2.1) gọi là p-ổn định mũ đều.

2.5.1 Điều kiện đủ

Định lý 2.5.2 Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C1,2(Ta × Rd

; R+), và các hằng sốdương α1, α2, α3 sao cho

và

V∇t

(t, x) + AV (t, x) 6 −α3V (t−, x), ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd, (2.17)trong đó toán tử vi phân A được định nghĩa bởi (1.1) Khi đó, nghiệm ban đầu x ≡ 0của phương trình (2.1) p-ổn định mũ đều

2.5.2 Điều kiện cần

Bây giờ chúng tôi xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm ban đầucủa phương trình (2.1) là p-ổn định mũ đều thì tồn tại 1 hàm Lyapunov thỏa mãn(2.17)

Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tính khả vi của các nghiệm ứng với các điều kiệnban đầu và tính liên tục của các hệ số

Bổ đề 2.5.3 (Bất đẳng thức Burkholder trên thang thời gian) Nếu {Mt}t∈Ta là Ftmartingale với E|Mt|p

-< ∞ ∀ p > 2 và Ma = 0 khi đó tồn tại hằng số dương Bp saocho

E sup

a6s6t

|Ms|p 6 Bp EhM i

p 2

t + E X

a6s6t

|∇∗Ms|p

!,trong đó ∇∗Ms = Ms− Ms−

Định lý 2.5.4 Cho p > 2, M ∈ M2 sao cho các điều kiện (2.2), (2.3) và (2.12) đượcthỏa mãn và cho g ∈ L2((a, T ]; M ) với

Z t

a

E|g(τ )|p∇τ < ∞ ∀ t ∈ Ta.Thì,

E sup

a6t6T

Z t

a

g(τ )∇Mτ

Bổ đề 2.5.5 ([17]) Lấy T, s ∈ Ta; T > s và p > 2 cố định Giả sử rằng điều kiện(2.12) được thỏa mãn và quá trình ζ(t) là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên

Bổ đề 2.5.7 Cho p > 4 và 2 6 β 6 p Khi đó, ánh xạ F (φ) : φ → E|φ|β từ Lp(Ω, F , P)tới R khả vi hai lần với mọi φ0 6= 0 và

Định lý 2.5.9 Giả sử M có gia số độc lập và các điều kiện của bổ đề 2.5.6 đúng và

2 6 β 6 p Giả sử hơn nữa rằng AV (t, x) là ld-liên tục theo (t, x) với mọi hàm V ∈

C1,2(Ta× Rd

; R) (2.1) bắt đầu ở x tại thời điểm s Khi đó, hàm u(s, x) = EkXs,x(t)kβ,

a < s < t là ∇-khả vi theo s, khả vi liên tục hai lần theo x và thỏa mãn phương trình

Định lý 2.5.10 Giả sử các điều kiện của định lý 2.5.9 được thỏa mãn Giả sử hơnnữa rằng, với T > 0 cố định, tồn tại một hàm γT : T → T với γ(T, s) > s + T, ∀ s ∈ Tsao cho γ(T, s) và ∇-đạo hàm γ∇s(T, s) bị chặn Nếu nghiệm ban đầu của phương trình(2.1) là β- ổn định mũ đều, thì tồn tại một hàm V (s, x) ∈ C1,2(Ta× Rd

; R+) thỏa mãncác đẳng thức (2.16), (2.17)

Ví dụ 2.5.11 Xét phương trình động lực ngẫu nhiên tuyến tính

Ngược lại, giả sử rằng (2.25) đúng Bởi các giả sử này, có các số α > 0, K∗ > 0 sao cho

0 < eq(t, s) 6 K∗e−α(t, s) Từ (2.24) ta nhìn thấy rằng nghiệm ban đầu của phươngtrình là ổn định mũ cấp hai Để minh họa cho định lý 2.5.10 về hàm Lyapunov ta đặt

kXa,x a(t)k < r} > 1 − ε với bất kỳ xa ∈ Rd thỏa mãn kxak < δ.

(ii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, với mọi ε ∈ (0, 1),tồn tại δ0 = δ0(ε, a) > 0 sao cho

P { lim

t→∞Xa,xa(t) = 0} > 1 − ε với bất kỳ kxak < δ0.(iii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, hơn thế nữa,với mọi xa ∈ Rd

LV (t, x) 6 0 với mọi (t, x) ∈ Ta× Sh,thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định ngẫu nhiên

Định lý 2.6.3 Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C1,2(Ta × Sh; R+) và có các hàm

ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ K, sao cho

ϕ1(kxk) 6 V (t, x) 6 ϕ2(kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh,và

LV (t, x) 6 −ϕ3(kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta× Sh,thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên

Hơn nữa, với h > 0 bất kỳ thì

ϕ1(kxk) 6 V (t, x) 6 ϕ2(kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta× Sh,

LV (t, x) 6 −ϕ3(kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta× Sh, (2.27)trong đó ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ K Khi đó nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn địnhtiệm cận ngẫu nhiên lớn

Bây giờ chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt Cho P là một ma trận xác địnhdương và V (t, x) = x>P x, trong đó x> là véc tơ chuyển vị của véc tơ x Ta có

LV (t, x) = x>P f (t, x)+f (t, x)>P x+f (t, x)>P f (t, x)ν(t)+g(t, x)>P g(t, x)Kt (2.28)

Vì vậy, nếu ta có thể tìm được một ma trận xác định dương P sao cho LV xác địnhbởi (2.28) và thỏa mãn (2.27) thì nghiệm của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cậnngẫu nhiên lớn

Ví dụ 2.6.5 Cho T là một thang thời gian xác định bởi

1

3 + b

, k

1

3 + b

+ b

,trong đó b là một số thực dương Ta có

2.7 Ổn định hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên

Trong chương này, giả sử các điều kiện của hệ số cho sự tồn tại và duy nhấtnghiệm và điều kiện về nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được thỏa mãn đầyđủ

Định lý 2.7.2 Cho α1, c1, p là các số dương α là một số dương thỏa mãn 1+αν(t)α 6 α1

và cho ηt là một hàm ld-liên tục không âm xác định trên Ta sao cho

2x>f (t, x) + kf (t, x)k2ν(t) + kg(t, x)k2Kt 6 −αkxk2+ ηt

Ví dụ 2.7.3 Cho T là một thang thời gian và 0 6 a ∈ T Đặt 1e = (1, 1, , 1)> Xétphương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T

Chương 3

Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

Thực tế hiện nay, có rất ít công trình nghiên cứu về phương trình động lực có trễtrên thang thời gian Lý do chính là phép trừ trên thang thời gian không được bảotoàn, vì vậy rất khó khăn trong việc đưa ra khái niêm "hàm trễ trên thang thời gian".Trong [46, 47, 49, ], các tác giả đã xem xét các tính chất định tính của nghiệm củaphương trình động lực tất định có trễ trên thang thời gian, nhưng các giả thiết áp đặtcho các thang thời gian quá ngặt

Mục đích của chương này là xem xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cũngnhư tính p-ổn định mũ cho ∇ -phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ bằng phươngpháp trực tiếp Lyapunov (phương pháp hàm Lyapunov) Sau đó, chúng tôi sử dụnghàm Lyapunov để đưa ra điều kiện đủ cho p-ổn định mũ của phương trình động lựcngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian Vì quy tắc đổi biến trong tích phân không thể

áp dụng được trong tính toán trên thang thời gian nên các phương pháp đã biết đượcdùng để xét tính ổn định của phương trình sai phân/vi phân có trễ không còn đúngtrên thang thời gian Vì vậy, chúng ta không thể đồng nhất đơn giản để trình bày cáckết quả đã biết và để có được chúng, chúng ta phải cải tiến kỹ thuật

3.1 ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

3.1.1 ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

Cho T là một thang thời gian Ta nói rằng rd-ánh xạ r(·) : kT → T là một hàmtrễ nếu r(t) 6 t− với mọi t ∈ T và τ∗ = sup{t − r(t) : t ∈ T} < ∞ Với bất kỳ s ∈ T,

ta có bs := min{r(t) : t > s} > −∞ Kí hiệu Γs = {r(t) : t > s} ∩ [bs, s] và C(Γs; Rd)

là họ tất cả các hàm liên tục đi từ Γs vào Rd với chuẩn kϕks = sups∈Γskϕ(s)k Cốđịnh t0 ∈ T và giả sử (Ω, F, {Ft}t∈Tt0, P) là một không gian xác suất với lọc {Ft}t∈Tt0

áp dụng tính tốn thang thời gian nên phương pháp biết đượcdùng để xét tính ổn. .. 3

Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ

Thực tế nay, có cơng trình nghiên cứu phương trình động lực có tr? ?trên thang thời gian Lý phép trừ thang thời gian khơng bảotồn,