ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT LẦN 1 MÔN TOÁN 11 KHỐI B,D NĂM 2013-2014 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...
Trang 1Tr-ờng THPT Lạng Giang số 1
đề chính thức
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI
LẦN 1 NĂM 2013
Mụn: Toỏn 11 - Khối B, D Thời gian làm bài: 150 phỳt
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I (2 điểm) 1 Cho hàm số y = x2+x+1 cú đồ thị là (P) Tỡm m để đường thẳng (d) y=mx+1 cắt (P) tại 2 điểm A, B phõn biệt đối xứng nhau qua đường thẳng () y = -2x +3
8
2 Tỡm m để phương trỡnh: 4 2
x m x m cú 4 nghiệm phõn biệt lập thành cấp số cộng
Cõu II (2 điểm) Giải phương trỡnh,hệ phương trỡnh
1)
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
2)
2 2 8x
16
y
x y
Cõu III (1 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi n N* thỡ n3+11n chia hết cho 6
Cõu IV (1 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = a, BD=b và AC=c Trờn cạnh AB lấy một điểm M đặt
AM=x với 0<x<a.Một mặt phẳng (P) qua M và song song với AC và BD lần lượt cắt BC, CD và AD tại N,
P, Q Thiết diện MNPQ là hỡnh gỡ? Xỏc định vị trớ M trờn AB để MP vuụng gúc với NQ
Cõu V (1 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực khụng õm thoả món : a b c 3
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : Pa bb cc a abc
B PHẦN DÀNH RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được làm phần 1 hoặc phần 2
1 Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 cú tõm I và đường thẳng : mx + 4y = 0 Tỡm m biết đường thẳng cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12
2 .Một hộp đựng 10 viờn bi trong đú cú 4 viờn bi đỏ ,3 viờn bi xanh,2 viờn bi vàng,1 viờn bi trắng Lấy
ngẫu nhiờn 2 viờn bi.Tớnh xỏc suất lấy được 2 viờn bi cựng màu
Cõu VII.a (1 điểm)Tỡm số tự nhiờn n thỏa món 2 2 2 3 3 3
C C C C C C
2 Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tớch bằng 5,5 và trọng tõm G
thuộc đường thẳng d:3xy40 Tỡm tọa độ đỉnh C
2 Một bỡnh đựng 16 viờn bi trong đú cú 7 viờn bi trắng ,6 viờn bi đen,3 viờn bi đỏ Lấy ngẫu nhiờn ba viờn
bi Tớnh xỏc suất lấy được đỳng 1 viờn bi trắng
Cõu VII.b (1 điểm) Cho đa thức: 2013
16x 15
P x , khai triển đa thức đú dưới dạng
0 1 2 2013
P x a a x a x a x Tớnh tổng: Sa0 a1 a2 a2013
- HẾT -
Họ và tờn thớ sinh:………Số bỏo danh:………
Chỳ ý: Học sinh khụng được sử dụng bất kỳ tài liệu gỡ!
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
Trang 2
H-íng DÉn chÊm thi Kh¶o s¸t HS kh¸ giái lÇn 1 n¨m 2013
m«n: To¸n líp 11
PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh
1®
1
PT hoành độ diểm chung: x2+x+1= mx+1 2
1
x
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi m1
(d) cắt (P) tại 2 điểm A(0;1) và B(m-1;m2
-m+1) Gọi I là trung điểm đoạn AB, ta có
2
;
có véc tơ chỉ phương u 1; 2
A, B đối xứng nhau qua 1
2 0
I
m
AB u
KL
0.25
0.25 0.25
0.25
1®
2 4 2
x m x m (1)
Đặt t = x2
, t0; f(t)=t2-2(m+1)t+2m+1=0(2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương
trình (2) có 2 nghiệmt2>t1>0 sao cho :
t t t t t t t t
Khi đó ycbt 1 2
1 2
2 1
' 0 0 0 9
t t
t t
4
9
m m
KL: Vậy
0.5
0.25
0.25
1®
1 GPT:
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
Điều kiện:sin 2x 0 x k (k )
2
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2 1
1 sin 2
5sin 2 2 8sin 2
x
x
0.25
Trang 31®
2 1 8(1 sin 2x) 20 cos 2x 5 2
9 cos 2 ( )
2 1 cos 2
2
x
( ) 6
KL:………
0.25
2 2 8x
16 1 2
y
x y
ĐK: x +y>0
(1)
3
2 2
4
x y
TH1: x+y=3 thế vào pt(2) đươc nghiệm (-3;7) và (2;2) TH2: x2+y2
+4(x+y)=0 Vô nghiệm theo ĐK KL: Hệ PT ó 2 nghiệm (-3;7) và (2;2)
0.25
0.25 0.25
0.25
1®
Với n=1 ta có 12 chia hết cho 6 (đúng) Giả sử với n=k, k N* thì k3+11k chia hết cho 6
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, k N*
KL:…
0.25 0.25 0.5
IV
Nêu được cách dựng N, P, Q với MN//AC, MQ//BD Chứng minh được thiết diện là hình bình hành
Khi MP vuông góc NQ thì hình bình hành ABCD Trở thành hình thoi Do đó MP vuông góc với NQ khi và chỉ khi MN=MQ(*)
Theo định lí ta lét ta có :
D x D
MQ
a x c
MN
Do (*) bx a x c ac
x
Vậy M AB AM, ac
b c
thì thiết diện là hình thoi
0.25
0.25
0.25 0.25
Đặt a x, b y, c z ,thì điều kiện trở thành:
A
Q
D
P
M
B
N
C
Trang 41®
2 2 2
, , 0
3
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Px yy zz xxyz
Ta thấy P0 theo bất đẳng thức Côsi
Không mất tính tổng quát giả sử y là số có giá trị nằm giữa x&z khi đó ta có:
z yx y z y zz xyz xyz
2
(bất đẳng thức Côsi.)
2
P
dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp
1 2 0
1 2
0
a z
b
c
Vậy Pmax 2 a b c 1 a 2;b1;c0 và các hoán vị
0.25
0.25
0.25
0.25
A Theo ch-¬ng tr×nh chuÈn
1 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5
0.25
Gọi H là trung điểm của dây cung AB
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB
IH =
| 4 | | 5 | ( , )
d I
2
(5 ) 20 25
m
Diện tích tam giác IAB là SIAB 122SIAH 12
3 ( , ) 12 25 | | 3( 16) 16
3
m
m
0.25 0.25
0.25
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong 10 viên bi có số phần tử không gian mẫu là C2
10 Gọi A là biến cố lấy được 2 viên bi cùng màu
n(A)= C24+ C23 +C22
Xác suất P(A) =2/15
0.25 0.5 0.25
I
H
5
Trang 5L-u ý:
Tất cả những cách giải khác, nếu đúng thì vận dụng HD trên để chấm cho HS Yêu cầu các đ/c chấm
đúng đáp án, không “vận dụng”, chỗ n¯o chưa rõ nên có sự thống nhất giữa các GV chấm để cho
điểm, tuyệt đối không chấm thiếu, cộng thiếu điểm của HS vì bài thi sẽ trả cho HS
1đ
1
• Gọi tọa độ của điểm )
3
; 3 1 ( )
;
C C
y x G y
x
C Vỡ G thuộc d
) 3 3
; ( 3 3 0
4 3 3 1
x x C x
y y
x
•Đường thẳng AB qua A và cú vộctơ chỉ phương AB(1;2)
ptAB:2xy30
•
5
11 5
3 3 3 2 5
11 )
; ( 2
11 )
; ( 2
C C ABC
x x AB
C d AB
C d AB S
5 17
1 11
6 5
C
C C
x
x x
• TH1: x C 1C(1;6)
5
36
; 5
17 ( 5
17
0.25
0.5
0.25
2
Lấy ngẫu nhiờn 3 viờn bi trong 16 viờn bi cú số phần tử khụng gian mẫu là C316
Gọi A là biến cố lấy được 3 viờn bi trong đú cú đỳng 1 viờn bi trắng
n(A)= C17 C29
Xỏc suất P(A) =9/140
0.25 0.5 0.25 VIIb
2 2 2 3 3 3
2
2 3
2 3
2
100 10
4
n
0.25 0.25 0.25 0.25